1611672539-b7ef95a69d59d792380d0741c0198e89 (826570), страница 5
Текст из файла (страница 5)
. . , fs (x) — стандартная система Штурма для f(x) на [a, b].Если deg fs (x) > 0, то g0 (x) = f0 (x)/fs (x),g1 (x) = f1 (x)/fs (x), . . . , gs−1 (x) = fs−1 (x)/fs (x), gs (x) = fs (x)/fs (x) = 1— стандартная система Штурма на [a, b].4Напомним:f0 (x) = f (x),f1 (x) = f 0 (x)f0 (x) = q1 (x)f1 (x) − f2 (x),deg (f2 (x)) < deg (f1 (x))f1 (x) = q2 (x)f2 (x) − f3 (x),deg (f3 (x)) < deg (f2 (x))···fk−1 (x) = qk (x)fk (x) − fk+1 (x),deg (fk+1 (x)) < deg (fk (x))···fs−2 (x) = qs−1 (x)fs−1 (x) − fs (x),deg (fs (x)) < deg (fs−1 (x))fs−1 (x) = qs (x)fs (x).Если deg fs (x) = 0, то f0 (x), f1 (x), .
. . , fs (x) — система Штурма дляf (x) на [a, b].Задача 4. Составить ряд Штурма и отделить корни полиномов:1. x3 + 3x − 1,2. x3 + 3x2 − 1,3. x3 + x2 − 2x − 1,4. x4 − 12x2 − 16x − 4,5. x3 − 3x − 5.Задача 5. Пусть f0 (x) = f (x), f1 (x), . . . , fs (x) — система Штурма дляf (x) на [a, b].
Доказать, что λ0 f0 (x), λ1 f1 (x), . . . , λs fs (x), где все λi > 0,также является системой Штурма.Задача 6. Исследовать число корней уравнения f (x) = ax2 +bx+c =0, где a > 0.Решение. Строим систему Штурма:f0 = f , f1 = f 0 = 2ax + b, f2 = D = b2 − 4ac.f0 f1 f2−∞ + − D+∞ + + DОтвет: D > 0 — два корня; D < 0 — нет корней; D = 0 — одинкратный корень.Задача 7. Найти условия, при которых полином x3 + px + q имеет1) один вещественный корень,2) три вещественных корня.Задача 8. Определить число корней из R уравнения xn + px + q.2nxЗадача 9. Пусть f (x) = 1 + x1 + 1·2+ . .
. + xn! . Доказать, что f (x), f 0 (x),n− xn! — система Штурма.5Формулы Ньютона, Результант, Дискриминант.PnkФормулы Ньютона. Пусть pk (x1 , . . . , xn ) =≥ 0. Тогдаi=1 xi , kдля выражения симметрических полиномов pk через элементарныесимметрические полиномы s1 , . . .
, sn имеются рекуррентные формулы:pk − pk−1 s1 + pk−2 s2 + . . . + (−1)k−1 p1 sk−1 + (−1)k ksk = 0, 1 ≤ k ≤ n,pk − pk−1 s1 + pk−2 s2 + . . . + (−1)n−1 pk−n+1 sn−1 + (−1)n pk−n sn = 0, k > n.Результант. Пусть f (x) = a0 xn +a1 xn−1 +. . .+an и g(x) = b0 xm +b1 xm−1 +.
. .+bm .Тогда результант Res(f , g) двух полиномов f и g определяется равенством¯¯¯ a0 a1 . . . . . . an 0 . . . . . . ¯¯¯¯ 0 a0 a1 . . . . . . an . . . . . . ¯¯¯¯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¯ m¯¯¯ . . . . . . . . . a0 a1 . .
. . . . an ¯¯,Res(f , g) = ¯¯¯¯ b0 b1 . . . . . . bm 0 . . . . . . ¯ ¯ 0 b0 b1 . . . . . . bm . . . . . . ¯ ¯¯¯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¯ n¯¯¯ . . . . . . . . . b0 b1 . . . . . . bm ¯ т.е. это определитель матрицы порядка n + m из коэффициентов f и g.Свойства результанта.1. Res(f , g) = 0 ⇔ a0 = b0 = 0 или f и g имеют общий делитель.2. Пусть f (x) = a0 (x − c1 ) . . . (x − cn ) и g(x) = b0 (x − d1 ) . .
. (x − dm ) в F[x]. ТогдаRes(f , g) =am0nYg(ci ) =(−1)nm bn0mYj=1i=1nf (dj ) = am0 b0Y(ci − dj ).i,jЗадача 1. Вычислить Res(f , g):1. f = x3 −3x2 +2x+1, g = 2x2 −x−1; 2. f = 2x3 −3x2 −x+2, g = x4 −2x2 −3x+4.Задача 2. При каком λ полиномы имеют общий корень:1. x3 − λx + 2, x2 + λx + 2; 2. x3 − 2λx + λ3 , x2 + λ2 − 2.Задача3. Решить системы:½ 2½ 2y − 7xy + 4x2 + 13x − 2y − 3 = 0y + x2 − y − 3x = 0y2 − 14xy + 9x2 + 28x − 4y − 5 = 0.y2 − 6xy − x2 + 11y + 7x − 12 = 0.1Дискриминант полинома. Пусть F — поле.
