1611143556-2273da8470727e985a6fa41fb7d7276c (825019), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Давления, возникающие в твердом теле при его деформнровании, называются дпругили напряжениями. В отличие от давления в жидкости сила упругих напряжений в твердом теле может иметь любое направление по отношению к площадке, на которую она действует. % 1О1) пгосток Рхстяженне зл Простейшим видом деформации твердого тела является простое растяжение. Оно возникает в тонком стержне (рис.
1, а), один нз концов которого закреплен, а к другому приложена сила с, стремящаяся растянуть стержень. (При противоположном направлении силы Г возникает деформа- ция простого сжатия.1 Заметим, что закрепление в стенке, в силу Р закона равенства действия и противодействия, равносильно приложению к закрепленному концу силы, равной по величине и противо- 14 положной по направлению силе, действующей на свободный конец (рис. 1, б). Упругие напряжения в стержне определяются величиной Е/5 растягивающей силы, отнесенной к 1 скэ площади 5 поперечного сечения стержня; обозначим ее через р.
Эти напряжения, очевидно, одинаРкс. !. коны вдоль всей длины стержня. Эго значит, что на каждый элемент длины стержня дей- ствуют со стороны прилегающих к нему частей стержня одни и те же растягивающие усилия р (рис. 1, б). Ясно по- этому, что каждый сантиметр длины стержня подвергается одинаковому растяжению, так что полное удлинение стерж- ня И будет пропорционально его общей длине.
Другими словами, относительное удлинение Ы Х =-— 1а Р г) (где 1, — длина стержня до деформации) есть величина, не зависящая от длины стержня. Именно эта величина является, очевидно, мерилом степени деформации, испытываемой каждым участком тела. Благодаря большой сопротивляемости твердых тел испытываемые ими под влиянием внешних сил деформации обычно невелики. Именно, малыми являются величичы относительных изменений размеров тела — относительное удлинение в случае простого растяжения. Для таких деформаций можно считать, что они пропорциональны величине 318 (гл. хш твведыв тиль вызывающих их напряжений, а тем самым и величине приложенных к телу внешних сил.
Это утверждение называется законом Гула. Для простого растяжения закон Гука означает пропорциональность между относительным удлинением Х и растягивающим напряжением р. Это соотношение принято записывать в виде где коэффициент Е характеризует материал тела и называется модулем Юнга. Относительное удлинение Х есть, очевидно, величина безразмерная. Поэтому размерность модуля Е совпадает с размерностью р, т. е. модуль Юнга имеет размерность давления.
Приведем для иллюстрации значения модуля Юнга (в миллионах бар) для некоторых материалов: Иридия Сталь Медь .. 5,2 Кварц...... 0.73 2,0 — 2,1 Свинец...... О,!б 1.3 Лед ( — 2'С)... 0,03 Модуль Юнга, однако, еще не характеризует полностью свойства тела по отношению к его деформированию (или, как говорят, его упругие свойапва). Это ясно видно уже в случае простого растяжения.
Дело в том, что продольное растяжение стержня связано с сокращением его поперечных размеров: удлиняясь, стержень одновременно становится более тонким. Значение модуля Юнга позволяет вычислить (по заданному напряжению) относительное удлинение стержня, ио оно недостаточно для определения поперечного сжатия. Относительное уменьшение поперечных размеров стержня пропорционально тому же растягивающему напряжению р, а тем самым оно пропорционально и величине относительного растяжения Х.
Отношение относительного поперечного сжатия стержня к его относительному удлинению есть характерная для каждого данного материала величина, которую называют коэффициентом Пуассона; обозначим его буквой а. Таким образом, относительное поперечное сжатие (например, относительное уменьшение диаметра й 1ОП ПРОСТОЕ РАСТЯЖЕНИЕ растягиваемой проволоки) равно ОЛ= —.
ОР Е Мы увидим ниже, что коэффициент Пуассона не может превышать '1,. Для большинства материалов его значение лежит в интервале от 0,25 до 0,5. Значение О=О достигается у пористых тел (например, у пробки), не меняющих при растяжении своих поперечных размеров. Таким Обрааом, упругие свойства твердого тела характеризуются двумя величинами: Е и о. Подчеркнем, однако, что в наших рассуждениях мы молчаливо подразумеваем, что твердое вещество изотропно (обычио речь идет о поликрисгаллнческнх материалах).
