1611143570-7556762e01438bc28ccbe371333ad107 (825033), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Движение материальной точки в неинерциальных системах121Примечания.В случае решения задач на динамику материальной точки впп. I.3 – I.5 речь идет о характеристиках материальной точки, ап. II.2 надо опустить.В случае решения задач на динамику простейших механических систем в пп. I.3 – II.2 речь идет о характеристиках и уравнениях движения тел и силах (в том числе силах инерции), действующих между телами рассматриваемой системы.Пункты II.1 – II.4 можно выполнять в той или иной последовательности в зависимости от решаемой задачи.4.3. Примеры решения задачЗадача 4.1(Поступательно движущаяся неинерциальная система отсчета)Два небольших шарика с одинаковой массой m, соединенныенерастянутой пружинкой длиной l0, лежат на гладкой горизонтальной поверхности.
На один из шариков начинает действовать постоянная сила F, направленная вдоль оси пружинки (см. рис. 4.3).FинFинFX, X'Рис. 4.3Через некоторое время длина пружинки становится максимальной и равной lmax. Определить коэффициент упругости пружинки k.РешениеI. Приложим силу F к переднему по направлению действиясилы шарику (см. рис. 4.3), поскольку в соответствии с условиемзадачи в результате действия силы происходит растяжение пружинки. При решении задачи будем использовать две системы отсчета: лабораторную инерциальную систему, связанную с неподвижной поверхностью, по которой скользят рассматриваемые тела,и поступательно движущуюся неинерциальную систему отсчета,связанную с центром масс системы «два шарика + пружинка».Направим ось X лабораторной системы отсчета и ось X' неинерциальной системы отсчета вдоль направления действия силы122МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧF (рис. 4.3). В инерциальной системе отсчета система тел движется под действием одной внешней силы F . В неинерциальной системе к указанной силе добавляются две переносные силы инерцииFпер. Силами трения и сопротивления воздуха пренебрегаем.II. Используя теорему о движении центра масс (см.
(3.6) вГлаве 3), найдем ускорение центра масс системы «два шарика + пружинка» в инерциальной системе отсчета:Faцм =.(4.18)2mПереносные силы инерции (4.16), действующие на каждый изшариков в неинерциальной системе отсчета, равны:Fпер = −maцм .(4.19)Запишем закон изменения механической энергии системы«два шарика + пружинка» в неинерциальной системе отсчета наинтервале времени от начала движения до момента максимальногорастяжения пружины (см. (3.39) в Главе 3):k (lmax − l0 ) 2(4.20)= − Fпер Δx1′ + F − Fпер Δx′2 .2Здесь Fпер – модуль силы инерции, Δx1′ и Δx′2 – изменения координат заднего и переднего шариков (по отношению к направлениюдействия силы) за указанный промежуток времени. Левая частьуравнения (4.20) представляет собой изменение потенциальнойэнергии упруго деформированной пружинки. В момент максимального растяжения пружинки относительная скорость шариковстановится равной нулю, следовательно, в системе отсчета, связанной с центром масс, кинетическая энергия шариков обращается вноль и ее изменение за указанный интервал времени также равнонулю.
Правая часть уравнения (4.20) представляет собой суммарную работу постоянных внешних сил, действующих на тела системы (включая силы инерции).III. Решая систему уравнений (4.18) – (4.20) с учетомΔx2 − Δx1 = lmax − l0 , получаем искомый коэффициент упругостипружинки:Fk=.(4.21)lmax − l0Решение этой же задачи в инерциальной системе отсчета,предложено в Главе 3 (задача 3.5).()Глава 4. Движение материальной точки в неинерциальных системах123Энергетический подход, реализованный нами при решениизадач (3.5) и (4.1), не позволяет проанализировать характер движения тел системы. В нашем случае при движении шариков длинапружинки изменяется по гармоническому закону, периодическидостигая своего максимального значения.
Законы движения шариков и изменения длины связывающей их пружинки будут полученыпри решении задачи (8.11) в Главе 8.Задача 4.2(Поступательно движущаяся неинерциальная система отсчета)Математический маятник длиной l и массой m подвешен кпотолку кабины лифта, опускающегося вниз с ускорением a ≤ g(см. рис. 4.4).XOO'y0X'α FперτTY'mgYaРис. 4.4Найти закон движения маятника относительно кабины лифта.Решить задачу в неинерциальной и инерциальной системах отсчета. Влиянием вращения Земли пренебречь.Решение 1I. В неинерциальной системе отсчета X'O'Y', связанной слифтом (рис.
4.4), на маятник действуют три силы: сила тяжестиmg , сила натяжения нити T и переносная сила инерции124МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧFпер = −ma , направленная вверх. Силами трения и сопротивлениявоздуха пренебрегаем.II. Уравнение движения тела массой m в проекции на тангенциальную к траектории ось τ относительно неинерциальнойсистемы отсчета имеет вид:maτ = ma sin α − mg sin α ,(4.22)где α – угол отклонения маятника от положения равновесия(рис. 4.4).Тангенциальное и угловое ускорения связаны соотношением(см. (1.19) в Главе 1):aτ = υ& = α&&l ,(4.23)где υ – модуль линейной скорости маятника.III.
