1611143556-2273da8470727e985a6fa41fb7d7276c (825019), страница 59
Текст из файла (страница 59)
При этом Х= — р, ! — 2о Е а относительное изменение объема — =ЗХ = —, р к к где коэффициент Е 3 (! — 2а) называется модулем всеспюроннего сжшпия. Обратная ему величина (1/К) совпадает, очевидно, с коэффициентом сжимае мости "=йй который мы рассматривали в $ 58. Таким образом, полученная формула связывает обычную сжимаемость твердого тела с его модулем ГОнга и коэффициентом Пуассона. Упругая энергия, запасенная в теле (в единице его объема) при всестороннем сжатии, равна з кх р* и — — ~2. р +2. р+2.,р )= — ).р= — = —. 2(~ххУУ*)2 22К' Величина К у всех тел должна быть положительной— объем тела увеличивается при растяжении и уменьшается при сжатии. В 5 70 было указано, что тела с обратной зависимостью объема от давления были бы абсолютно неустойчивы и потому не могут существовать в природе. )Это видно также и из написанной только что формулы для упругой энергии: при К«='0 эта энергия была бы отрицательной, а поскольку механическая система стремится перейти в состояние с наименьшей потенциальной энергией, то такое те- % 1О31 сдвиг ло стремилось бы самопроизвольно неограниченно деформироваться.1 Из положительности К следует, что должно быть и 1 — 2о)0, так что 1 о 2 т.
е. коэффициент Пуассона не может превышать 1/2. Рассмотрим еще сжатие бруска, зажатого боковыми стенками настолько жестко, что его поперечные размеры можно считать неизменяю- н р щимися (рис. 3); в таком случае говорят об одностороннем сжатии. Пусть направлению сжатия соответствует ось х. В силу реакции стенок, препятствующих боковому расширению бруска, в нем возяикают поперечные .4 напряжения р и р,. Их величина определяетсн из условия неизменности размеров бруска вдоль осей у н г (Х =Х,=О), причем из соображений симметрии заранее очевидно, что р =р,. 11аписав р — 1р.+я*) р.11 — 1 — ор- и найдем, что поперечные напряжения связаны с сжимающим давлением р„соотношением Продольное же сжатие бруска определится формулой Рк о 1Ру+ Рх) 1 — о — 2оь ~д= Е = Е11 о) Рх $103.
Сдвиг При всестороннем сжатии форма тела остается подобной самой себе, меняется лишь объем тела. Большой интерес представляют также деформации обратного характера, при которых меняется только форма, но не объем тела. Такие деформации называют сдвигом. таеулыа телА (гл. хш Неизменность объема означает, что )"к+ у"у+ )'у Н~ Отсюда следует, что и р.+р,+р,—.О.
Подставив р +р,= — р, в формулу Ру о (Ру+ РЭ х Е найдем, что относительное удлинение (или укорочение) вдоль какого-либо из ребер бруска и действующее в том же направлении напряжение связаны формулой )~х = Е Рк. !+а В это соотношение входит величина й)()+и). Половину этой величины называют модулам сдвига С Е 2(! +а) ' Проще всего, однако, осуществить деформацию сдвига, прилагая к бруску силы не перпендикулярные, а касательные к его поверхности. Пусть нижняя грань бруска закреп- лена неподвижно, а к верхней грани Р приложены силы, действующие в ее плоскости; направленные таким об! разом напряжения часто называют / скилывающими.
Под действием этих сил параллелепипед скосится, как показано на рис. 4. Угол скоса р (наРако 4. зываемый оглол! сдвига) при малых деформациях (которые мы только и рассматриваем) является малой величиной. В первом приближении можно считать, что высота параллелепипеда не изменится, поэтому не изменится и объем, т. е. мы действительно имеем дело с деформацией сдвига. Можно показать, что угол сдвига )) связан с неличиной р скалывающей силы (приложенной к ! см' плопгади) соотношением Р о й 1бЗ) сдвиг Как и модуль всестороннего сжатия, модуль сдвига должен быть величиной положительной (только при этом условии будет положительной упругая энергия, запасаемая в теле, подвергнутом деформации сдвига).