Рассмотрим в F[x1 , . . . , xn ]полиномY∆n =(xi − xj ).1≤j<i≤nТогда ∆2n симметричен и для некоторого полинома Dis имеем∆2n = Dis(s1 , s2 , . . . , sn ).Полином Dis называется дискриминантом семейства x1 , . . . , xn . Подставляяxi = ai ∈ F получим дискриминант семейства a1 , . . . , an . Когда ∆n = 0?∆n = detVn , где Vn — матрица Вандермонда (i-строка: (x1i−1 , . . . , xi−1n ), i ≤ n.)tВычислить det Vn det Vn .Пусть f (x) = xn + a1 xn−1 + . . . + an ∈ F[x] и c1 , .
. . , cn — его корни в некоторомрасширении поля F . Тогда по формулам Виета ak = (−1)k sk (c1 , . . . , cn ).Подставляя в Dis вместо sk элемент (−1)k ak получим дискриминант D(f )полинома f .Задача 4. Доказать, что f имеет кратные корни ⇔ D(f ) = 0.Задача 5. Вычислить D(f ) для f = x2 + ax + b и f = x3 + ax + b.Задача 6. Вычислить D(f ) для f (x) = x3 − x2 − 2x + 1 и f (x) = x3 + 2x2 + 4x + 1.Задача7∗ . Для неунитарного полинома f (a0 6= 1) положим D(f ) =Q2j<i (cj − ci ) . Тогдаa2n−200D(f ) = (−1)n(n−1)/2 a−10 Res(f , f ).2Новосибирский государственный университетМеханико-математический факультетКафедра алгебры и математической логики, 2016–2017г.Унитарные пространстваСеминар № 1 • группы 16136, 16141Процесс ортогонализации Грама-ШмидтаСкалярное произведение:1). (a, b) = (b, a) для любых a, b ∈ V;2).
(αa + βb, c) = α (a, c) + β (b, c) для любых a, b, c ∈ V, α, β ∈ F;3). если a 6= 0, то (a, a) ∈ R и (a, a) > 0.Пример: Cn — n-мерное пространство строк над C:Cn = {(α1 , . . . , αn ) : αi ∈ C}:(a, b) = α1 β1 + . . . + αn βn , если a = (α1 , . . . , αn ) , b = (β1 , . . . , βn ) .Векторы a, b ∈ V называются ортогональными, если (a, b) = 0.Обозначение: a ⊥ b. Очевидно, что a ⊥ b ⇔ b ⊥ a. Заметим, что0 ⊥ a для любого a ∈ V. Система векторов a1 , .
. . , an ∈ V называетсяортогональной, если (ai , aj ) = 0 при i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ n. Система векторовa1 , . . . , an ∈ V называется ортонормированной, если½0, i 6= j,(ai , aj ) = δij =1 ≤ i, j ≤ n.1, i = j,paПусть ||a|| = (a, a). Заметим, что || ||a|||| = 1.Лемма 1. Пусть a1 , . .
. , am — ортогональная система ненулевыхвекторов пространства V. Тогда:1). a1 , . . . , am — линейно независимая система;2). система a1 , . . . , am может быть дополнена до ортогональногобазиса V;3). если a1 , . . . , am — ортонормированная система, то она можетбыть дополнена до ортонормированного базиса.1Теорема 1 (процесс ортогонализации Грама-Шмидта). Влюбом конечномерном унитарном пространствесуществуетортонормированный базис.Процессомортогонализациисистемывекторовa1 , . . . , asназывается переход от этой системы к новой системе b1 , . .
. , bs ,построенной следующим образом:b1 = a1 , bk = ak −k−1Xcki bi (k = 2, . . . , s),i=1где cki =bi = 0.(ak ,bi )(bi ,bi )(i = 1, . . . , k − 1), если bi 6= 0, и cki — любое число, еслиЗадача 1.Применяя процесс ортогонализации, построитьортогональный базис подпространства, натянутого на даннуюсистему векторов: (2, 1, 3, −1), (7, 4, 3, −3), (1, 1, −6, 0), (5, 7, 7, 8).Задача 2.
Найдите векторы, дополняющие¡ 1 1 1следующие¢ ¡ 1 1 1 системы¢1векторов до ортонормированных базисов: 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , − 2 , − 21 .2Ортогональным дополнением множества L ⊂множество L⊥ = {x ∈ V|(x, y) = 0 для любого y ∈ L}.V называетсяЗадача 3. Доказать, чтоа) L⊥ — векторное подпространство в V,б) L ⊕ L⊥ = V.Задача 4.Найдите базис ортогональногоподпространства L ≤ R4 , натянутого на векторыa1 = (1, 0, 2, 1),a2 = (2, 1, 2, 3),дополненияL⊥a3 = (0, 1, −2, 1).Задача 5. Пусть L ≤ Rn . Доказать, что ∀x ∈ Rn ∃!y, z : x = y + z, y ∈L, z ∈ L⊥ . Вектор y называется ортогональной проекцией x на L, аz — ортогональной составляющей x относительно L.
