1611688890-f641c9ec8276824e4686da772eb56520 (826652), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Если γ(Φ, D) 6= 0, то поле Φ имеет в D по крайнеймере одну особую точку.4714.3. Векторные поля и их вращениеx2✻♣x2✻✲x1♣✲x1Рис. 4.5. Векторные поля, имеющие вращения +2(левый чертёж) и +3 (правый чертёж) на любойокружности с центром в нуле.Теорема Кронекера обладает очень большой общностью и частоприменяется не напрямую, а служит основой для более конкретныхдостаточных условий существования нулей поля или решений системуравнений.
Например, доказательство теоремы Миранды (см. §4.4б)сводится, фактически, к демонстрации того, что на границе областивращение векторного поля, соответствующего исследуемому отображению, равно ±1.4.3вИндексы особых точекСтанем говорить, что особая точка является изолированной, если внекоторой её окрестности нет других особых точек рассматриваемоговекторного поля. Таким образом, вращение поля одинаково на сферахдостаточно малых радиусов с центром в изолированной особой точкеx̃. Это общее вращение называют индексом особой точки x̌ поля Φ илииндексом нуля x̌ поля Φ, и обозначают ind (x̌, Φ).Итак, оказывается, что особые точки векторных полей (и решениясистем уравнений) могут быть существенно разными, отличаясь другот друга своим индексом, и различных типов особых точек существует4724. Решение нелинейных уравнений и их системстолько же, сколько и целых чисел, т. е.
счётное множество. Какими являются наиболее часто встречающиеся особые точки и, соответственно,решения систем уравнений? Ответ на этот вопрос даётся следующимидвумя результатами:Предложение 4.3.2 [54, 55, 57] Если A — невырожденное линейноепреобразование пространства Rn , то его единственная особая точка— нуль — имеет индекс ind (0, A) = sgn det A.Определение 4.3.5 Точка области определения отображения дифференцируемого отображения F : Rn → Rn называется критической,если в ней якобиан F ′ является особенной матрицей. Иначе говорят,что эта точка — регулярная.Предложение 4.3.3 [54, 55, 57] Если x̃ — регулярная особая точкадифференцируемого векторного поля Φ, то ind (x̃, Φ) = sgn det Φ′ (x̃).Таким образом, регулярные (не критические) особые точки векторных полей имеют индекс ±1, а в прочих случаях значение индексаможет быть весьма произвольным.Например, индексы расположенного в начале координат нуля векторных полей, которые изображены на Рис.
4.4, равны +1 и (−1), причём поля эти всюду дифференцируемы. Индексы нуля полей Рис. 4.5равны +2 и +3, и в начале координат эти поля не дифференцируемы.Векторное поле на прямой, задаваемое рассмотренным в §4.2б квадратичным отображением x 7→ x2 + px + q при p2 = 4q имеет особую точкуx = −p/2 нулевого индекса.4.3гУстойчивость особых точекОпределение 4.3.6 Особая точка z поля Φ называется устойчивой,если для любого τ > 0 можно найти такое η > 0, что всякое поле, отличающееся от Φ меньше чем на η, имеет особую точку, удалённуюот z менее, чем на τ .
Иначе особая точка z называется неустойчивой.Легко понять, что в связи с задачей решения систем уравнений насинтересуют именно устойчивые особые точки, поскольку задача поискатолько таких точек является вычислительно-корректной.Вторым основным результатом, ради которого мы затевали обзортеории вращения векторных полей, является следующее4.3. Векторные поля и их вращение473Предложение 4.3.4 [55] Изолированная особая точка непрерывноговекторного поля устойчива тогда и только тогда, когда её индексотличен от нуля.Например, неустойчивое решение квадратного уравнения (4.5)–(4.6)имеет индекс 0, а у векторных полей, изображённых на рисунках 4.4 и4.5, начало координат является устойчивой особой точкой.Интересно отметить, что отличие линейных уравнений от нелинейных, как следует из всего сказанного, проявляется не только в формеи структуре, но и в более глубоких вещах: 1) в линейных задачах индекс решения, как правило, равен ±1, а в нелинейных может быть какнулевым, так и отличным от ±1, и, как следствие, 2) в типичных линейных задачах изолированное решение устойчиво, а в нелинейных можетбыть неустойчивым.Отметим отдельно, что результат об устойчивости особой точкиненулевого индекса ничего не говорит о количестве особых точек, близких к возмущаемой особой точке.
В действительности, путем шевеления одной устойчивой особой точки можно получить сразу несколькоособых точек, и это легко видеть на примере полей Рис. 4.5. Любаясколь угодно малая постоянная добавка к полю, изображённому на левом чертеже Рис. 4.5, приводит к распадению нулевой особой точкииндекса 2 на две особые точки индекса 1. Аналогично, любая скольугодно малая постоянная добавка к полю, изображённому на правомчертеже Рис.
