1611143569-ed123092d132ff77d44213ca2a0f5b5a (825029), страница 39
Текст из файла (страница 39)
≈ 3 · 10 м, H ≈ 1 м, g ≈ 10 м с , имеем P /m ∼(2gH)3/2 4` ≈ 0, 8 кВт/кг.5. 31. Средняя сила при выдергивании гвоздя равна приблизительно средней силе F приего забивании. Из закона сохранения энергииполучаем F ∼ 5mv 2 2`. При массе молотка m ≈ 1 кг, скорости егоv ≈ 5 м/с и длине ` ≈ 10 см сила, необходимая для выдергиваниягвоздя, F ≈ 103 Н.5. 32. Потенциальная энергия mgh переходит в работу силы реакции опоры, действующей на ноги человека.
Человек гасит свою скорость, приседая на расстояние l, равное примерно половине его роста:F ∼ mgh/` ≈ 3, 5 · 103H при m ≈ 70 кг, h/` ≈ 5.5. 33. Работа силы равнаmv 2 mgLmgLF` ≈≈, т. е. F ∼≈ 8 · 102 Н222`при массе ядра m ≈ 8 кг, длине полета ядра L ≈ 20 м, пути, проходимом ядром вместе с рукой при разгоне, ` ≈ 1 м.5. 34. Грубая оценка по порядку величины из закона сохраненияэнергии дает2mvц.тmg`Mчел+∼ F h, F ∼g,222где Mчел – масса человека, F – сила давленияодной ноги стоящего2человека.
Конечно, неточно Eкин = mvц.т2 (здесь vц.т – скоростьцентра тяжести, m – масса ручки), но в грубой модели такая точностьдостаточна:sMvxvц.т ≈h − ` g,= 2,mvц.т306ОТВЕТЫ. Задачи-оценкитак как v = ωr, т. е.sMvx ∼ 2h − ` g ≈ 15 м/сm2при M /m ≈ 70, h ≈ 0, 1 м, ` ≈ 1, 5 м, g = 10 м с .5. 35. p = F /S ∼ F d2 где F ≈ 1 H, d ≈ 0, 2 мм – ширинаследа, оставляемого шариком на бумаге, p ≈ 3 · 107 Па.5. 36. Разгоняется вода, а вместе с ней и снаряд, до скорости√v ∼ gh ∼ 102 м/с при h ≈ 1 км.5.
37. Струя движется только за счет давления столба водыp = ρgh. Из закона сохранения энергии для единицы объема приплотности ρ и скорости v имеемpρv 2∼ ρgh, откуда v ≈ 2gh.22При h = 100 м, g = 10 м с скорость v ≈ 45 м/с.5. 38. Работа сил давления пороховых газов идет в основном разгон2пули: pсрS` ∼ mv2 , где S ≈ 1 см2 = 10−4 м2, длина ствола ` ≈0, 5 м, масса пули m ∼ 10 г = 10−2кг, v ≈ 8 · 102 м/с, pср ∼mv 2 2S` ≈ 6 · 107 Па.5. 39. Мощность2mv 2,τгде τ – время сплющивания пули; m – ее масса; v – скорость. Если ввести длину пули `, являющуюся приблизительно расстоянием, накотором гасится скорость при расплющивании, то`2`τ≈= .v/2vТаким образом, p ≈ mv 3 4` ≈ 2 · 106 Вт = 2 MBт приm ≈ 3 · 10−3 кг, ` ≈ 10−2 м, v ≈ 3 · 102 м/с.p≈ОТВЕТЫ. Задачи-оценки3075.
40. Изменение импульса капли при ударе, равное mv, определяется произведением средней силы Fср ∼ pсрS, действующей накаплю, на время взаимодействия капли со стеной t ∼ r/v где r –радиус капли, a v – ее скорость.pТаким образом, mv ∼ F t, илиρ (4/3) πr3v ∼ pсрπr2 · r/v, v ∼ pср/ρ ≈ 30 м/с.5. 41. Используем гидростатическую модель распределения давления внутри Земли. Высота столба вещества равна радиусу Землиgср = g/2.
Давление p ∼ ρgср rЗ ∼ ρ (g/2) rЗ , ρ = MЗ /VЗ ∼23g/4πGrЗ , т. е. p ∼ 3g 2πG ∼ 1011Па.5. 42. Из второго закона Ньютона для небольшогообъема воды 2получим p = p0 + ρ (gh + a`0) ≈ p0 + ρ v 2` `0 ≈ 1, 4 · 105 Папри высоте цистерны h ≈ 1 м, длине цистерны `0 ≈ 5 м (учтено, чтоускорение машины a ∼ v 2 2`).5. 43. Работа пороховых газов A ∼ F `, где ` – длина части пуливнутри гильзы. Так какp2 11A=+,2 mг mпто скорость пулиrPmг mп12AA==.mп mпmг + mпВ ружье работа пороховых газов A0 ∼ F L, где L – длина разгона√пули в стволе.
