1611688890-f641c9ec8276824e4686da772eb56520 (826652), страница 76

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 76)

Для падения кирпича именно нужен его переход чуть дальше этогоположения неустойчивого равновесия. В частности, ε-решения здесь негодятся по существу дела.Другой пример. Фазовый переход в физической системе (плавление,кристаллизация и т. п.) — типичная задача такого сорта, так как впроцессе фазового перехода температура системы не меняется.

Еслимы хотим узнать, прошёл ли фазовый переход полностью, то нужнозафиксировать момент достижения множества состояний, лежащего подругую сторону от границы раздела различных состояний!Ещё один пример. Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентамиdx= Ax,dt(4.7)матрица которой A = A(θ) зависит от параметра θ (возможно, векторного). Пусть при некотором начальном значении θ = θ0 собственныезначения λ(A) матрицы A имеют отрицательные вещественные части,так что все решения системы (4.7) устойчивы по Ляпунову (и дажеасимптотически устойчивы). При каких значениях параметра θ рассматриваемая система сделается неустойчивой?Традиционно отвечают на этот вопрос следующим образом.

Cрывустойчивости в системе (4.7) произойдет при Re λ(A(θ)) = 0 для какого-4.2. Вычислительно-корректные задачи465Рис. 4.3. Срыв устойчивости в динамической системе (4.7) происходит,когда собственные значения A «переходят» через мнимую ось.то собственного значения, так что для определения этого момента нужно найти решение выписанного уравнения.

Но такой ответ неправилен,так как для потери устойчивости необходимо не точное равенство нулю действительных частей некоторых собственных чисел матрицы, апереход их через нуль в область положительного знака. Без этого перехода через мнимую ось и «ещё чуть-чуть дальше» система останетсяустойчивой, сколь бы близко мы не придвинули собственные значенияк мнимой оси или даже достигли бы её. Здесь важен именно переход«через и за» критическое значение, в отсутствие которого качественноеизменение в поведении системы не совершится, и этот феномен совершенно не ухватывается понятиями ǫ-решения из §4.2в или ǫ-спектра изработ [11, 47, 59].Рассмотренная ситуация, в действительности, весьма типична длядинамических систем, где условием совершения многих типов структурных перестроек и изменений установившихся режимов работы систем — так называемых бифуркаций — является переход некоторого параметра через определённое бифуркационное значение.

К примеру, припереходе через мнимую ось пары комплексных собственных чисел матрицы линеаризованной системы происходит бифуркация АндроноваХопфа (называемая также «бифуркацией рождения цикла», см. [36]).И здесь принципиален именно переход через некоторый порог, а неблизость к нему, на которую делается упор в понятиях ǫ-решения иǫ-спектра.Нетрудно понять, что такое «переход через нуль» для непрерывной функции одного переменного f : R → R.

Но в многомерной ситуа-4664. Решение нелинейных уравнений и их системции мы сталкиваемся с методическими трудностями, возникающими изнеобходимости иметь для нестрогого понятия «прохождение функциичерез нуль» чисто математическое определение. Из требования вычислительной корректности следует, что в любой окрестности такого решения каждая из компонент Fi (x) вектор-функции F (x) должна принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Но какименно? Какими должны (или могут) быть значения компонент Fj (x),j 6= i, если Fi (x) > 0 или Fi (x) < 0?В разрешении этого затруднения нам на помощь приходят нелинейный анализ и алгебраическая топология. В следующем параграфе мыприведём краткий набросок возможного решения этого вопроса.4.3Векторные поля и их вращение4.3аВекторные поляЕсли M — некоторое множество в Rn и задано отображениеΦ : M → Rn ,то часто удобно представлять значение Φ(x) как вектор, торчащий източки x ∈ M .

При этом говорят, что на множестве M задано векторное поле Φ. Любопытно, что это понятие было введено около 1830 годаМ. Фарадеем в связи с необходимостью построения теории электрических и магнитных явлений. Затем соответствующий язык проник вматематическую физику, теорию дифференциальных уравнений и теорию динамических систем (см., к примеру, [8, 50]), и в настоящее времяшироко используется в современном естествознании.

