1611672539-b7ef95a69d59d792380d0741c0198e89 (826570), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Линейноепреобразование ϕ пространства V называется унитарным (над R —ортогональным), если ϕ∗ = ϕ−1 .Задача 1. Докажите, что суперпозиция унитарных преобразований унитарна.Задача 2. Докажите, что линейное преобразование ϕ унитарногопространства V унитарно, если ϕ сохраняет скалярное произведение,т.е. (ϕ(u), ϕ(v)) = (u, v) для всех u, v ∈ V.Задача 3. Докажите, что для унитарного преобразования ϕунитарного пространстваа) собственные значения по модулю равны единице (и, значит,характеристические числа унитарной (ортогональной) матрицы помодулю равны единице);б) собственные векторы, принадлежащие двум различнымсобственным значениям, ортогональны;в) если в некотором базисе матрица A преобразования ϕвещественна и собственный вектор, принадлежащий комплексномусобственному значению α + iβ, β 6= 0, представлен в виде x + iy,где векторы x и y имеют вещественные координаты, то x и yортогональны и имеют одинаковую длину, причем:ϕ(x) = αx − βy,ϕ(y) = βx + αy.Задача 4.
Докажите, что ϕ ортогонально, если ϕ переводит любойортонормированный базис в ортонормированный базис.Матрица ортогональна/унитарна, если ĀT = A−1 .Теорема. Для каждой унитарной/ортогональной матрицы Aнайдётся такая унитарная/ортогональная матрица U, чтоа) над полем C: B = UAU−1 = diag{λ1 , .
. . , λn }, |λi | = 1,б) над полем R: B = UAU−1 состоитразмера 1 × 1, вµ из клеток ¶cos χ sin χ, sin χ 6= 0.которых стоят ±1, и клеток 2 × 2 вида− sin χ cos χ1В случае а) строки матрицы U — это ортонормированная системасобственных векторов для A.Задача 5.Для ортогонального преобразования, заданного вортонормиро ванном базисе, найдите ортонормированный базис, вкотором матрица этого преобразования имеет канонический вид.Найдите этот каноническийвид. 21121√1−22233 −3111 212√а)б) 2.23 −33 ,212211√−3− √20332В случае б) строки матрицы U — это ортонормированнаясистема собственных векторов для A, отвечающих вещественнымсобственным числам. Комплексному собственному числу (точнее,паре сопряженных)µ¶ α + iβ = cos χ + i sin χ в B соответствуетcos χ − sin χклетка, а соответствующему собственному вектору xsin χ cos χ1(x − x̄).в матрице U сопоставляется пара векторов a = 21 (x + x̄), b = 2iЗадача 6.
Найдите канонический вид B ортогональной матрицыA и ортогональнуюматрицуUтакую, что B =UAU−1 :а)12 1 21−2− 121212121212− 12− 121212− 12 1 ,2− 12б)1212− 12− 12121 21212212− 2112− 2112− 12 .− 12 12Новосибирский государственный университетМеханико-математический факультетКафедра алгебры и математической логики, 2016–2017г.Унитарные пространстваСеминар № 3 — дополнение • группы 16136, 16141Ортогональные преобразованияЗадача 1. Найдите канонический вид B ортогональной матрицыA и ортогональную матрицу U такую, что B = UAU−1 : 11112 1 12−21−221212122− 12− 12122− 21 12− 21Решение. Находим Spec A = {1, −1, i, −i}.Далее находим собственные векторы:y = (1, 1, 0, 0) — для λ = 1;z = (0, 0, 1, −1) — для λ = −1;x = (1, −1, −i, −i) — для λ = i.Для λ = −i вектор уже искать не нужно.Вектору x соответствует пара действительных векторов:a = (1, −1, 0, 0), b = (0, 0, −1, −1).Нормируя y, z, a, b получаем матрицу перехода Uвид B:1 01 1 0 01 0 0 1 −1 , B = 0 −1U=√ 0 02 1 −1 0 00 00 0 −1 −1и канонический0 00 0.0 −11 0Задача 2.
