1611143570-7556762e01438bc28ccbe371333ad107 (825033), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Записать полную систему уравнений для искомых величин.1. Выбрать законы сохранения и записать их в выбраннойсистеме отсчета для выбранной механической системы ивыбранного интервала времени в рамках выбранной модели.2. Записать уравнения кинематических связей.3. Использовать результаты ранее решенных задач и особыеусловия задачи.III.
Получить искомый результат в аналитическом и численном видах.1. Решить систему полученных уравнений.2. Провести анализ решения (проверить размерность и лишние корни, рассмотреть характерные случаи, установитьобласть применимости).3. Получить численный результат.Примечание.Пункты I.6 – II.2 в случае необходимости выполняются неоднократно.мулируется так – если работа внешних сил и внутренних непотенциальных силравна нулю, то механическая энергия системы сохраняется.Глава 3. Законы изменения импульса и механической энергии913.3. Примеры решения задачЗадача 3.1(Закон сохранения импульса)Ствол игрушечной пушки направлен под углом α = 45° к горизонту.
Найти скорость пушки сразу после выстрела, если она незакреплена и может скользить по абсолютно гладкой поверхности.Модуль скорости снаряда относительно пушки сразу после выстрела равен υ0 = 2,2 м/с, а его масса в k = 10 раз меньше массы пушки.РешениеДля решения задачи воспользуемся общей схемой решениязадач механики с помощью законов сохранения.I. Выберем систему отсчета, связанную с горизонтальной поверхностью. Ось X декартовой системы координат направим горизонтально, а ось Y – вертикально вверх. Определимся с моделямиматериальных объектов и явлений. Система тел «пушка + снаряд»является замкнутой вдоль оси X в течение интервала времени отмомента, предшествующего выстрелу пушки, до момента временисразу после выстрела, поскольку в соответствии с условиями задачи сил трения, действующих на тела системы, нет.II.
Запишем закон сохранения проекции импульса (3.13) наось X для выбранной системы тел и рассматриваемого интервалавремени:(3.41)mпυ п + mсυ сx = 0 .Здесь υп и υсx – проекции скоростей пушки и снаряда после выстрела на ось X.Проекция на ось X неизвестной скорости снаряда относительно лабораторной системы отсчета υсx связана с проекциямискорости пушки υп и относительной скорости снаряда υ0 следующим образом:υ сx = υп + υ 0 cos α .(3.42)Используем также заданное в условии задачи соотношениемежду массами снаряда и пушки:mп=k.(3.43)mс92МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧIII. Решая систему уравнений (3.41) – (3.43), находим искомое выражение для проекции скорости пушки на ось X после выстрела:mс1= −υ0 cos αυп = −υ0 cos α.(3.44)mс + mп1+ kПодставляя в (3.44) значения физических величин, заданныхв условии задачи, получаемυп ≅ −0,14 м/сек .(3.45)Задача 3.2(Закон сохранения импульса)Две одинаковые тележки, на каждой из которых находится почеловеку, движутся без трения по инерции навстречу друг другу попараллельным рельсам.
Когда тележки поравнялись, с каждой изних на другую перепрыгнул человек в направлении, перпендикулярном к движению тележек. В результате первая тележка остановилась, а скорость второй стала равна V. Найти модули первоначальных скоростей тележек V1 и V2 , если масса каждой тележкиравна М, а масса каждого человека – m .РешениеI. В соответствии с общей схемой решения задач на законысохранения определимся с моделями материальных объектов и явлений. Пренебрегая сопротивлением воздуха, будем считать, чтоскорость каждого человека сразу после прыжка равна его скоростинепосредственно перед приземлением на другую тележку.На рис. 3.4 показано состояние системы тел для трех моментов времени: t1 – непосредственно перед прыжком, t2 – момент,когда оба человека находятся в полете, t 3 – сразу после приземления.На рис.
3.4 также изображена выбранная система координатXY, жестко связанная с рельсами, и обозначены скорости всех телв указанные моменты времени.На временном интервале (t1, t2) будем рассматривать две системы тел: «первый человек + первая тележка» и «второй человек + вторая тележка». Поскольку человек прыгнул в направлении,перпендикулярном движению тележки, то после отрыва от тележкипроекция его скорости на ось X (совпадающую с направлениемГлава 3. Законы изменения импульса и механической энергии93движения первой тележки; см.