Мы воспользуемся соответствующими понятиями и результатами для наших целейанализа решений систем уравнений, численных методов и коррекциипостановки задачи.Векторное поле является непрерывным, если непрерывно отображение Φ(x). Например, на Рис. 4.4 изображены векторные поляΦ(x) = Φ(x1 , x2 ) =x1x2!иΨ(x) = Ψ(x1 , x2 ) =которые непрерывны и даже дифференцируемы.x1−x2!,(4.8)4674.3. Векторные поля и их вращениеОпределение 4.3.1 Пусть задано векторное поле Φ : Rn ⊇ M → Rn .Точки x ∈ M , в которых поле обращается в нуль, т. е.

Φ(x) = 0,называются нулями поля или же его особыми точками.x2✻x2✻✲♣♣x1✲x1Рис. 4.4. Векторные поля Φ(x) и Ψ(x), задаваемые формулами (4.8).Связь векторных полей и их особых точек с основным предметомэтой главы очевидна: особая точка поля Φ : M → Rn — это решениесистемы n уравненийΦ1 ( x1 , x2 , · · · , xn ) = 0, Φ2 ( x1 , x2 , · · · , xn ) = 0,.........Φn ( x1 , x2 , · · · , xn ) = 0,лежащее в M .

Будем говорить, что векторное поле Φ вырождено, если у него есть особые точки. Иначе Φ называется невырожденным.К примеру, векторные поля Рис. 4.4 вырождены на всём R2 и имеютединственными особыми точками начало координат.Определение 4.3.2 Пусть Φ(x) и Ψ(x) — векторные поля на множестве M ⊆ Rn . Непрерывная функция∆(λ, x) : R × M → Rn4684. Решение нелинейных уравнений и их системот параметра λ ∈ [0, 1] и вектора x ∈ Rn , такая что Φ(x) = ∆(0, x)и Ψ(x) = ∆(1, x), называется деформацией векторного поля Φ(x) ввекторное поле Ψ(x).Достаточно прозрачна связь деформаций с возмущениями векторного поля, т.

е. отображения Φ. Но в качестве инструмента исследования решений систем уравнений и особых точек векторных полей намнужны деформации, которые не искажают свойство поля быть невырожденным.Определение 4.3.3 Деформацию ∆(λ, x) назовём невырожденной, если ∆(λ, x) 6= 0 для всех λ ∈ [0, 1] и x ∈ M .Ясно, что невырожденные деформации могут преобразовывать другв друга (соединять) только невырожденные векторные поля. Примерами невырожденных деформаций векторных полей, заданных на всёмRn , являются растяжение, поворот относительно некоторой точки, параллельный перенос.Определение 4.3.4 Если векторные поля можно соединить невырожденной деформацией, то они называются гомотопными.В частности, любая достаточно малая деформация невырожденноговекторного поля приводит к гомотопному полю.Нетрудно понять, что отношение гомотопии векторных полей рефлексивно, симметрично и транзитивно, будучи поэтому отношением эквивалентности. Как следствие, непрерывные векторные поля,невырожденные на фиксированном множестве M ⊆ Rn , распадаетсяна классы гомотопных между собой полей.4.3бВращение векторных полейПусть D — ограниченная область в Rn с границей ∂D.

Через cl Dмы обозначим её топологическое замыкание. Оказывается, каждомуневырожденному на ∂D векторному полю Φ можно сопоставить целочисленную характеристику — вращение векторного поля Φ на ∂D, —обозначаемую γ(Φ, D) и удовлетворяющую следующим условиям:(A) Гомотопные на ∂D векторные поля имеют одинаковое вращение.4694.3.

