1611672539-b7ef95a69d59d792380d0741c0198e89 (826570), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Для другого собственного значения β сначала из матрицы Ckудаляем все нулевые строки, затем полагаем B0 = Ck , N = A−βE и повторяемШаг 1 для матрицы (B0 |B0 · N).Задача 1. Найти корневые подпространства для матрицы:1 −3 4 4 −7 8 .6 −7 7Задача 2. Найти корневые подпространства для матрицы:01 01 −21 0 −1 . 3 −1 20 2 −1 01Задача 3. Доказать, что линейное преобразование комплексногопространства тогда и только тогда имеет диагональную матрицу в некоторомбазисе, когда все его корневые векторы являются собственными векторами.Задача 4. Пусть A — бесконечномерное пространство всех вещественныхфункций f (x), определенных и имеющих производные любого порядкана всей числовой прямой, с обычными операциями сложения функций иумножения функции на число, и φ — преобразование, переводящее любуюфункцию в ее производную.
Найти:а) все собственные значения и собственные векторы,б) все корневые подпространства преобразования φ.1J-Алгоритм нахождения жордановой формы и базыno• Пусть λ ∈ Spec (ϕ). Положим V (λ) = v ∈ V : (ϕ − λ · id) (v) = 0, k ∈ N— множество корневых векторов, соответствующих λ ∈ Spec (ϕ).k• Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем F иφ : V 7→ V — линейное преобразование пространства V, в котором матрицаφ имеет жорданову форму.
Если все собственные значенияφ принадлежатQpполю F, то характеристический многочлен χφ (t) = i=1 (t − αi )ni . По теоремео корневом разложении V = V(α1 ) ⊕ . . . ⊕ V(αp ). Каждое подпространствоV(αi ) инвариантно относительно φ. Поэтому, задача нахождения жордановойбазы и жордановой формы преобразования φ сводится к нахождениюжордановой базы и жордановой формы φ в пространстве V(αi ). Чтобыполучить жорданову базу φ необходимо объединить все жордановы базисыпространств V(αi ).
Итак, можно считать, что V = V(α). Тогда φ имеетодно собственное значение α и ψ = φ − αE является нильпотентнымпреобразованием на V. Все собственные значения ψ равны 0. Задача свеласьк нахождению жордановой базы нильпотентного преобразования.1• Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем F иφ : V 7→ V — нильпотентное преобразование.
Система ненулевых векторовv, φ(v), . . . , φm−1 (v), для которой φm (v) = 0, называется ниль-слоем длиныm. Система векторов, состоящая из ниль-слоев, называется жордановой.Жорданова система, записанная в форме таблицы, строки которой состоятиз ниль-слоев и все они имеют общую правую вертикальную границу,называется жордановой таблицей. Например,µ¶u . . . φi (u) . . . φn−1 (u)v. . . φm−1 (v)— жорданова таблица, состоящая из двух ниль-слоев длины n и mсоответственно.Элементарные преобразования жордановой таблицы:1) умножение ниль-слоя на ненулевой скаляр из F;2) прибавление к ниль-слою длины m, расположенного под ним или надним, отрезка длины m из другого ниль-слоя;3) исключение нулевых векторов сдвигом слоя вправо;4) перестановка слоев.2Задача∗ . Доказать, что элементарные преобразования сохраняют свойствобыть жордановой таблицей.
Если система векторов, составляющих правыйстолбец жордановой таблицы линейно независима, то и вся жордановасистема линейно независима.• Пусть φ — нильпотентное линейное преобразование векторногопространства V. Тогда V имеет жорданову базу относительно φ. ЧислоN(m, 0) ниль-слоев длины m в этой базе равно rm−1 − 2rm + rm+1 , где ri =dim φi (U).Задача∗ . Пусть N — матрица φ в некотором базисе e1 , . .
. , en пространстваV. Обосновать следующий алгоритм поиска жордановой базы.1) Вычислить ниль-слой e1 , e1 N, . . . , e1 Nm−1 6= 0 и e1 Nm = 0. Это жордановатаблица. Перейти к п. 4;2) Дополнить полученную таблицу ниль-слоем с начальным вектором ei ,который ранее не встречался в жордановой таблице. Перейти к п.
3;3) Элементарными преобразованиями добиться того, чтобы системавекторов правого столбца жордановой таблицы стала линейно независимой.Перейти к п. 4;4) Если число векторов в жордановой таблице равно размерности V,то вычисление закончить (эти векторы образуют жорданову базу), иначеперейти к шагу 2.3Задача∗ . Обосновать алгоритм нахождения матрицы Жордана.Пусть V = V(α1 ) ⊕ . . . ⊕ V(αp ) — корневое разложение V относительно φ,которое имеет собственные значения α1 , . .