рис. 3.4) равна скорости тележкипосле его прыжка.XYV12xV1V12xV12yV22xV22xV2t = t1V22yVt = t2t = t3Рис. 3.4На временном интервале (t2, t3) также рассмотрим две системы тел: «первый человек + вторая тележка», «второй человек + первая тележка».Поскольку все внешние по отношению к рассматриваемымсистемам тел силы (силы тяжести и силы реакции рельсов) направлены перпендикулярно направлению оси X, то эти системы телзамкнуты в направлении данной оси, и для них выполняется законсохранения проекции импульса на соответствующих им временныхинтервалах.II.
Запишем законы сохранения проекции импульса для выбранных систем тел и выбранных временных интервалов.Система тел «первый человек + первая тележка, временнойинтервал (t1 , t2 ) :( M + m)V1 = MV12 x + mV12 x .(3.46)Из уравнения (3.46) следует, что скорость тележки после прыжкачеловека не изменится:V12 x = V1 .(3.47)Аналогичный вывод можно сделать и для второй тележки,рассматривая тот же временной интервал и систему тел «второйчеловек + вторая тележка»:94МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧV 22 x = V 2 .(3.48)Система тел «второй человек + первая тележка, временнойинтервал (t 2 , t 3 ) :MV1 − mV2 = 0 .(3.49)В (3.49) учтено, что первая тележка остановилась после приземления второго человека.Для системы тел «первый человек + вторая тележка» и тогоже временного интервала имеем:mV1 − MV2 = −(m + M )V .(3.50)III.
Решая систему уравнений (3.49) – (3.50), находим искомые модули скоростей тележек в начальный момент времени:mMV1 = V, V2 = V.(3.51)M −mM −mПроанализируем полученное решение. Если массы тележекразные, то (3.51) дает однозначный ответ на вопрос задачи. В случае, когда M = m обе тележки останавливаются (V = 0).
При этомначальные скорости тележек могут быть любыми по величине, норавными друг другу: V1 = V2 .Задача 3.3(Движение тел с переменной массой)По двум горизонтальным рельсам движутся с постояннойскоростью υ0 = 1 м/с без трения (по инерции) две одинаковые тележки массой M0 = 100 кг каждая. В некоторый момент времениt0 = 0 на обе тележки сверху непрерывной струйкой начинает сыпаться песок так, что масса сыплющегося песка растет линейно позакону m = kt, где k = 10 кг/с. В первой тележке есть устройство длянепрерывного выброса всего ссыпанного на нее песка в направлении, перпендикулярном скорости тележки.
Из второй тележки песок не выбрасывается. Как будут зависеть от времени скорость иперемещение каждой тележки? За какое время каждая тележкапройдет расстояние L = 9 м?РешениеI. В соответствии с общей схемой решения задач на законысохранения рассмотрим особенности процессов для обеих тележек.В обоих случаях система тел «тележка + ссыпающийся на нее завремя dt песок» является замкнутой в направлении движения те-Глава 3. Законы изменения импульса и механической энергии95лежки, следовательно, можно использовать закон сохранения проекции импульса.
Выберем системы координат так, как показано нарис. 3.5.II. Закон сохранения проекции импульса на ось X для системы тел «тележка + ссыпающийся на нее за время dt песок» и интервала времени [t, t + dt] в обоих случаях имеет вид:M (t )υ (t ) + d m ⋅ 0 = (M (t ) + d m )(υ (t ) + d υ ) .(3.52)Здесь M(t) и υ (t ) – мгновенные значения массы и скорости тележки в момент времени t; dm – приращение массы тележки за малыйпромежуток времени dt, dυ – приращение скорости тележки.Рис.
