1611143570-7556762e01438bc28ccbe371333ad107 (825033), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Преобразуя записанную систему уравнений (2.127),(2.128) и (2.130) – (2.132), получаем дифференциальное уравнениедля напряжений упругих сил:σ ( x) ⎞ ∂σ ( x)F0⎛= S 0 ⎜1 − 2 μ.(2.133)⎟l0E ⎠ ∂x⎝Глава 2. Динамика материальной точки и простейших систем75Интегрируя (2.133) методом разделения переменных с учетом граничных условий (2.129), получаем:F0 xS μ= S 0σ ( x) − 0 σ ( x) 2 .(2.134)l0EРешение уравнения (2.134) относительно σ ( x) имеет вид:σ ( x) =4 F0 μx ⎞⎟E ⎛⎜11±−.2μ ⎜⎝S 0l0 E ⎟⎠(2.135)Запишем искомое выражение для распределения напряженийупругих сил вдоль стержня с учетом малости второго слагаемого вподкоренном выражении (2.135):Fxσ ( x) = 0 .(2.136)S 0 l0Следовательно, распределение деформаций вдоль стержня всоответствии с законом Гука имеет вид:Fxε ( x) = 0 .(2.137)S 0 l0 EПолное продольное удлинение стержня находим, интегрируя(2.137):l0l0Fl∂ξΔl = ξ (l0 ) = ∫dx = ∫ ε ( x)dx = 0 0 .2S0 E∂x00Искомое относительное удлинение стержня равно:ΔlF= 0 .l0 2 S 0 E(2.138)(2.139)2.4.
Задачи для самостоятельного решенияЗадача 1На неподвижном клине с углом при основании α = 30° находится тело массой m1 , к которому прикреплена легкая нерастяжимая нить,перекинутая через невесомый блок, жеm1стко связанный с клином. К другомуm2концу нити прикреплено тело массойαm2 , не касающееся клина (см. рис.). От-МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ76ношение масс тел η = m2 m1 = 2 / 3 . Коэффициент трения междупервым телом и плоскостью равен μ = 0.1. Найти величину и направление ускорения второго тела.Ответ: ускорение второго тела направлено вниз и равноa2 = g (η − sin α − μ cos α ) (η + 1) = 0.05 g .Задача 2На наклонную поверхность, составляющую угол α с горизонтом, положили два бруска 1 и 2 (см.
рис.). Массы брусков равны m1и m2, коэффициенты трения между поверхностью и этими брусками – μ1 и μ2, причем2μ1 > μ2. Найти силу давления одного бруска1на другой, возникающую в процессе ихαскольжения, и углы α, при которых будетскольжение брусков.(μ − μ 2 )m1m2 g cos α ; α > arctg μ1m1 + μ 2 m2 .Ответ: F = 1m1 + m2m1 + m2Задача 3Материальная точка массой m движется по гладкой внутренней поверхности вертикального цилиндра радиусом R. Найти модуль силы давления материальной точки на стенку цилиндра в тотмомент, когда ее скорость составляет угол α с горизонтом и по модулю равна υ0 .()Ответ: F = mυ02 R cos 2 α .Задача 4Частица движется вдоль оси X по закону x = αt 2 − βt 3 , где αи β – положительные постоянные.
В момент времени t = 0 сила,действующая на частицу, равна F0 . Найти модули силы в точкеповорота и в момент, когда частица опять окажется в точке x = 0 .Ответ: − F0 , − 2F0 .Глава 2. Динамика материальной точки и простейших систем77Задача 5На гладкой горизонтальной поверхности лежит клин массойM с углом при основании α. Тело массой m скользит по наклоннойповерхности клина. Коэффициент трения между клином и теломравен μ . Найти горизонтальные проекции ускорений тела и клина,а также силы N и R, с которыми тело давит на клин и клин на горизонтальную поверхность.Ответ:g (sin α − μ cos α )mg (sin α − μ cos α ), aM = −,am =1mM1sin α (tg α − μ )+⋅+ sin α (tg α − μ )cos α Mm cos α⎛⎞⎜⎟mg()cossinm+αμα, R=⎜N=+ M ⎟g .1m⎜ 1 + m sin α (tg α − μ )⎟+sin α (tg α − μ )⎜⎟cos α M⎝ cos α M⎠Задача 6Нить перекинута через легкий вращающийся без трения блок.На одном конце нити прикреплен груз массой M, а по другой свисающей части нити скользит муфточка массой m с постоянным ускорением a′ относительно нити.
