1611672539-b7ef95a69d59d792380d0741c0198e89 (826570)
Текст из файла
Линейные преобразования (л.п.) векторных пространств (в.п.)Пусть V — в.п. над полем F . Отображение φ : V 7→ V наз. л.п., если φ(αu + βv) = αφ(u) + βφ(v), гдеα, β ∈ F , v, u ∈ V .Пусть n = dimF V — конечное число. Тогда в некотором базисе (e1 , . . . , en ) имеемφ(e1 ) = α11 e1 + . .
. + α1n en... ... ... .... . . , ∀i, j скаляры αij ∈ Fφ(em ) = αm1 e1 + . . . + αmn en .Л.п. φ в базисе e = (e1 , . . . , en ) соответствует матрица [φ]e = (αij ). Если (f1 , . . . , fn ) — другой базисV , то [φ]f = T [φ]e T −1 , где T — матрица перехода от б. e к б. f , т.е. t f = T (t e), t f и t e — столбцытранспонированные к строкам f и e.Для элемента x ∈ V имеет место разложениеx = x1 e1 + x2 e2 + . . . + xn en ,где x1 , ..., xn ∈ F . Строка (x1 , ..., xn ) наз.
координатной строкой век. x в б. e = {e1 , ..., en }. Обозначимкоордин. строку век. x в б. e через [x]e . Координатные строки вектора x в базисах e и f связаны равенством[x]e = [x]f T , где T — матр. перехода.Для матрицы A — размера n × n определим φ : V 7→ V , полагая φ(x) = (x1 , ..., xn )A, где (x1 , ..., xn ) —координатная строка век. x в б. e = (e1 , ..., en ). Тогда φ — л. п. и в б. e справедливо A = [φ]e .
Если φ —л.п. век. пр. V и A = [φ]e (матр. л.п. φ в базисе e), тогда φ(x) = (x1 , ..., xn )A.З. 1. Найти матрицу л.п.:1) φ : (x1 , x2 , x3 ) 7→ (x1 , x1 + 2x2 , x2 + 3x3 ) в стандартном базисе R3 ;d2) φ — дифференцирование в.п. V = R[x]n (полиномов ст.
≤ n) в базисе (1, . . . , xn ), т.е. φ(f ) = dx(f ).З. 2. Пусть л.п. в б. (e1 , e2 , e3 , e4 ) в.п. V имеет матрицу0 12 3 5 40 −1 3 20 3 6 1 −1 7найти его матрицу в б. (e1 , e1 + e2 , e1 + e2 + e3 , e1 + e2 + e3 + e4 ).З. 3. Пусть л.п. в б. (1, x, x2 ) в.п. R[x]2 имеет матрицу0 0 1 0 1 0 1 0 0найти его матрицу в б. (3x2 + 2x + 1, x2 + 3x + 2, 2x2 + x + 3).Пусть φ — л.п. век. пр. V . Тогда ker φ = {v ∈ V |φ(v) = 0} — ядро, Im φ = {φ(v)|v ∈ V }— образ. Такжебудем писать φ(V ) = Im φ. Далее V — конечномерное в. п.Нахождение образа и ядра.
Можно считать V = F n . Пусть A = [φ] в стандартном базисе. Рассм.матрицу D = (E|A) размера n × 2n, где E — един. матр. Элементарными преобр. строк матр. D приведемее к виду (B|C), где C — ступенчатая n × n матр. Тогда ненулевые строки матр. C образуют б. образа, авсе строки матр. B, имеющие нулевое продолжение в C, есть б. ядра.З. 4.
Найти образ и ядро линейных преобразований, заданных матрицами: 21 −1 121 7 6 301 2 5 4 2 , 3 0 −35 11 −2 3 0 510 352 3 8З. 5. Найти образ и ядро следующих л.п.:1) (x1 , x2 , x3 ) 7→ (x1 + x3 , x1 + x2 + 2x3 , 2x1 + x2 + 3x3 );2) φ : (x1 , x2 , x3 , x4 ) 7→ (6x1 +7x2 +8x3 +x4 , −9x1 −13x2 −17x3 −2x4 , 5x1 +8x2 +11x3 +x4 , 4x1 +7x2 +8x3 +3x4 )З.