3.5Из условия задачи следует, что(3.53)dm = kdt .Аналогично тому, как это было сделано в теоретическом введении при рассмотрении движения тел с переменной массой, пренебрежем в (3.52) членами второго порядка малости:0 = M (t )dυ (t ) + υ (t )dm .(3.54)Следовательно:dυk dt.(3.55)=−υ (t )M (t )Далее рассмотрим движение каждой тележки в отдельности.Тележка №1. В соответствии с условием задачи масса первойтележки не меняется со временем (M(t) = M0), поэтому, интегрируя(3.55), получим:kυln 1 = −t.(3.56)M0υ0Таким образом, зависимость скорости первой тележки отвремени имеет вид:МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ96υ1 (t ) = υ0e−ktM0.(3.57)Закон движения первой тележки получаем, интегрируя (3.57):kktt−t−t⎞M 0υ0 ⎛⎜M0M0 ⎟x1 (t ) = ∫ υ1 (t ) d t = ∫ υ0 edt =1− e.(3.58)⎟k ⎜00⎠⎝Воспользовавшись законом движения (3.58), находим время,за которое первая тележка пройдет расстояние L = 9 м:M1t1 = 0 ln(3.59)≅ 23,0 с.Lkk1−M 0υ0Тележка 2. В соответствии с условием задачи для массы второй тележки можно записать:M (t ) = M 0 + kt ,(3.60)и уравнение (3.55) принимает вид:k dtdυ2=−.(3.61)υ 2 (t )M 0 + ktПосле интегрирования (3.61) получаем:υM0ln 2 = ln.(3.62)υ0M 0 + ktЗависимость скорости второй тележки от времени имеет вид:M0υ 2 = υ0.(3.63)M 0 + ktИспользуя (3.63) находим закон движения второй тележки:ttM 0υ0Mυ ⎛kt ⎞⎟⎟ .x2 = ∫ υ 2 (t ) d t = ∫d t = 0 0 ln⎜⎜1 +(3.64)+MktkM00⎝⎠00Воспользовавшись законом движения (3.64), находим время,за которое вторая тележка пройдет расстояние L = 9 м:Lk⎞M ⎛t2 = 0 ⎜ e M 0υ 0 − 1⎟ ≅ 14,6 с.(3.65)⎟k ⎜⎠⎝III.
Проанализируем полученное решение. Масса второй тележки увеличивается со временем, поэтому при падении на нееочередной порции песка ее скорость уменьшается медленнее, чемГлава 3. Законы изменения импульса и механической энергии97скорость первой тележки. Графики зависимостей координат тележек от времени показаны на рис. 3.6.x, м2150x1max1100L5000100200t, с300400Рис. 3.6В соответствии с (3.58) координата первой тележки асимптоMυтически стремится к значению x1 max = 0 0 = 10 м. Скорость втоkрой тележки также уменьшается со временем, однако ее координата будет все время увеличиваться.Задача 3.4(Движение тел с переменной массой)Ракета поддерживается в воздухе на постоянной высоте спомощью жидкостного ракетного двигателя.
Начальная масса ракеты (с топливом) равна M0 = 105 кг, а скорость выбрасываемыхвертикально вниз газов равна u = 2600 м/с. Найти расход топливаμ(t) и массу выброшенных ракетой газов в первую секунду полета.РешениеI. Выберем систему координат, связанную с поверхностьюЗемли, ось X которой направим вертикально вверх. Для анализаусловия равновесия будем использовать закон изменения импульсадля системы тел «ракета + вылетевшие из нее газы». На эту систему тел действует внешняя сила – сила тяжести.II. Закон изменения проекции импульса (см. (3.7)) ракеты запишем в видеM (t ) ⋅ 0 − d m ⋅ u = − M (t ) g d t .(3.66)Здесь M(t) – масса ракеты в момент времени t;МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ98dm = μ (t )dt –(3.67)изменение массы ракеты за малый промежуток времени dt.Дополним это уравнение условием сохранения суммарноймассы ракеты и вылетающего газа:(3.68)dM +dm = 0.III. Решим полученную систему уравнений (3.66) – (3.68) относительно расхода топлива μ (t ) .Исключая из системы уравнений массу ракеты M и массу истекающих их нее газов m, получаем дифференциальное уравнениеотносительно μ (t ) :ud μ (t ) = − μ (t )dt .(3.69)gРешаем (3.69) методом разделения переменных:gln μ (t ) = − t + const ,(3.70)uμ (t ) =g− tuAe.(3.71)Константу интегрирования A в (3.73) определяем из уравнения (3.66), записанного для начального момента времени:M g(3.72)A = μ (0) = 0 .uВ результате получаем искомое выражение для расхода топлива:gM0g − u te .(3.73)uМассу газов, выброшенных ракетой за время t, находим в результате интегрирования μ (t ) по времени:μ (t ) =gt⎛− t⎞m(t ) = ∫ μ (t )dt = M 0 ⎜1 − e u ⎟ .(3.74)⎜⎟0⎝⎠uПри t <<масса выбрасываемых газов оказывается проgпорциональна времени их истечения:gm(t ) ≅ M 0 t .(3.75)uГлава 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