Деформация же анизотропного тела — монокристалла — зависит ие только от расположения внешних сил по отношению к телу, но и от ориентации кристаллографических осей внутри него. Естественно, что упругие свойства кристаллов характеризуются ббльшим числом величин, чем у изотропных тел. Это число тем больше, чем ниже симметрия кристалла, и составляет от 3 в случае кубических кристаллов до 21 у кристаллов триклинной системы. Работа, производимая над деформируемым телом,запасается в нем в виде упругой энергии. Вычислим эту энергию для растянутого стержня. Работа, производимая растягивающей силой Г при увеличении длины стержня на бесконечно малую величину г((1 Л)= — 1чг(Л, а тем самым и приращение упругой энергии С((' ~10 ~(Л Подставив сюда Е=Яр, р.=ЕЛ и замечая, что произведение Я„есть объем )г стержня, получим БЕЛ 1 дХ =- УЕЛ г) =- Ъ'Ег( — „.
Отсюда следует, что если относительное удлинение стержня меняется От нуля до некоторого Л, то при этом производится работа — Ъ'ЕЛТ. Другими словами, в каждой единице объема деформированного стержня содержится упругая энергия ЕЛ' (/ =- —, 2 [гл.
хш ТВЕРДЫЕ ТЕЛА пропорциональная квадрату величины деформации. Ее можно представить также и в виде р2 и=- — др= —,. 2 2Е' Простое растяжение относится к однородным деформациям, т. е. таким, при которых все элементы объема тела деформируются одинаковым образом. Тесно связанной с простым растяжением (или сжатием), но неоднородной деформацией является изгиб тонкого стержня. Характер этой деформации легко уяснить, представив себе прут, согнутый в окружность. До изгиба прут был прямолинейным, так что длины всех его еволоконэ от одного конца до другого были одинаковымн. После изгиба это уже не так. Длина каждого волокна составляет 2пг, где г — радиус образуемой им окружности; но радиус прута по внутренней окружности меньше, чем по внешней.
Отсюда ясно, что, в то время как внутренняя часть прута испытала деформацию сжатия, внешняя часть растянулась. Поскольку боковых снл к поверхности прута не приложено, то упругие напряжения в нем действуют только вдоль его длины. Это н значит, что при изгибе в каждом элементе объема дело идет о простом растяжении или сжатии, но различном для разных элементов: участки, лежащие ближе к выпуклой стороне согнутого стержня, растягиваются, а расположенные ближе к вогнутой стороне — сжимаются. $102.
Всестороннее сжатие Формулы, относящиеся к простому растяжению, легко обобщить для произвольных однородных деформаций. Пусть твердый брусок в форме прямоугольного параллелепипеда растягивается (или сжимается) действующими на него со всех сторон силами, распределенными равномерно по каждой из его граней (рис. 2). Зтн силы создают в теле упругие напряжения, в общем случае различные в трех взаимно перпендикулярных направлениях (направления вдоль трех ребер параллелепипеда); обозначим их через р„, р, р„ причем положительные их значения отвечают растягивающим усилиям, а отрицательные — сжимающим.
Относительные же изменения длин в этих направлениях (положи- б !б2! зсестоеониек сжлтиа 32! тельные при растяжении н отрицательные при сжатии) обозначим через );, ),, Х,. Будем рассматривать эту деформацию как результат трех последовательных простых растяжений вдоль каждой из осей. Так, при растяжении под действием напряжения р„ тело удлиняется вдоль направления х и укорачивается в поперечных направлениях и и г, причем Суммируя результаты трех таких деформаций, получим следующие формулы: Р» и !Ру+ Ри) ~и и !Р + к Е ~ у Е Р.
— (Рк + Ру) й Е Найдем также, чему равно изменение обьема тела при деформации. Объем параллелепипеда с длинами ребер 1, 1, 1, есть Р= 1„1у1,. Прологарифмируем это выражение: Ру !и $' =- !и 1к+ !и 1 +! п 1, и напишем его дифференциал Н' Их б!у б1, Ри Рк Три члена этой суммы представляют собой относительные удлинения вдоль соответствующих осей. Поэтому т =Х„+Л,+Л., бУ Рис.
2. т. е. относительное изменение объема равно сумме относительных удлинений по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Подставив сюда написанные выше выражения для Х„)т, д„получим (Рк+ Ру + Рк)' бУ ! — 2а 11 л. д. Лвндву и др. твегдыа талл (гл. хш Рассмотрим некоторые интересные частные случаи однородных деформаций. Если тело подвергается одинаковым со всех сторон растягивающим (или сжимающим) усилиям, т. е. если действующие в нем упругие напряжения одинаковы во всех направлениях (р„=-р =р,), то одинаковы и относительные изменения всех размеров тела (Х„=Х =Х,=Х). Такая деформация называется всесторонним растяжением (или сжатием).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
