1611143570-7556762e01438bc28ccbe371333ad107 (825033), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Законы изменения импульса и механической энергии99u 2600≅c ≅ 260 c , воспользуg9,8емся выражением (3.75) для нахождения искомой массы выброшенных ракетой газов в первую секунду полета:g(3.76)m(t ) t =1 c ≅ M 0 t≅ 384.6 кг.u t =1 cПоскольку по условию задачиЗадача 3.5(Закон изменения механической энергии)Два шарика с одинаковой массой m, соединенные нерастянутой пружинкой длиной l0, лежат на гладкой горизонтальной поверхности. На один из шариков начинает действовать постояннаясила F, направленная вдоль оси пружинки. Через некоторое времядлина пружинки становится максимальной и равной lmax. Определить коэффициент упругости пружинки k.РешениеПриложим силу F к переднему по направлению действия силы шарику (см.
рис. 3.7), поскольку в соответствии с условием задачи в результате действия силы происходит растяжение пружинки.Fx10x20XFx11x21XРис. 3.7Выберем систему координат, связанную с горизонтальнойповерхностью, направив ось X вдоль направления действия силы, иобозначим координаты шариков x10, x20 в начальный момент времени и x11, x21 в момент максимального сжатия пружины (как показано на рис.
3.7). В этом случае длина нерастянутой пружинки в исходном состоянии l0 = x20 − x10 , а ее длина в момент максимальногорастяжения lmax = x21 − x11 .Движение тел системы, состоящей из двух связанных пружинкой шариков, под действием внешней силы F из-за изменяю-МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ100щихся во времени внутренних упругих сил будет достаточно сложным. Однако в момент времени, когда расстояние между шарикамимаксимально и равно lmax, скорости их будут равны, что существенно упрощает решение задачи.
В соответствии с условием задачипренебрежем силами трения и сопротивления воздуха, массойпружинки и размерами шариков. Воспользуемся законом изменения механической энергии и теоремой о движении центра масс длявыбранной системы тел (см. п. 3.1).II. Закон изменения механической энергии (3.39) для системы«два шарика + пружинка» на интервале времени от начала действия силы до момента максимального растяжения пружинки имеетвид:mυ 2 k (lmax − l0 ) 2Δ( E k + E p ) = 2+= A,(3.77)22где υ – скорость шариков в момент максимального растяженияпружины, а работа внешней силы равнаA = F ( x21 − x20 ) .(3.78)Запишем уравнение движения центра масс (3.6) для рассматриваемой системы «два шарика + пружинка»:2 ma цм = F .(3.79)Поскольку центр масс системы движется равноускоренно сускорением aцм , изменение координаты центра масс будет равноx11 + x21 x10 + x20 υ цм−=,222aцм2(3.80)где υ цм = υ – скорость центра масс в момент максимального растяжения пружины.III.
Подставляя (3.79) в (3.80), выражаем квадрат скоростицентра масс через координаты шариков:F⎛x +xx + x20 ⎞2(3.81)υ цм= ⎜ 11 21 − 10⎟.m⎝22⎠Решая систему уравнений (3.77), (3.78) и (3.81), получаем искомый коэффициент упругости пружинки:FFk==.(3.82)( x21 − x11 ) − ( x20 − x10 ) lmax − l0Глава 3. Законы изменения импульса и механической энергии101Заметим, что, если приложить силу F к заднему по отношению к ее направлению шарику, то в процессе движения тел системы длина пружинки в некоторый момент времени станет минимальной lmin, при этом коэффициент упругости пружинки опредеF.ляется соотношением k =l0 − lminЭту задачу можно решить и в неинерциальной системе отсчета, связанной с центром масс системы «два шарика + пружинка»(см.