6. Док-ть, что в пр. R3 существует единственное л.п., переводящее векторы (1, 1, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 2),соответственно, в векторы (1, 1, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 1) и найти его матрицу в стандартном базисе.Нахождение образа и ядра линейного преобразования.Можно считать, что V = Fn . Пусть A = [φ] в стандартном базисе V =Fn . Рассмотрим матрицу D = (E|A) размера n × 2n, где E — единичнаяматрица. Элементарными преобразованиями строк матрицу D приведем квиду (B|C), где C — ступенчатая n × n матрица. Тогда ненулевые строкиматрицы C образуют базис образа, а все строки матрицы B, имеющиенулевое продолжение в C, есть базис ядра.Задача 1.
Найти образ и ядро линейных преобразований, заданныхматрицами:21 −1 121 7 6 301 2 5 4 2 , 2) 31) 0 −3 1 −2 3 0 5 1 510 352 3 8Задача 2. Найти образ и ядро следующих линейных преобразований:1) (x1 , x2 , x3 ) 7→ (x1 + x3 , x1 + x2 + 2x3 , 2x1 + x2 + 3x3 );2) φ : (x1 , x2 , x3 , x4 ) 7→ (6x1 + 7x2 + 8x3 + x4 , −9x1 − 13x2 − 17x3 − 2x4 , 5x1 + 8x2 +11x3 + x4 , 4x1 + 7x2 + 8x3 + 3x4 ).Задача 3. Доказать, что в пространстве R3 существует единственноелинейное преобразование, переводящее векторы (1, 1, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 2),соответственно, в векторы (1, 1, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 1) и найти его матрицу встандартном базисе.Характеристический многочлен.Пусть A — матрица порядка n и t — переменная.
Тогда многочленfA (t) = det(tE−A) = (−1)n det(A−tE), где E — единичная матрица, называетсяхарактеристическим многочленом матрицы A.Теорема. Пусть A и B — подобные матрицы, т.е. A = TBT−1 для некоторойматрицы T. Тогда fA (t) = fB (t).Следствие. Пусть A и B — матрицы линейного преобразования φ в разныхбазисах. Тогда fA (t) = fB (t).Таким образом, можно говорить о характеристическом многочленеfφ (t) линейного преобразования φ, заданного в конечномерном векторномпространстве V. Положим fφ (t) = fA (t), где A — матрица линейногопреобразования φ в некотором базисе пространства V.Пусть A — матрица размера 3 × 3.
Тогда1fA (t) = t3 − Tr(A)t2 + (Tr(A)2 − Tr(A2 ))t − det(A).2Задача 4. Пусть Vα = {x ∈ V|φ(x) = αx}. Доказать, что Vα = Ker(φ − αE),где E — тождественное линейное преобразование.1Задача 5. Пусть φ — линейное преобразование конечномерного векторногопространства. Доказать, что скаляр α — собственное значение φ тогда итолько тогда, когда fφ (α) = 0.Другими словами, пусть A — матрица линейного преобразования φ, внекотором базисе. Если α — собственное значение линейного преобразованияφ, то α — корень многочлена fA (t) = det(tE − A), т.е. fA (α) = det(αE − A) = 0.Итак, для нахождения собственных значений линейного преобразованияφ достаточно найти корни многочлена fA (t) = det(tE − A), где A — матрицалинейного преобразования φ.Задача 6. Любое линейное преобразование конечномерного комплексноговекторного пространства обладает собственным вектором.Инвариантные подпространства.Пусть φ — линейное преобразование векторного пространства V над полемF и U — его подпространство.