Отсюда следует, что должно быть 1+о - О, т. е. а ) — 1. Вспомнив также полученное в предыдущем параграфе неравенство а<'1м мы можем сказать, что значения коэффициента Пуассона для всех тел должны лежать в пределах — 1 < о < 1/2. Эти условия — единственные, которые следуют из общих требований механической устойчивости твердого тела. Таким образом, в принципе, могли бы существовать и тела с отрицательными значениями о.
Сделанный из такого материала стержень должен был бы расширяться при простом растяжении, а не сжиматься, как это подра- ряс. 5. зумевалось в $ 101. В природе, однако, не известны тела, обладающие такими свойствами, так что фактически коэффициент Пуассона меняется только в пределах от 0 до ",,. Близкие к '/, значения достигаются у таких тел, как резийа, которые значительно легче поддаются изменению своей формы, чем изменению своего объема: их модуль сжатия велик по сравнению с модулем сдвига.
Рассмотренный нами сдвиг прямоугольного бруска представляет собой однородную деформацию. Деформацией чистого сдвига, во неоднородной, является кручение стержня. Она возникает, если, закрепив один конец стержня, закрутить его второй конец. При этом различные сечении стержня будут поворачиваться на различные углы относительно закрепленного основания. Так как при этом не меняется ни высота, ни площадь сечения стержня, то не меняется также и его объем. Легко выяснить, как распределена по обьему стержня деформация сдвига при кручении.
Рассмотрим стержень кругового сечения (радиуса Н), и пусть его верхнее основание (гл. хш таегдые телА поворачивается относительно нижнего на некоторый угол ~р (рис. 5). Каждая из образующих цилиндрической поверхности стержня АВ переходит при этом в наклонную линию АВ'. Поскольку расстояние ВВ' равно В«р, то малый угол сдвига р на поверхности стержня равен ()ы~р= —" йг (( — длина стержня). Применяя такие же рассуждения к цилиндрической поверхности радиуса г(Д, мы найдем, что ее элементы тоже испытывают сдвиг, но на угол 0,— -Т ° гц меньший угла сдвига р на поверхности стержня.
Таким образом, при кручении различные элементы стержня испытывают различный сдвиг — тем меньший, чем ближе элемент к оси стержня. Вследствие деформации в закручиваемом стержне возникают упругие силы, уравновешивающие приложенные внешние силы. А так как элементы стержня люгут вращаться вокруг его оси, то условие равновесия, как известно из механики, сводится к равенству моментов упругих сил и приложенных сил.
Отсюда следует, что величина деформации кручения должна определяться моментом приложенных сил относительно оси стержня (или, как говорят, скручиваюи(ам А1олмнтол«). прн малых деформациях (когда мал утол сдвига р) справедлив закон Гука и угол закручивания стержня пропорционален скручивающему моменту. Соотношением между углом закручивания и скручивавшим моментом можно воспользоваться для измерения последнего.
Такой способ измерения момента сил широко используется в физике в так называемых крупшльных весах. В качестве «стержня» при этом применяются обычно тонкие кварцевые нити (толщиной! — !ООмюч), отличающиеся большой чувствительносгью и прочностью; измерение угла закручивания нити осуществляется по перемещению светового «зайчика», отраженного от прикрепленного к нити зеркальца. С помощью таких весов можно измерять чрезвычайно малые моменты. Естественный предел их чувствительности кладется лишь теми самопроизвольными хаотическими в 1041 пластичность колебаниями весов, которые происходят в силу неизбежных тепловых флуктуаций (аналогичных броуновскому движению).