Найти силу трения, с которойнить действует на муфточку.Ответ: Fтр = (2 g − a′)mM (m + M ) .Задача 7Пуля, пробивая доску толщиной h, изменяет свою скорость отυ0 до υ . Найти время движения пули в доске, считая силу сопротивления пропорциональной квадрату скорости.h(υ 0 − υ )Ответ: t =.⎛ υ0 ⎞υ0υ ln⎜ ⎟⎝υ ⎠Задача 8Через блок, ось которого горизонтальна, перекинута нерастяжимая веревка длиной l.
За концы веревки держатся две обезьяныодинаковой массой, находящиеся на одинаковом расстоянии l отМЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ78блока. Обезьяны начинают одновременно подниматься вверх, причем одна из них поднимается относительно веревки со скоростьюυ , а другая со скоростью 2υ. Через какие интервалы времени каждая из обезьян достигнет блока? Массами блока и веревки пренебречь.2l.Ответ: t1 = t2 =3υЗадача 9Система трех тел, связанных между собой с помощью двухнитей и трех блоков, изображена на рисунке. Два тела подвешенына нитях, а третье находится на горизонтальной поверхности. Осикрайних блоков, в отличие от оси среднего блока, закреплены (см.рис.).m1m3m2Считая заданными массы m1 и m2, определить массу m3, прикоторой ось среднего блока будет оставаться неподвижной.
Трением и массами блоков и нитей пренебречь.2m1m2Ответ: m3 =.m1 + m2Задача 10Каков должен быть минимальный коэффициент тренияскольжения μ между шинами автомобиля и асфальтом, чтобы автомобиль мог пройти закругление с радиусом R = 200 м на скорости υ = 100 км/ч?Ответ: μ =υ2Rg≈ 0.4 .Глава 2. Динамика материальной точки и простейших систем79Задача 11.Однородный упругий стержень массой m подвесили за одинконец к потолку. Длина и площадь поперечного сечения стержня внедеформированном состоянии – l0 и S0 , модуль Юнга материаластержня равен E, а коэффициент Пуассона – μ. Определить относительное удлинение стержня под действием силы тяжести, а такжеотносительное изменение его объема.ΔlmgΔV (1 − 2μ )mgОтвет:=;=.2 ES0l0 2 ES 0 V0МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ80ГЛАВА 3ЗАКОНЫ ИЗМЕНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И МЕХАНИЧЕСКОЙЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК3.1. Теоретический материалЦентр масс механической системы (системы материальныхточек) – точка пространства, радиус-вектор которой rцм равенrцм =∑ mi rii,(3.1)mгде m = ∑ mi – масса механической системы, ri и mi – радиусiвектор и масса i-ой материальной точки системы.Скорость центра масс υцм – физическая величина, равная∑ mi υiυцм =i.(3.2)mгде υi – скорость i-ой материальной точки системы.Ускорение центра масс aцм – физическая величина, равная∑ mi aiaцм =i.mгде ai – ускорение i-ой материальной точки системы.(3.3)3.1.1.
Импульс механической системыИмпульс (количество движения) материальной точки p– физическая величина, равная произведению массы материальнойточки на ее скорость:p = mυ .(3.4)Импульс механической системы P – физическая величина,равная сумме импульсов материальных точек, из которых состоитсистема:P = ∑ pi = ∑ mi υi = mυцм ≡ pцм .(3.5)iiГлава 3.