Найдите канонический вид B ортогональной матрицыA и ортогональную матрицу U такую, что B = UAU−1 :2 2 −11A = −1 2 −2 .32 −1 21Новосибирский государственный университетМеханико-математический факультетКафедра алгебры и математической логики, 2016–2017г.Унитарные пространстваСеминар № 4 • группы 16136, 16141Симметрические и эрмитовы преобразованияПусть V — конечномерное евклидово пространство. Линейноепреобразование ϕ пространства V называется симметрическим (надC — эрмитовым), если ϕ∗ = ϕ.Теорема. Для каждой симметрической/эрмитовой матрицы Aнайдётся такая унитарная/ортогональная матрица U, что U−1 AUимеет диагональную форму.Задача 1.
Найти ортонормированный базис собственных векторови матрицу в этом базисе для линейного преобразования, заданногов некотором ортонормированном базисе матрицей A (искомый базисопределен не однозначно):0 0 0 117 −8 43 −i 00 0 1 0 а) = −8 17 −4 ; б) A = i 3 0; в) A = 0 1 0 0 .4 −4 110 0 41 0 0 0Задача 2. Докажите, чтоа) каждое линейное преобразование ϕ однозначно представляетсяв виде ϕ = ϕ1 + ϕ2 , где ϕ1 — самосопряженное и ϕ2 —кососимметрическое преобразования;б) преобразование ϕ нормально, если преобразования ϕ1 и ϕ2 ввышеуказанном представлении перестановочны.Задача 3.Рассмотрим n2 -мерное пространство Mn (C) всехкомплексных квадратных матриц порядка n.
Превратим этопространство в унитарное, считая, что скалярное произведение двухnPматриц A = (aij ) и B = (bij ) задано равенством (A, B) =aij bij .i,j=1Докажите, чтоа) умножение всех матриц слева на одну и ту же матрицу являетсялинейным преобразованием;б) унитарные матрицы как векторы указанного пространства√имеют длину n;в) умножения всех матриц слева на сопряженно-транспонированные матрицы C и C̄T вызывают сопряженные преобразования;1г) умножение слева на унитарную матрицу вызывает унитарноепреобразование;д)умножениеслеванаэрмитовуматрицувызываетсамосопряженное преобразование.Полярное и сингулярное разложениеТеорема.
Пусть A ∈ Cm,n , rank(A) = r. Тогда A = UΛV длянекоторых унитарных матриц U ∈ Cm , V ∈ Cn и Λ ∈ Cm,n ,гдеΛ = diag(λ1 , . . . , λr , 0, . . . , 0), λ1 ≥ λ2 ≥ . . . ≥ λr > 0.Это представление называется сингулярным разложениемматрицы A, а числа λi — сингулярными числами.Алгоритм построения. (Пусть m ≤ n.)1.
Находим Spec(AA∗ ) и ортонормированный базис с.векторовe1 , . . . , em . Пусть X — матрица переходя к этому базису.2. Полагаем fi = √1λ ei A, а fr+1 , . . . , fn берем такими, чтоif1 , . . . , fn — ортонормированная система. Пусть fr+1 , . . . , fn — матрица,составленная из строк f1√, . . . , fn . √3. Полагаем Λ = diag( λ1 , . . . , λr , 0, . . . , 0), U = X−1 .Задача4.