решение задачи 4.1 в главе 4).Задача 3.6(Закон изменения механической энергии)По гладкой внутренней поверхности полусферической чаширадиусом R из верхней ее точки начинает соскальзывать небольшаяшайба. Чаша движется с постоянной скоростью υ0 так, как показано на рис. 3.8. Определить скорость шайбы в тот момент, когда онабудет в нижней точке своей траектории.РешениеI.
Задачу можно решать либо в лабораторной системе отсчета, либо в системе отсчета, движущейся вместе с чашей.YnNαυ0Rυυотнυ0mgτXРис. 3.8Особенностью решения задачи в лабораторной системе является то, что работа силы нормальной реакции опоры N, действующей на шайбу, не равна нулю. Поэтому представляется интереснымрешить задачу в лабораторной системе отсчета.МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ102Выберем оси системы координат так, как показано нарис. 3.8. Будем использовать закон изменения механической энергии шайбы за время от начала движения до момента времени, когдаона будет в нижней точке своей траектории.II.
Запишем закон изменения механической энергии шайбы(см. (3.39)) в следующем виде:E2p + E2k − E1p + E1k = A ,(3.83)() ()mυ 2 mυ02−– изменение потенци22альной и кинетической энергии шайбы за рассматриваемый интервал времени в лабораторной системе отсчета, A – работа внешнихсил. В данном случае внешней является сила нормальной реакцииN, действующая со стороны чаши на шайбу. Для работы этой силыза малый промежуток времени dt можно записать:δA = N ⋅ υ d t .(3.84)Поскольку сила не меняется при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую, то для определения силы N воспользуемся теперь системой отсчета, связанной с чашей. Для этогозапишем уравнение движения шайбы относительно этой системы впроекциях на нормальную n и тангенциальную τ оси (рис.
3.8):где E2p − E1p = −mgR и E2k − E1k =2υотн= N − mg cos α ,(3.85)Rdυm отн = mg sin α ,(3.86)dtгде m – масса шайбы, υотн – модуль скорости шайбы относительночаши, α – угол между осью n и вертикалью.В системе отсчета, связанной с чашей, шайба движется поокружности радиуса R, следовательно, можно записать (рис. 3.8):dαυ отн = − R.(3.87)dtВ соответствии с принципом суперпозиции движений (см.формулу (1.26) в главе 1,) скорость шайбы относительно лабораторной системы отсчета равна:υ = υ0 + υотн .(3.88)mГлава 3. Законы изменения импульса и механической энергии103III. Система уравнений (3.83) – (3.88) позволяет определитьвсе кинематические характеристики движения шайбы. Сначала спомощью уравнений (3.85) – (3.88) преобразуем (3.84):gR cos αsin α d α .(3.89)δA = −3mυ02Находим работу A силы нормальной реакции опоры в лабораторной системе отсчета на интервале времени от начала движения до момента нахождения шайбы в нижней точке своей траектории, интегрируя (3.89) по α в пределах отπ2до 0:A = m 2 gRυ0 .(3.90)С использованием полученного выражения (3.90) для работыA, закон изменения механической энергии (3.83) принимает вид:mυ 2 mυ02− mgR +−= m 2 gRυ0 .(3.91)22В результате решения (3.91) относительно модуля скоростишайбы в нижней точке траектории получим:υ = υ0 + 2 gR .(3.92)Существенно проще можно решить задачу, используя законсохранения механической энергии (3.40) шайбы в инерциальнойсистеме, связанной с движущейся чашей, поскольку в этой системеотсчета работа силы нормальной реакции N равна нулю:2mυотн− mgR = 0 .(3.93)2Следовательно, модуль скорости относительного движения шайбыв момент прохождения нижней точки траектории равенυотн = 2 gR .(3.94)Используя принцип суперпозиции движений (см.