Законы изменения импульса и механической энергии81Теорема о движении центра масс механической системы(уравнение движения центра масс) – произведение массы системы на ускорение ее центра масс относительно инерциальной системы отсчета равно сумме всех внешних сил F ex , действующих намеханическую систему со стороны тел, не входящих в систему.В соответствии со вторым и третьим законами Ньютона (см.Главу 2):(3.6)∑ mi ai = maцм = ∑ F j = ∑ F jex + ∑ F jin = F ex .iгдеF jexjjj– сумма внешних сил, действующих на j-ую материальнуюточку механической системы, F jin = ∑ Fijin – сумма внутреннихi≠ jсил, действующих на j-ую материальную точку механической системы со стороны других материальных точек, входящих в систему.Импульс силы F за физически бесконечно малый интервалвремени dt, в течение которого она действует, – физическая величина, равная произведению силы на этот интервал времени: F d t .Закон изменения импульса механической системы – изменение импульса механической системы относительно инерциальной системы отсчета за физически бесконечно малый интервалвремени dt равно импульсу суммы внешних сил, действующих насистему в этот интервал времени:(3.7)d P = F ex dt .Для конечного интервала времениt2ΔP ≡ P (t2 ) − P (t1 ) = ∫ F ex dt ,(3.8)t1где t1 и t2 – начальный и конечный моменты рассматриваемого интервала времени.Закон изменения проекции импульса механической системы – изменение проекции импульса механической системы относительно инерциальной системы отсчета на неподвижное относительно этой системы направление (задаваемое единичным вектором n ) равно проекции на то же направление импульса суммывнешних сил, действующих на систему:d Pn = Fnex dt ,(3.10)МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ82t2ΔPn ≡ Pn (t2 ) − Pn (t1 ) = ∫ Fnex dt .(3.11)t1Изолированная механическая система – механическая система, на которую не действуют внешние силы: F jex = 0 .Замкнутая механическая система – механическая система,для которой сумма всех внешних сил равна нулю:∑ F jex = F ex = 0 .jЗакон сохранения импульса механической системы – еслимеханическая система замкнута, то ее импульс относительно инерциальной системы отсчета сохраняется:ΔP ≡ P (t2 ) − P (t1 ) = 0 .(3.12)Замкнутая в данном направлении механическая система– механическая система, для которой проекция суммы всех внешних сил на неподвижное относительно инерциальной системы отсчета направление n равна нулю: Fnex = 0 .Закон сохранения проекции импульса механической системы – если система замкнута в данном направлении, то проекцияее импульса относительно инерциальной системы отсчета на этонаправление сохраняется:ΔPn ≡ Pn (t 2 ) − Pn (t1 ) = 0 .(3.13)Движение тела с переменной массой.Рассмотрим движение тела с переменной массой.
Пусть M(t)– масса тела в момент времени t и dm = −dM – масса отделившихся частиц за время dt (см. рис. 3.1).St + dttM(t)dmυ(t )υ1 (t )M(t) – dmυ( t ) + d υРис. 3.1. Характеристики тела и отделяющихся от него частиц вмоменты времени t и t + dtГлава 3. Законы изменения импульса и механической энергии83Запишем импульс тела в момент времени t и импульс тела сотделившимися от него частицами в момент времени t + dt:P (t ) = M (t )υ(t ) ,(3.14)P (t + d t ) = (M (t ) − d m )(υ(t ) + d υ ) + d mυ1 (t ) .(3.15)Здесь υ(t ) – скорость тела в момент времени t, dυ – изменениескорости тела за время dt, υ1 – скорость отделившихся частиц.С точностью до бесконечно малых величин второго порядкаизменение импульса механической системы, состоящей из тела иотделившихся от него за время dt частицами, равноP (t + d t ) − P (t ) = M (t ) d υ + d m u(t ) ,(3.16)где u(t ) ≡ υ1 (t ) − υ(t ) – скорость отделяющихся частиц относительно тела.Записав закон изменения импульса для рассматриваемой механической системы, получим уравнение движения для тела с переменной массой M(t), т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