4.5, приводит к распадению нулевой особой точки на триособые точки индекса 1. Таким образом, свойство единственности решения неустойчиво и требовать его наличия нужно со специальнымиоговорками.Если в области D находится конечное число особых точек, то суммуих индексов называют алгебраическим числом особых точек.Предложение 4.3.5 Пусть непрерывное векторное поле Φ имеет вD конечное число особых точек x1 , x2 , . . . , xs и невырождено на границе ∂D. Тогдаγ(Φ, D) = ind (x1 , Φ) + ind (x2 , Φ) + · · · + ind (xs , Φ).Алгебраическое число особых точек устойчиво к малым возмущениям области и векторного поля, так как охватывает совокупную суммуиндексов вне зависимости от рождения и уничтожения отдельных точек.4744. Решение нелинейных уравнений и их системyyy = F (x)y = |F (x)|xxРис.
4.6. Устойчивый нуль функции превращаетсяв неустойчивый после взятия нормы функции.Наконец, сделаем ещё одно важное замечание. Нередко на практике для решения систем нелинейных уравнений исходную задачу переформулируют как оптимизационную, пользуясь, например, тем, чтосправедливы следующие математические эквивалентности:F (x) = 0⇔min kF (x)k = 0xиF (x) = 0⇔min kF (x)k2 = 0.xДалее имеющимися стандартными пакетами программ ищется решение задачи минимизации нормы kF (x)k (или kF (x)k2 , чтобы обеспечить гладкость целевой функции) и результат сравнивается с нулём.С учётом наших знаний о задаче решения систем уравнений хорошовидна вычислительная неэквивалентность такого приведения: устойчивая особая точка всегда превращается при подобной трансформации в неустойчивое решение редуцированной задачи! Именно, любаясколь угодно малая добавка к |F (x)| может приподнять график функции y = |F (x)| над осью абсцисс (плоскостью нулевого уровня в общемслучае), так что нуль функции исчезнет.4.3дВычислительно-корректнаяпостановка задачиТеперь все готово для вычислительно-корректной переформулировки задачи решения уравнений и систем уравнений.
Она должна выгля-4.4. Классические методы решения уравнений475деть следующим образом:Для заданного ε > 0 и системы уравненийF (x) = 0найти на данном множестве D ⊆ Rn1) гарантированные двусторонние границывсех решений ненулевого индекса,2) множество ε-решений.(4.10)Мы не требуем единственности решения в выдаваемых брусах, таккак свойство решения быть единственным не является, как мы могливидеть, устойчивым к малым возмущениям задачи.4.4Классические методырешения уравненийПример 4.4.1 Рабочие имеют кусок кровельного материала шириной l = 3.3 метра и хотят покрыть им пролёт шириной h = 3 метра,сделав крышу круглой, в форме дуги окружности. Для того, чтобыпридать правильную форму балкам, поддерживающим кровлю, нужнознать, какой именно радиус закругления крыши при этом получится(см.
Рис. 4.7).Обозначим искомый радиус закругления крыши через R. Если 2α— величина дуги (в радианах), соответствующей крыше, тоl= R.2αС другой стороны, из рассмотрения прямоугольного треугольника скатетом h/2 и гипотенузой R получаемR sin α = h/2.4764. Решение нелинейных уравнений и их системlhRα αРис. 4.7. Проектирование круглой крыши.Исключая из этих двух соотношений R, получим уравнение относительно одной неизвестной α:l sin α = αh.(4.11)Его решение не может быть выражено в явном виде, и потому далеемы обсудим возможности его численного решения.Уравнение (4.11) является простейшим нелинейным трансцендентным уравнением. Так называют уравнения и системы уравнений, неявляющиеся алгебраическими, т. е. такие, в которых в обеих частяхуравнений стоят алгебраические выражения относительно неизвестныхпеременных.4.4аПредварительная локализация решенийОбычно первым этапом численного решения уравнений и системуравнений является предварительная локализация, т.
е. уточнение местонахождения искомых решений. Это вызвано тем, что большинствочисленных методов для поиска решений имеют локальный характер,т. е. сходятся к этим решениям лишь из достаточно близких начальных приближений.Для локализации решений могут применяться как численные, так ианалитические методы, а также их смесь — гибридные методы, которые(следуя Д. Кнуту) можно назвать получисленными или полуаналитическими. Нельзя совершенно пренебрегать и графическими методамилокализации решений, основанными на построении и исследовании гра-4.4. Классические методы решения уравнений477фиков функций, которые фигурируют в уравнении. Графические методы не обладают большой строгостью и полнотой, но очень наглядны итакже способны внести свою лепту в практическое решение уравнений.Особенно много аналитических результатов существует о локализации решений алгебраических уравнений (корней полиномов), что, конечно, имеет причину в очень специальном виде этих уравнений, допускающем исследование с помощью выкладок и т.
п.Теорема 4.4.1 Пусть для алгебраического уравнения видаan xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0обозначеноα = max{a0 , . . . , an−1 },β = max{a1 , . . . , an }.Тогда все решения этого уравнения принадлежат кольцу в комплексной плоскости, определяемому условием1α≤ |x| ≤ 1 +.1 + β/|a0 ||an |Полезно правило знаков Декарта, утверждающее, что число положительных корней полинома с вещественными коэффициентами равночислу перемен знаков в ряду его коэффициентов или на чётное числоменьше этого числа. При этом корни считаются с учётом кратности,а нулевые коэффициенты при подсчёте числа перемен знаков не учитываются. Если, к примеру, заранее известно, что все корни данногополинома вещественны, то правило знаков Декарта даёт точное числокорней.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