Найти сингулярноеразложение следующих матриц:µ¶4 −2 2121а) A = 4 4 −1; б) B =.−1 1 2−2 4 2Симметрическое преобразование A называется неотрицательным,если (xA, x) ≥ 0 для любого x ∈ V.Теорема. Преобразование неотрицательно ⇐⇒ все его с.значенияиз R≥0 .Теорема. Для любой матрицы A существует полярное разложение:A = DU, где D неотрицательно, а U унитарно. При этом D определенооднозначно, а U однозначно, только если |A| 6= 0.Зная сингулярное разложение, можно построить полярное: A =(UΛUt )UVЗадача 5. Найти полярное разложение матрицы A из предыдущейзадачи.2Новосибирский государственный университетМеханико-математический факультетКафедра алгебры и математической логики, 2016–2017г.Квадратичные формыСеминар № 1 • группы 16136, 16141Канонический видОднородный многочлен F степени 2 от переменныхX = (x1, .
. . , xn) с коэффициентами из C (R) называетсяквадратичной формой.PФорма F однозначно представляется в видеi,j aij xi xj .Считаем, что aij = aji. Матрицей формы F называетсяматрица A = (aij), с её помощью форму можно записатькак F(x)=(x1 . . . xn)A(x1 . . . xn)t = XAXt.Пусть r = rank(A). Нормальный вид F:2y12 . . . + ys2 − ys+1− . . . − yr2 (над R), y12 + . . . + yr2 (над C).Канонический (диагональный) вид F: a1y12 + .
. . + aryr2.Замена: xi = y1t1i +. . .+yntni; T = (tij) — матрица перехода,|T| 6= 0.Лемма. F = XAXt, T — матрица перехода от X к Y (X =YT). Тогда F = F(Y) = YBYt, где B = TATt (r(A) = r(B)).Теорема (приведение к главным осям). F = XAXt∃Q(Q−1 = Qt, X = YQ) : F(Y) = YDYt (D = diag).⇒Алгоритм: находим ортонорм. базис собств. векторов дляA, из строк которого составляем матрицу Q.Теорема (Алгоритм Лагранжа). Любая квадратичнаяnPформа F = F (x) =αijxixj,αij = αji приводитсяк диагональномуквадратов.i,j=1видуметодом1выделенияполныхПусть любая форма от (n − 1) неизвестных приводитсяк диагональному виду. Рассмотрим F = F (x) =nPαijxixj, αij = αji.i,j=11).
F содержит квадрат хотя бы одного неизвестного.Пусть, например, α11 6= 0. ТогдаF=α11x21+ 2α12x1x2 + . . . + 2α1nx1xn +nXαijxixj =i,j=2−1= α11(α11x1 + α12x2 + . . . + α1nxn)2 −nX¡¢−12 22−α11α12x2 + 2α12α13x2x3 + . . . + α1nx2n +αijxixj =i,j=2−1(α11x1 + α12x2 + . . . + α1nxn)2 + F1 (x2, . . . , xn) .= α11Рассмотримзамену неизвестных:½y = α11x1 + α12x2 + . .
. + α1nxn,y2 = x2, . . . , yn = xn,(y1, . . . , yn) = (x1, . . . , xn) T, где T обратима.−1 2−1 2Тогда F = α11y1 + F1 (y2, . . . , yn) = α11y1 + β2z22 + . . . + βnz2n,где последнее равенство получено по индукции.2). Пусть αii = 0, 1 ≤ i ≤ n. Тогда, например, α12 6= 0.ИмеемF = 2x1 (α12x2 + . . . + α1nxn) + F1 (x2, . . . , xn) .Замена неизвестных: y1 = x1 ,y = α12x2 + . . . + α1nxn − x1, 2y3 = x3, . .
. , yn = xn,(y1, . . . , yn) = (x1, . . . , xn) T, где T обратима.Тогда F = 2y1 (y1 + y2) + F1 (y1, . . . , yn) = 2y12 + 2y1y2 +F1 (y1, . . . , yn) , где F1 (y1, . . . , yn) не содержит αy12.Пришли к случаю а).2Задача 1. Найдите ортогональное преобразование,приводящее следующие формы к каноническомувиду (приведение к главным осям), и напишите этотканонический вид:a) x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x1;б) 11x21 + 5x22 + 2x23 + 16x1x2 + 4x1x3 − 20x2x3;в) 2x1x2 − 6x1x3 − 6x2x4 + 2x3x4.(Spec F = {0, 0, 1, −1})Задача 2.