. , αp . Пусть α — один из корней.Тогда V(α) инвариантно относительно φ и ψ = φ − αE нильпотентно на V(α).Поэтому V(α) имеет жорданову базу относительно ψ. Пусть f1 , . . . , fk — этотжорданов базис, который состоит из ниль-слоев. Если fl — последний векторниль-слоя, то ψ(fl ) = 0, а значит φ(fl ) = αfl . Если fl — не последний векторниль-слоя, то ψ(fl ) = fl+1 , а значит φ(fl ) = αfl + fl+1 . Объединив жордановыбазы подпространств V(α1 ), . . . , V(αp ), получим базу V, в которой φ имеетжорданову форму J. Если A — матрица φ в базе e, а J — его жордановаформа в базе f , то J = TAT−1 , где T — матрица перехода от e к f .4Пример.
Найти жорданову формупреобразования, заданного матрицей:1 −3 −2 −6A = 0 −3−1 −4Решение: fA (λ) = (λ − 1)4 ;1 0 0 0 1 0 0 0 10 0 010 00 01 0 −1 −10 10−1 −3 06mrmN(m,1)0 1 24 2 11 03 40 01 0и базу нильпотентного линейного0 30 13 .1 3 0 800 −3 0 30 −2 −7 0 13 Ã00 −3 0 3 1 −1 −4 0 70 −3 0 3 3 9−1 −3 0 6 0 000 0 0 0 000 0 0 0 01 1 01 1A(J) = 1150 −1800 .00 0010 0 −3T= 39−100003 0 −18 10Задача 1. Найти жордановупреобразования, заданного матрицей:базу0 0b) 002 1 −1a) 4 2 −2 ,8 4 −4нильпотентного20003200линейного43 .2 0Задача 2.
Найти жорданову форму матрицы A, жорданов базис и матрицуперехода T, а также limk→∞ Ak , где5 1 −113 .A = −3 141 13Задача 3. Найти жорданову форму и базис, в котором линейноепреобразование имеет эту форму, а также матрицу перехода для следующихлинейных преобразований:1) φ : (x1 , x2 , x3 ) 7→ (4x1 − 3x2 − 3x3 , 6x1 − 5x2 − 6x3 , x3 );2) φ : (x1 , x2 , x3 ) 7→ (3x1 + 4x2 + 3x3 , 2x1 + 10x2 + 6x3 , −3x1 − 12x2 − 7x3 );3) φ : (x1 , x2 , x3 , x4 ) 7→ (6x1 + 7x2 + 8x3 + x4 , −9x1 − 13x2 − 17x3 − 2x4 , 5x1 + 8x2 +11x3 + x4 , 4x1 + 7x2 + 8x3 + 3x4 ).Задача 4. Найти жорданову форму и базу нильпотентного линейногопреобразования, заданного матрицей:0 −1 −12 651 −4 . −2 −1 −14 21 −12Задача 5.
Пусть матрица A имеет жорданову форму Aj . Найти жордановуформу матриц A2 и A−1 .6Корни многочленовПусть K — область целостности, т.е. ассоциативное коммутативное кольцо с единицей и без делителейнуля и A — подкольцо в K.Определение. Элемент c ∈ K называется корнем (нулём) полинома f (x) ∈ A[x], если f (c) = 0.Говорят также, что c — корень уравнения f (x) = 0.√Пример. Пусть K = C, A = R и f (x) = x2 + 1.
Тогда i = −1 — корень уравнения f (x) = 0.Теорема Безу. Элемент c — корень полинома f (x) тогда и только тогда, когда f (x) делится на(x − c) без остатка.Схема Горнера. Пусть f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an . Разделим с остатком f (x) на x − c. Тогдаf (x) = (x − c)(b0 xn−1 + b1 xn−2 + . . . + bn−1 ) + f (c).|{z}g(x)Коэффициенты полинома g(x) вычисляются по схеме Горнера:b0 = a0...bk = bk−1 c + ak...bn−1 = bn−2 c + an−1f (c) = bn−1 c + anОпределение. Элемент c ∈ A называется k-кратным корнем (k-кратным нулём) полинома f (x) ∈A[x], если f (x) в кольце A[x] делится на (x − c)k , но не делится на (x − c)k+1 .Теорема.
Пусть A — целостное кольцо, f (x) 6= 0 — полином из A[x] и c1 , . . . , cr — его корни в Aкратностей k1 , . . . , kr . Тогда f (x) = (x − c1 )k1 . . . (x − cr )kr g(x), где g(ci ) 6= 0 ∀i. В частности, числокорней полинома f (x) вместе с их кратностями не больше чем deg f (x), т.е. k1 + . . . + kr ≤ deg f .Следствие. Пусть многочлены f, g ∈ A[x] степени ≤ n принимают одинаковые значения приподстановке n + 1 различных элементов из A. Тогда f = g.Производная полинома. Пусть f (x) = a0 xn +a1 xn−1 +. . .+an−1 x+an — полином с коэффициентамииз поля F . Его производной называется полиномf 0 (x) = na0 xn−1 + (n − 1)a1 xn−2 + . .