Указать приёмдля вычисления y и z.Задача 6. Найдите ортогональную проекцию и ортогональнуюсоставляющую вектора x на подпространство L(a1 , a2 , a3 ) ≤ R4 , если1). x = (5, 2, −2, 2), a1 = (2, 1, 1, −1), a2 = (1, 1, 3, 0), a3 =(1, 2, 8, 1).2). x = (4, −1, −3, 4), a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1, 2, 2, −1), a3 =(1, 0, 0, 3).Задача 7. Линейное подпространство L ≤ R4 задано уравнениями:2x1 + x2 + 3x3 − x4 = 0,3x1 + 2x2 − 2x4 = 0,3x1 + x2 + 9x3 − x4 = 0.Найдите уравнения, задающие ортогональное дополнение L⊥ .Задача 8.
Покажите, что задание линейного подпространстваL пространства Rn и его ортогонального дополнения L⊥ вортонормированном базисе связаны так: коэффициенты линейнонезависимой системы линейных уравнений, задающей одно из этихподпространств, служат координатами векторов базиса другогоподпространства.Задача 9. Доказать, что⊥а) (L1 + L2 )⊥ = L⊥1 ∩ L2 ,⊥б) (L1 ∩ L2 )⊥ = L⊥1 + L2 ,в) (L⊥ )⊥ = L.3Новосибирский государственный университетМеханико-математический факультетКафедра алгебры и математической логики, 2016–2017г.Унитарные пространстваСеминар № 2 • группы 16136, 16141Cопряжённое преобразованиеЛинейное преобразование ϕ∗ ∈ L (V, V) называется сопряжённым клинейному преобразованию ϕ ∈ L (V, V) тогда и только тогда, когда(ϕ (x) , y) = (x, ϕ∗ (y)) для любых x, y ∈ V.Лемма. Для любых ϕ, ψ ∈ L (V, V):1). (ϕ∗ )∗ = ϕ;2).
(ϕ + ψ)∗ = ϕ∗ + ψ ∗ , (αϕ)∗ = α · ϕ∗ , где α ∈ F;3). (ϕ ◦ ψ)∗ = ψ ∗ ◦ ϕ∗ ;4). если U — ϕ-инвариантное подпространство V , то U⊥ — ϕ∗ инвариантное подпространство.Теорема (о матрице сопряжённого преобразования). Пустьe1 , . . . , en — ортонормированный базис V, тогда для любого ϕ ∈L (V, V) справедливо равенство³´τ∗[ϕ ]e1 ,...,en = [ϕ]e1 ,...,en .Задача 1. Линейное преобразование ϕ евклидова пространства вбазисе из векторов f1 = (1, 2, 1), f2 = (1, 1, 2), f3 = (1, 1, 0) заданоматрицей1 1 30 5 −1 .2 7 −3Найдите матрицу сопряженного преобразования ϕ∗ в том жебазисе, считая, что координаты векторов базиса даны в некоторомортонормированном базисе.Задача 2. Доказать, что линейное преобразование унитарногопространства Cn имеет инвариантное подпространство любойразмерности от нуля до n.Задача 3.Написать уравнение плоскости, инвариантнойотносительно линейного преобразования ϕ, заданного в некоторомортонормированном базисе евклидова пространства матрицей4 −23 1711 −43 30 .15 −54371Задача 4.Докажите, что если линейное преобразование ϕунитарного пространства Cn имеет собственные значения λ1 , .
. . , λn ,то собственными значениями сопряженного преобразования ϕ∗ будутсопряженные числа λ̄1 , . . . , λ̄n .Задача 5∗ .Пусть Rn = L1 ⊕ L2 — разложение унитарногопространства в прямую сумму двух подпространств; φ —проектирование Rn на L1 параллельно L2 ; L∗i — ортогональноедополнение для Li ; φ∗ — преобразование, сопряженное к φ.Доказать, что Rn = L∗1 + L∗2 (будет ли сумма прямой?), а φ∗ являетсяпроектированием Rn на L∗2 параллельно L∗1 .Задача 6∗ . Расстоянием от точки, заданной вектором x, долинейного многообразия P = L + x0 называется минимум расстоянийот данной точки до точек многообразия, т.
е. минимум длинвекторов x − u, где u — вектор многообразия P. Доказать, что эторасстояние равно длине ортогональной составляющей z вектора x−x0относительно линейного подпространства L, параллельным сдвигомкоторого получается многообразие P.Задача 7.Найти расстояние от точки, заданной вектором(4, 2, −5, 1), до линейного многообразия L :½2x1 − 2x2 + x3 + 2x4 = 9,L=2x1 − 4x2 + 2x3 + 3x4 = 12.2Новосибирский государственный университетМеханико-математический факультетКафедра алгебры и математической логики, 2016–2017г.Унитарные пространстваСеминар № 3 • группы 16136, 16141Ортогональные преобразованияПусть V — конечномерное унитарное пространство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