Найдите канонический вид, к которомуследующиеформыприводятсяортогональнымпреобразованием, и выразите новые неизвестные черезстарые:nnnPPP2а)xi + xixj; б)xi xj .i=1i<ji<jЗадача 3. Найдите нормальный вид и невырожденноелинейное преобразование, приводящее к этому виду, дляследующих квадратичных форм:а) x21 + 5x22 − 4x23 + 2x1x2 − 4x1x3;б) x1x2 + x1x3 + x2x3.Задача 4. Найдите нормальный вид над R:а) x21 − 3x23 − 2x1x2 + 2x1x3 − 6x2x3;б) x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4.nPaijxixj имеет ранг r.Теорема Якоби.
Пусть F(x) =i,j=1Если главные миноры ∆i 6= 0 при i = 1, . . . , r, то F(x) можнопривести к каноническому виду λ1y12 + . . . + λryr2, λi = ∆ 1 ∆ ,i−1 ii = 1, . . . , r, ∆0 = 1, ∆1 = a11, ∆2 = a11a22 − a12a21, . . ..Задача 5. Найти канонический вид формыF(x)=x21 − 2x22 + x23 + 2x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3.Заметим, что Spec F = {−1, 1/2(1 ±√33)}.3Новосибирский государственный университетМеханико-математический факультетКафедра алгебры и математической логики, 2016–2017г.Квадратичные формыСеминар № 2 • группы 16136, 16141Знакоопределённые формы, пары формКвадратичная форма F(x) = xAxt положительно(отрицательно) определена, если F(x) > 0 (F(x) < 0) длялюбого ненулевого набора x = (x1, . .
. , xn) ∈ Rn.Критерий Сильвестра. Квадратичная форма F(x) = xAxtположительно (отрицательно) определена, если ∆i(A) > 0,i = 1, . . . , n (∆i/|∆i| = (−1)i).Задача 1. Доказать, что F(x) = xAxt положительноопределена ⇐⇒ A = BBt для некоторой невырожденнойB ∈ Mn(R).Задача 2. 1. Найдите все значения λ ∈ R, при которыхF(x) положительно определённая:F(x) = 2x21 + x22 + 3x23 + 2λx1x2 + 2x1x3.2. Найдите все значения λ ∈ R, при которых форма G(x)знакоопределённая:G(x) = λx21 − 2x22 − 3x23 + 2x1x2 − 2x1x3 + 2x2x3.Задача 3. Доказать, что в положительно определённойформе все коэффициенты при квадратах неизвестныхположительны и что это условие не является достаточнымдля положительной определённости.1Пусть дана пара форм F, G и F > 0.
Тогда приводимF к виду YEYt. При этом G приходит к виду YCYt.Ортогональной заменой приводим G к каноническомувиду ZDZt, при этом F = ZEZt.Задача 4. Выяснить, что в следующих парах формодна является положительно определённой. Найтиневырожденное линейное преобразование, приводящеепару форму к каноническому виду, и написать этотканонический вид:а) F = x21 + 26x22 + 10x1x2, G = x21 + 56x22 + 16x1x2;б) F = 8x21 + 16x1x2 + 14x1x3 − 28x22 + 32x2x3 + 14x23,G = x21 + 2x1x3 + 4x22 + 2x23.Задача 5. Пусть дана пара форм F(X) и G(X), при этомG(X) > 0.
Доказать, что канонический видF = λ1y12 + . . . + λnyn2 , G = y12 + . . . + yn2определен однозначно с точностью до порядка λ1, . . . , λn,которые являются корнями уравнения |A − λB| = 0, гдеA, B — матрицы форм F(X) и G(X).2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