Так, амплитуда флуктуационных крутильных колебаний весов, использующих кварцевую нить длиной 1О см и толщиной 1 мкм, составляет при комнатной температуре доли угловой минуты. 5 104. Пластичность Между деформациями сжатия (яли растяжения) и сдвига существует принципиальное различие, уяснить которое можно с помощью следующего рассуждения. Рассмотрим какое-либо тело, подвергнутое сдвигу. Пусть, например, это будет кубик, сделанный из какого- либо материала и вставленный в жесткий футляр, имеющий форму равновеликого (по объему) скошенного параллелепипеда.
В результате сдвига тело будет обладать некоторым запасом упругой энергии. Легко видеть, что расположение атомов в деформированном кубике не является энергетически выгодным. Другимп словами, это расположение не отвечает устойчивому равновесию (при заданной форме тела). В самом деле, представим себе, что футляр наполнен расплавленным веществом, из которого сделан кубик. Дав ему остыть, мы получим тело, для которого форма футляра будет естественной, а форма кубика, напротив, неестественной.
Новому расположению атомов отвечает, очевидно, меньшая энергия, так как в нем отсутствуег энергия сдвига. Мы видим, что деформация сдвига является, по существу, неустойчивой, так как в тех же границах, в которых находится деформированное тело, можно расположить атомы таким образом, чтобы энергия тела стала меныне. Ясно, что этот вывод относится только к сдвнгу и не относится к всестороннему сжатию. При сжатии источником возникновения упругой энергии является изменение объема тела, и потому ее нельзя устранить никаким перемещением атомов внутри того же объема.
Если бы при деформации (сдвиге) тела в нем возникало изменение в расположении атомов, устраняющее упругую энергию, то при снятии внешних нагрузок тело сохранило ззв (гл. Еш ТВЕРДЫЕ ТЕЛА бы свою измененную форму, не возвращаясь к исходному виду. Такие деформации„остающиеся после прекращения действия внешних сил, называются п,гаепгическилггс. Оказывается, что при не слишком больших напряжениях пластические деформации не возникают. При прекращении действия внешних сил исчезает и деформация.
Именно такие деформации и называюгся упругихггк все сказанное в предыдущих параграфах этой главы относилось только к ним. Существует определенная (для каждого тела) пороговая величина напряженна, начиная с которого в теле появляется пластическая деформация. Эта величина называется предслохг упругости. При меньших напряжениях снятие нагрузки возвращает тело в исходное состояние; при ббльших напряжениях после снятия нагрузки в теле остаются остаточные, пластические, деформации. Значение предела упругости зависит не только от вещества тела. Оно сильно меняется в зависимости от способа приготовления образца, его предварительной обработки, наличия в нем примесей и т. п.
Так, предел упругости монокрнсталлов алюминия составляет всего около 4 кГ/слгг, а технического алюминия — 1000 ЕГ(смг. Предел упругости углеродистой термообработанной стали достигает 6500 кГ)схгг. Предел упругости очень мал по сравнению с модулем сдвига. Поэтому предельная величина деформации, за которой наступает пластичность, вообще говоря, очень мала. Так, модуль сдвига алюминия равен 2,5.10' ЕГ(смг. Это значит, например, что монокристаллы алюминия упруги лишь до относительных деформаций А=--4/(2,5 10") 10 '. Сталь упруга до Х-10 '.
Пластическая деформация сама влияет на величину предела упругости тела: если подвергать тело пластической деформации, то его предел упругости повышается. Это явление называется упрочнением. Так, предел упругости моно- кристалла цинка настолько незначителен, что его легко согнуть пальцами; однако разогнуть такой кристалл будет уже трудно, так как в результате огибания предел упругости повышается. Явление упрочнения лежит, в частности, в основе изменения свойств металла при его холодной обработке, заключающейся в том или ином способе его пластического деформнрования. ~ 1О4) пллстичность Благодаря упрочнению тело, в когором действуют напряжения, превьнпающие предел упругости, пе разрывается. Оно будет испытывать пластическую деформацию, возрастающую до тех пор, пока вызываемые ею изменения не приведут к тому, что предел упругости сравняется с напряжениями, вызванными внешними силами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