Скорость пули при стрельбе v0 ∼ (1/mп ) 2A0mп безучета отдачи ружья. Таким образом,sA/A0v ∼ v0.(mг + mп)/mгПолагая силу давления пороховых газов F приблизительно постоянной и одинаковой в этих двух случаях, имеемs`/Lv ∼ v0≈ 40 м/с` + mп/mг308ОТВЕТЫ. Задачи-оценкипри `/L ≈ 102, mп /mг ≈ 3.5.
44. Введем ряд параметров: давление воздуха в аудитории p, ееобъем V , массу воздуха M , температуру T , молярную массу воздухаµ. Тогда по закону Клапейрона–Менделеева имеем pV = (M /µ) RT .Число молекул воздуха N выражается через постоянную АвогадроNA следующим образом:N = NAmpN= NA.µRTКинетическая энергия молекулы воды равнаmv 2 33 RT= kT =.222 NAЗапас энергии в воздухе33E = kT N = pV.22Вводя удельную теплоемкость c воды и записывая уравнение теплового баланса, для массы m воды, нагревающейся на ∆t, имеем33pV≈ 8 · 102 ≈ 103 кгE = pV = cm∆t откуда m =22c∆tпри p ≈ 105 Па, V = 1, 8·103 м3, ∆t = 80 К, c = 4, 2·103 Дж/(кг · К).5. 45. Кинетическая энергия осколков и воды при разлете примерно одинакова (давление внутри бутылки после превращения воды видеальный газ мгновенно возрастет больше чем в тысячу раз, так какиз уравнения Клапейрона–Менделеева имеем p = ρRT /µ) и в суммебудет равна начальной энергии воды:p2mv ∼ pV ∼ mRT /µ; отсюда v ≈ RT /µ.Полагая µ = 0, 018 кг/моль, R = 8, 31 Дж/(моль · К), T ≈ 300 К,получаем v ≈ 400 м/с.ОТВЕТЫ.
Задачи-оценки3095. 46. Закон сохранения импульса: mv ∼ M u, где m и v –массаM и u – масса и скорость мяча, h ∼ и скорость молекул,22 22u 2g ∼ m v M 2g, масса молекул m ∼ pV µ/≈ 6 г при объемемяча V = (4/3) πr3 = 4 · 103 см3 (если r ≈ 10 см). Полагая давление внутри мяча p ≈ 1, 5p0, µ = 0, 029 кг/моль, M ≈ 4 · 102 г,скорость молекул v ≈ 4 · 102 м/с и g ≈ 10 м/с2, получаем h ≈ 2 м.5. 47. Масса кислорода в атмосфере Земли M = (1/5) 4πrЗ2 p0/g.Число молей взаимодействующих углерода и кислорода одинаковы,так как при сгорании угля идет химическая реакция C + O2 = CO2:mC /µC = mO2 /µO2 , т.
е. mO2 = mC µO2 /µC .Таким образом,mO 2g∼ 5mC µO2≈ 5 · 10−6,2M4πrЗ p0µCтак как rЗ ≈ 6, 4 · 106 м, p0 ∼ 105 Па, µС = 0, 012 кг/моль, µO2 =0, 032 кг/моль.5. 48. Средняя плотность вещества человека близка к плотностиводы (человек, почти полностью погрузившись в воду, может неподвижно лежать, находясь в состоянии равновесия).
Плотность водыρ0 известна. Объем человека можно оценить по формуле V = m/ρ0,где m – его масса. Выталкивающая сила F равна плотности воздухаρ, умноженной на объем человека V и на ускорение свободного падения g: F ∼ mgρ/ρ0 ≈ 1 H при m ≈ 75 кг.5. 49. С учетом сохранения объема аудитории и давления в ней позакону Клапейрона–Менделеева получаем∆m ∼ m∆T /T = ρV ∆T /T,где ρ – плотность воздуха, а V – объем аудитории.