Тогда U называется инвариантным, если φ(U) ={φ(u)|u ∈ U} ⊆ U.Задача 7. Привести примеры инвариантных подпространств.Задача 8. Пусть φ ∈ L(V, V), α, β ∈ Specφ. Доказать, что Vα ⊕ Vβ — этоφ-инвариантное подпространство.Инвариантное подпространствоотлично от V или {0}.называетсясобственным,еслионоЗадача 9. Найти в R[x]n все инвариантные подпространства относительнолинейного преобразования дифференцирования.2Инвариантные и корневые подпространства.Пусть φ — линейное преобразование векторного пространства V над полемF и U — его подпространство.
Тогда U называется инвариантным, если φ(U) ={φ(u)|u ∈ U} ⊆ U.Инвариантное подпространствоотлично от V или {0}.называетсясобственным,еслионоЗадача 0. Найти в R[x]n все инвариантные подпространства относительнолинейного преобразования дифференцирования.Задача 1. Доказать, что любое подпространство L, инвариантноеотносительно невырожденного линейного преобразования φ, будетинвариантно и относительно обратного преобразования φ−1 .Задача 2. Найти все подпространства трехмерного пространства,инвариантные относительно линейного преобразования, заданного матрицей4 2 −1 −2 0 1 .2 2 1Задача 3.
Пусть V — векторное пространство конечной размерности и U— инвариантное подпространство относительно линейного преобразованияφ. Доказать, что матрица [φ]e в некотором базисе e имеет ви䵶A1 0.A0 A2Задача 4. Пусть V — векторное пространство и U — инвариантноеподпространство относительно линейного преобразования φ.
Определим нафактор-пространстве V = V/U отображение φ, полагая φ(v + U) = φ(v) + Uдля любого v ∈ V. Доказать, что φ — линейное преобразование векторногопространства V. Описать инвариантные подпространства в V = V/U.Задача 5. Найти в R3 все подпространства, которые инвариантныодновременно относительно двух линейных преобразований, заданныхматрицами: 1 1 04 2 2 0 1 0 , 2 0 2 .0 0 1−1 1 1noПусть λ ∈ Spec (ϕ). Положим V (λ) = v ∈ V : (ϕ − λ · id)k (v) = 0, k ∈ N —множество корневых векторов, соответствующих λ ∈ Spec (ϕ).Элемент v ∈ V называется корневым вектором высоты k, если(ϕ − λ · id)k (v) = 0 и (ϕ − λ · id)k−1 (v) 6= 0.Задача 6. Доказать, что V(λ) — подпространство в V.Задача 7.
Доказать, что V (λ) = {v ∈ V : (ϕ − λid)n (v) = 0} , где n = dimF (V).Задача 8. Доказать, что линейное преобразование комплексногопространства тогда и только тогда имеет диагональную матрицу в некоторомбазисе, когда все его корневые векторы являются собственными векторами.1Алгоритм нахождения корневых подпространствnokПусть λ ∈ Spec (ϕ). Положим V (λ) = v ∈ V : (ϕ − λ · id) (v) = 0, k ∈ N —множество корневых векторов, соответствующих λ ∈ Spec (ϕ).Обосновать следующий алгоритм поиска корневого разложения.
Пусть F— поле, V = Fn и линейное преобразование φ имеет матрицу A в стандартномбазисе.Шаг 1. Положим B0 = E — единичная матрица, N = A − αE, где α —собственное значение матрицы A. Рассмотрим (B0 |B0 · N) — матрицу порядкаn×2n и приведем ее элементарными преобразованиями строк к виду (B1 |C1 ),где C1 — ступенчатая матрица. Вычисляем произведение C1 · N. Матрицу(B1 |C1 · N) приведем к виду (B2 |C2 ), где C2 — ступенчатая матрица. Процессзакончить на матрице (Bk |Ck ), если число нулевых строк матрицы Ck равнократности корня α в характеристическом многочлене fA (t).Тогда ненулевые строки матрицы Bk , которые оканчиваются нулевымистроками в Ck , — база V(α), а ненулевые строки матрицы Ck — база прямойсуммы остальных корневых подпространств.Шаг 2.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