(3.88)), сразу получаем искомое значение скорости движения шайбы:υ = υ0 + υотн = υ0 + 2 gR ,(3.95)которое естественно совпадает с полученным ранее решением(3.92).Как видим, сопоставление двух приведенных вариантов решения задачи еще раз показывает, насколько важным является разумный выбор системы отсчета.МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ104Задача 3.7(Законы сохранения импульса и механической энергии.)В некоторый момент времени два шарика массами m1 и m2,удаленные от всех остальных тел, находятся на расстоянии l0 другот друга и имеют скорости υ1 и υ2 , направленные вдоль линии,соединяющей центры шаров так, как показано на рис. 3.9.υ2 m2m1l0υ1XРис. 3.9Найти наибольшее расстояние lmax между шариками в процессе их движения.РешениеI. Поскольку рассматриваемая система тел изолирована,удобно решать задачу в системе отсчета, связанной с центром масс,которая является инерциальной.
В этой системе отсчета тела подmmдействием сил гравитационного взаимодействия F = G 1 2 2 двиlгаются по прямой, при этом на максимальном расстоянии друг отдруга l = lmax скорости тел одновременно обращаются в ноль. Положительное направление оси X системы координат выберем совпадающим с направлением движения первого тела в начальныймомент времени.II. Запишем закон сохранения проекции импульса (3.13) системы двух тел для начального (соответствующего рис. 3.9) и конечного (соответствующего максимальному удалению частиц) моментов времени в системе центра масс, используя принцип суперпозиции движений:0 − (m1 (υ1 − υцм ) + m2 (υ 2 − υцм ) ) = 0 ,(3.96)где υ1 , υ 2 и υцм – проекции скоростей шариков и их центра масс наось X.Закон сохранения механической энергии (3.40) для рассматриваемой системы и выбранного интервала времени имеет вид:Глава 3.
Законы изменения импульса и механической энергии105ΔE k + ΔE p = 0 ,(3.97)где⎛ m (υ − υ ) 2 m (υ − υ ) 2 ⎞ΔE k = 0 − ⎜ 1 1 цм + 2 2 цм ⎟ ,(3.98)⎜⎟22⎝⎠а изменение потенциальной энергии запишем с учетом выражениядля работы парных центральных сил (см. п. 3.1) гравитационноговзаимодействия равноΔE p =l max∫Gl0⎛11 ⎞m1m2⎟⎟ .d l = Gm1m2 ⎜⎜ −2l⎝ l0 lmax ⎠(3.99)III.
Решая записанную систему уравнений (3.96) – (3.99), находим искомое расстояние между телами lmax в момент их максимального удаления:l0.(3.100)lmax =2l0 (υ1 + υ 2 )1− ⋅G 2(m1 + m2 )Поскольку наибольшее расстояние между шариками в процессе их движения lmax > 0, то полученное выражение (3.100) имеетсмысл при2(m1 + m2 )l0 < G.(3.101)(υ1 + υ2 )2Иначе шарики разлетятся на бесконечно большое расстояние.Задача 3.8Две одинаковые гантели скользят погладкой горизонтальной поверхности навстречу друг другу со скоростями υ1 и υ2 так,как изображено на рис. 3.10. Расстояние между шариками каждой гантели – l. Как будутдвигаться гантели после абсолютно упругогосоударения?υ2DCABυ1Рис.
3.10РешениеI. Будем считать шарики A, B, C и D рассматриваемых гантелей (см. рис. 3.10) материальными точками, а стержни, соединяющие эти шарики, невесомыми и нерастяжимыми. Задачу решаем вМЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ106двух системах отсчета: лабораторной системе, ось X декартовойсистемы координат которой направим так, как показано нарис. 3.11, и системе, связанной с центром масс системы тел, состоящей из двух гантелей. Направление оси X' системы центрамасс, изображенной на рис. 3.12, совпадает с направлением оси X.По условию задачи гантели движутся по гладкой горизонтальной поверхности, следовательно, центр масс системы тел, состоящей из двух гантелей, движется с постоянной скоростью, исистема отсчета, связанная с центром масс, является инерциальной.υ2DuCAυ1CXABBРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