При V ≈ 2 · 103 м3,получаем ∆m ≈ 80 кг.5. 50. Так как объем и масса газа в баллоне сохраняются, то позакону Шарля p0/T = p/T0, где p0 и T0 – атмосферное давление и310ОТВЕТЫ. Задачи-оценкитемпература. Давление внутри выключенной лампочки выбирается таким, чтобы после нагрева поднявшееся давление p нагретого до температуры T газа сравнялось с внешним p0. Тогда p = p0T0/T . ПолагаяT0 ≈ 300 K, T ≈ 400 K получаем p = 3p0/4 ≈ 0, 7 · 105Па.5. 51.
Сила F = ∆pS = (p0 − p) S, где S – площадь, а ∆p – перепад давлений, который возникает из-за охлаждения воздуха в стакане и из-за изменения объема, так как вода, получившаяся из льда,занимает меньший объем. Из обобщенного газового закона имеемp0 (V0 − Vл) p (V0 − Vв)=,T0Tгде p0 – атмосферное давление; p – новое значение давления; Vл –объем льда; Vв – объем воды; V0 – объем стакана. В итоге имеемVл − Vв ∆T V0 − VлF = p0 S+= 30 HV0 − VвT V0 − Vвпри V0 = 20 см3, T0 = 273 К, ∆T = T − T0 = 20 К, S = 20 см2,Vл = 110 см3.5. 52.
Давление в остывающей медицинской банке падает. В результате возникает сила F , прижимающая банку к спине. Пусть температура и давление газа в горячей банке равняются T1 и p1, а в остывшей – T2 и p2, тогда F ∼ (p1 − p2) S. Масса и объем воздуха в банкепостоянны, поэтому; p1/T1 = p2/T2. ОтсюдаT2T2∆Tp2 = p1 , F ∼ p1 1 −S = p1 S.T1T1T1Пусть ∆T ≈ 100 К, T1 ≈ 400 К.
Тогда F ≈ 25 Н.5. 53. Пусть d – средний диаметр стволов и ` – среднее расстояние между деревьями. Мысленно сместим деревья от наблюдателятак, чтобы стволы образовали сплошной круговой забор, радиус которого равен искомому расстоянию x. За таким забором человека не311ОТВЕТЫ. Задачи-оценкибудет видно в любом направлении. В заборе длины 2πx окажется примерно 2πx/d деревьев, которые были сдвинуты с площади πx2. Еслина площадь S ∼ `2 приходитсяв среднем одно дерево, тона площади πx2 их будет πx2 `2.
Таким образом, 2πx/d≈ πx2 `2, откуда,полагая ` ≈ 3 м, d ≈ 0, 2 м, получаем x ≈ 2`2 d ≈ 102 м.5. 54. Возможна оценка, как при ударе мяча о стенку. Вводя обозначения (рис. O.5.54): R – радиус мяча,r – радиус площади соприкосновения мячаrOс плоскостью, ∆p – превышение давленияxRвнутри мяча над внешним, F – сила удара,Рис. O.5.54m – масса мяча, получаемxr=, x ≤ R отсюда r2 ≈ x · 2R.r 2R − xИз второго закона Ньютона имеемma = F = ∆pπr2,F ≈ ∆pπ · 2Rx,т. е. сила линейно зависит от деформации (как в законе Гука); отсюда, рассматривая коэффициент при x как жесткость κ, получаемκ = 2πR∆p. Вводя массу мяча m, получаем для частоты колебанийpp2π/T = ω = κ/m = 2πR∆p/m,откуда∆t = T /2 = π/ω =pπm/2R∆p ≈ 10−2 с.5. 55. Выберем размеры матраца: длина ` ≈ 2 м, ширина h ≈ 0, 5 м,толщина d ≈ 0, 1 м. Работа A силы F на пути (π/2) `/2 при сгибанииматраца приблизительноравна p∆V , где p – избыточное давление вматраце p ≈ 104 Па , а ∆V – изменение объема матраца,возникшее из-за изменения его формы в области сгиба ∆V ∼ d2h .Таким образом,π`4pd2h2F∼ pd h, откуда F ∼≈ 30 H.22π`312ОТВЕТЫ.
Задачи-оценки5. 56. Полагая объем парной V ≈ 100 м3, из уравнения Клапейрона–Менделеева для водяного пара (m – масса пара, ∆p – изменениедавления, µ – молярная масса воды, T – температура пара) имеем∆pV =mm RTRT, т. е. ∆p ≈.µµ VПолагая m = 1 кг, T ≈ 350 К, µ = 0, 018 кг/моль, V ≈ 102 м3,R = 8, 31 Дж/(моль · К) получаем ∆p ≈ 1, 6 · 103 Па ≈ 0, 02 атм.Возможно решение и через сравнение масс воздуха и пара в парной.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