Векторные поля и их вращение(B) Пусть Di , i = 1, 2, . . . , — непересекающиеся области, лежащие в D(их может быть бесконечно много). Если непрерывное векторноеполе Φ невырождено на теоретико-множественной разности[ Di ,cl D \iто вращения γ(Φ, Di ) отличны от нуля лишь для конечного набораDi иγ(Φ, D) = γ(Φ, D1 ) + γ(Φ, D2 ) + . . . .(C) Если Φ(x) = x − a для некоторой точки a ∈ D, то вращение Φна ∂D равно (+1), т. е.γ(Φ, D) = 1.Нетрудно понять, что определённая так величина вращения поляустойчива к малым шевелениям как области (это следует из (B)), таки векторного поля (это вытекает из (A)).Условиями (A)–(B)–(C) вращение векторного поля определяется однозначно, но можно показать [39], что это определение равносильноследующему конструктивному. Зафиксируем некоторую параметризацию поверхности ∂D, т. е. задание её в видеx1 = x1 ( u1 , u2 , .

. . , un−1 ),x2 = x2 ( u1 , u2 , . . . , un−1 ),............xn = xn ( u1 , u2 , . . . , un−1 ),где u1 , u2 , . . . , un−1 — параметры, xi ( u1 , u2 , . . . , un−1 ), i = 1, 2, . . . , n, —функции, определяющие одноименные координаты точки x = (x1 , x2 ,. . . , xn ) ∈ ∂D. Тогда вращение поля Φ(x) на границе ∂D области Dравно значению поверхностного интеграла1 (x)Φ1 (x) ∂Φ∂u1 (x)· · · ∂Φ∂un−11∂Φ2 (x) Z∂Φ2 (x)11 Φ2 (x) ∂u1 · · · ∂un−1 · det . du1 du2 .

. . dun , (4.9)...... .Sn ∂D kΦ(x)kn. ...∂Φn (x)∂Φn (x)Φn (x) ∂u1 · · · ∂un−14704. Решение нелинейных уравнений и их системгде Sn — площадь поверхности единичной сферы в Rn . Этот интегралобычно называют интегралом Кронекера.В двумерном случае вращение векторного поля имеет простую геометрическую интерпретацию: это количество полных оборотов вектораполя, совершаемое при движении точки аргумента в положительномнаправлении по рассматриваемой границе области [50, 54, 55, 57]. Вмногомерном случае такой наглядности уже нет, но величина вращения векторного поля Φ всё равно может быть истолкована как «числораз, которое отображение Φ : ∂D → Φ(∂D) накрывает образ Φ(∂D)».Рассмотрим примеры. На любой окружности с центром в нуле поле,изображенное на левой половине Рис.

4.4, имеет вращение +1, а полена правой половине Рис. 4.4 — вращение −1. Векторные поля Рис. 4.5,которые задаются формулами(x1 = r cos(N ψ),x2 = r sin(N ψ),pгде r = x21 + x22 — длина радиус-вектора точки x = (x1 , x2 ), ψ — егоугол с положительным лучом оси абсцисс, при N = 2 и N = 3 имеютвращения +2 и +3 на окружностях с центром в нуле.С вращением векторного поля тесно связана другая известная глобальная характеристика отображений — топологическая степень [54,55, 56, 57, 27, 39]. Именно, вращение поля Φ на границе области D естьтопологическая степень такого отображения φ границы ∂D в единичную сферу пространства Rn , чтоφ(x) = kΦ(x)k−1 Φ(x).Зачем нам понадобилось понятие вращения векторного поля? Мысобираемся использовать его для характеризации «прохождения черезнуль» многомерной функции, и теоретической основой этого шага служат следующие результаты:Предложение 4.3.1 [54, 55, 57] Если векторное поле Φ невырожденона замыкании ограниченной области D, то вращение γ(Φ, D) = 0.Теорема 4.3.1 (теорема Кронекера) [54, 55, 57] Пусть векторное полеΦ невырождено на границе ограниченной области D и непрерывно наеё замыкании.

Характеристики

Список файлов книги