Из уравнений (4.22) и (4.23) получаем уравнение движения маятника:g −aα&& +sin α = 0 .(4.24)lПолученное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно α легко решить в двух частных случаях: при малых углах отклонения маятника и при движении лифта сускорением, равным по величине ускорению свободного падения –a=g.При малых углах отклонения маятника sin α ≈ α уравнение(4.24) сводится к уравнению гармонических колебаний:α&& + ω 2α = 0 ,(4.25)здесь ω = ( g − a ) / l – круговая частота колебаний, которая определяется не только длиной маятника и ускорением свободного падения, но и ускорением лифта.Нетрудно убедиться подстановкой, что решением уравнения(4.25) является гармоническая функцияα (t ) = α 0 cos(ωt + ϕ0 ) ,(4.26)где амплитуда колебаний α 0 и начальная фаза ϕ 0 определяютсяначальными условиями.В случае движения лифта с ускорением, равным по модулюускорению свободного падения, уравнение (4.24) принимает вид(4.27)α&& = 0 .Глава 4.
Движение материальной точки в неинерциальных системах125Следовательно, движение маятника относительно неинерциальнойсистемы отсчета, связанной с лифтом, будет происходить с постоянной угловой скоростью α& , значение которой задается начальными условиями. Закон движения в этом случае имеет вид:α (t ) = α 0 + α& t ,(4.28)где α 0 – начальное отклонение маятника.Искомый закон движения маятника относительно кабинылифта в общем случае является решением уравнения (4.24), которое допускает аналитическое решение в двух рассмотренных намичастных случаях (см. (4.26) и (4.28)).Решение 2В инерциальной системе отсчета XOY (см.
рис. 4.4) координаты математического маятника x, y связаны с его углом отклонения α в неинерциальной системе X'O'Y' следующим образом:x = l sin α ,(4.29)y = y0 + l cos α ,где y0 – координата начала отсчета O' системы X'O'Y' относительносистемы XOY .Проекции ускорения маятника относительно инерциальнойсистемы отсчета находим, дважды дифференцируя по времени соотношения (4.29):&x& = −lα& 2 sin α + lα&& cos α ,(4.30)&y& = &y&0 − lα& 2 cos α − lα&& sin α .Уравнение движения маятника в проекциях на оси X и Yимеет вид (см.
(2.2) в Главе 2):m&x& = −T sin α ,(4.31)m&y& = mg − T cos α .Учитывая, что в соответствии с условием задачи лифт движется вниз с постоянным ускорением &y&0 = a , получаем из уравнений (4.30) и (4.31) уравнение движения маятника относительно неинерциальной системы отсчета:g −aα&& +sin α = 0 .(4.32)lМЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ126Как видим, уравнение (4.32) совпадает с уравнением (4.24), аследовательно решении задачи в инерциальной системе отсчетасовпадет с решением (4.26) и (4.28) в неинерциальной системе.Заметим, что оптимальным в данной задаче является выборнеинерциальной системы отсчета.Задача 4.3(Поступательно движущаяся неинерциальная система отсчета)Небольшое тело поместили на вершину гладкого полуцилиндра радиусом R, находящегося на горизонтальной поверхности (см.рис.
4.5). Полуцилиндру сообщают постоянное горизонтальное ускорение à , в результате чего тело начинает соскальзывать с поверхности полуцилиндра. Определить модуль скорости υ 0 телаотносительно полуцилиндра в момент отрыва и высоту H , на которой произойдет отрыв.РешениеI. Задачу решаем в поступательно движущейся неинерциальной системе отсчета, связанной с полуцилиндром. Относительноинерциальной системы отсчета ускорение неинерциальной системы равно a . На тело, находящееся на поверхности цилиндра действуют сила тяжести mg , сила нормальной реакции опоры N ипереносная сила инерции Fпер = −ma , изображенные на рис.
4.5.Y'NFперϑamgτnРис. 4.5X'Глава 4. Движение материальной точки в неинерциальных системах127Силами трения и сопротивления воздуха пренебрегаем. Полуцилиндр считаем абсолютно твердым телом, а соскальзывающеес его поверхности тело – материальной точкой.II. Уравнение движения тела относительно неинерциальнойсистемы отсчета в проекциях на нормальную и тангенциальную ктраектории оси имеет вид:υ2= mg cos ϑ − N − ma sin ϑ ,(4.33)Rmυ& = mg sin ϑ + ma cosϑ ,(4.34)где υ − модуль скорости тела относительно полуцилиндра, а ϑ −угол, задающий положение тела на поверхности полуцилиндра влюбой момент времени до его отрыва (см. рис.
4.5).В момент отрыва сила нормальной реакции, действующая натело со стороны полуцилиндра, обращается в ноль:N =0.(4.35)Дополним систему уравнений (4.33) – (4.35) начальными условиями для угла ϑ и скорости тела υ :ϑ (t = 0) = 0 , υ (t = 0) = 0 .(4.36)Получена полная система уравнений (4.33) – (4.36), позволяющая определить не только скорость тела, но и угол ϑ .Заметим, что попытка прямого решения полученной системыуравнений относительно скорости υ и угла ϑ приводит к громоздким преобразованиям. Решение задачи можно упростить, есливоспользоваться законом изменения механической энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