. + an−1 .k-ая производная полинома f обозначается f (k) .Теорема. Пусть F — подполе поля P . Полином f (x) ∈ F [x] имеет кратный корень c ∈ P тогдаи только тогда, когда f (c) = f 0 (c) = 0. Если характеристика поля F равна 0, то c ∈ P — коренькратности k полинома f (x) ⇔ f (c) = f 0 (c) = .
. . = f (k−1) (c) = 0, но f (k) (c) 6= 0.Кратные множители и производная. Полином f (x) ∈ F [x] называется неприводимым над F ,если его нельзя представить в виде произведения двух полиномов из F [x] степени > 0. Пусть F — поленулевой характеристики и пусть f (x) = αp1 (x)k1 . . . pr (x)kr — разложение многочлена f на неприводимыемногочлены в F [x]. Многочлен pi (x) называется ki -кратным множителем для f . ТогдаНОД(f, f 0 ) = αp1 (x)k1 −1 . .
. pr (x)(kr −1) иf (x)= p1 (x) . . . pr (x).НОД(f, f 0 )Формулы Виета. Пусть f (x) = xn + a1 xn−1 + . . . + ak xn−k + . . . + an — полином из F [x] и c1 , . . . , cn— корни f (x) в поле F или в некотором его расширении. Тогда справедливы формулы Виета:a1 = −(c1 + c2 + . . . + cn ),...,Xak = (−1)kci1 ci2 .
. . cik ,...,i1 <i2 <...<ikan = (−1)n a1 a2 . . . an .ЗадачиЗадача 1. Определить кратность корня x0 полинома f (x):1) f (x) = x5 − 5x4 + 7x3 − 2x2 + 4x − 8, x0 = 2,2) f (x) = x5 + 7x4 + 16x3 + 8x2 − 16x − 16, x0 = −2.Задача 2. Отделить кратные множители над Q:1) f (x) = x5 − 3x4 + 2x3 + 2x2 − 3x + 1,2) f (x) = x6 − 6x4 − 4x3 + 9x2 + 12x + 4,3) x5 − 10x3 − 20x2 − 15x − 4.Задача 3. При каких a и b полином axn+1 + bxn + 1 делится на (x − 1)2 ?Задача 4. Доказать, что 1 — корень кратности 3 полиномов:1) x2n − nxn+1 + nxn−1 − 1,2) x2n+1 − (2n − 1)xn+1 + (2n − 1)xn − 1,3) (n − 2m)xn − nxn−m + nxm − (n − 2m).Задача 5. Найти условие, при котором полином x5 + ax3 + b имеет отличный от нуля корень кратностидва.Задача 6.
Доказать, что полином xn + axn−m + b не может иметь ненулевых корней кратности выше 2.2nx+ . . . + xn! не имеет кратных корней.Задача 7. Доказать, что полином 1 + x1 + 1·2Задача 8. Доказать, что x3m + x3n+1 + x3p+2 делится на x2 + x + 1.Задача 9. Найти условия делимости x3m − x3n+1 + x3p+2 на x2 − x + 1.Задача 10.
Найти f (x) = x4 + a1 x3 + a2 x2 + a3 x + a4 , корни которого:1) 1,2,-3,-4;2) 2-кратный корень 3,-2, -4;3) 3-кратный корень -1 и i.Задача 11. Один из корней x3 − 7x + λ равен удвоенному другому. Найти λ.Задача 12. Определить соотношение между p и q, при выполнении которого корни x1 , x2 , x3 полиномаx3 + px + q удовлетворяют условию x3 = 1/x1 + 1/x2 .Задача 13. Сумма двух корней полинома 2x3 − x2 − 7x + λ равна 1. Найти λ.Формулы корней уравнений 3-й и 4-й степени(см. А.Г.Курош, стр. 233-240)Уравнение 3-й степени.В уравнении y3 + ay2 + by + c = 0, a, b, c ∈ C, делаем замену y = x − a/3,получаемx3 + px + q = 0.qq√√30Пусть u = −q/2 + D , v = 3 −q/2 − D0 , где D0 = −D/108,D = −4p3 − 27q2(дискриминант).Тогда решение:x0 = u + v : uv = −p/3.Уравнение 4-й степени.В уравнении f = y4 + ay3 + by2 + cy + d = 0, a, b, c, d ∈ C, делаем заменуy = x − a/4, получаемx4 + px2 + qx + r = 0.Преобразуем:x4 + px2 + qx + r = (x2 + p/2 + u)2 − [2ux2 − qx + (u2 + pu − r + p2 /4)].Подбираем u := u0 так, чтобы многочлен в кв.скобках был полнымквадратом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
