1611143556-2273da8470727e985a6fa41fb7d7276c (825019), страница 24
Текст из файла (страница 24)
В самом деле, наличие в решетке, например, оси симметрии 5-го порядка означало бы возможность найти в решегке УЧЕНИИ О СИММЕТРИИ (гл. Рь плоскость, усеянную узлами, образующими правильные пятиугольники. Но это заведомо невозможно, так как плоскость можно заполнить без просветов только правильными треугольниками, квадратами и шестиугольниками. Для того чтобы доказать это, рассмотрим какую-либо точку на плоскости, в которой сходятся ребра заполняющих эту плоскость многоугольников. Так как это заполнение происходит без просветов, то угол многоугольника (угол между двумя его соседними ребрамн) должен быть равен целой части ог 2п., т.
е. должен быть равен 2п/р, где 'р — какое- либо целое число. С другой стороны, известно, что угол в правильном п-угольнике равен п(п — 2)/и. Поэтому мы получаем равенство л (л — 2) 2л л д откуда видно, что величина 2л л — 2 должна быть целым числом. Но это имеет место лишь при а=3, 4, 6.
Таким образом, мы видим, что в решетках возможны далеко не все виды симметрии. Зто приводит к тому, что сушествует лишь сравнительно небольшое число типов симметрии решеток Бране. Зти типы называются кристаллическими системами. Перечислим их здесь. 1. Кубическая система. Наиболее симметричной решеткой Бране является решетка, имеющая симметрию куба (вместо того чтобы перечислять оси и плоскости симметрии решетки, мы просто указываем геометрическую фигуру— в данном случае куб,— обладающую такой же симметрией).
Мы получим такую решетку, расположив атомы в вершинах кубических ячеек. Но это не единственный способ построения решетки Бране с симметрией куба. Очевидно, что мы не нарушим кубической симметрии, если поместим по атому также и в центрах всех кубических ячеек; в то же время все атомы — в вершинах и в центрах кубических ячеек — будут иметь одинаковое взаимное расположение (имеют одинаковых соседей), т.
е. относятся все к одной решетке Бране. Можно также построить кубическую решетку Бране, добавив к атомам в вершинах кубических ячеек еще по атому в центрах всех их граней. 1За (гл. л учение о симметгии 1 1 1 й р , о , о1 о -Ы-- Г-э о а Г РНС. 15. рисунке); осгальные атолиы надо считать относящимися к следующим ячейкам. Отсюда следует, что объемы элементарных ячеек в объемноцентрированной и гранецентрированной решетках равны соответственно а'/2 и а"/4, где а— длина ребра основного куба. Длина а называется постоянной решетки. Это есть единственный численный параметр, которым должна характеризоваться кубическая решетка. Элементарные ячейки в объелшо- н гранецентрированных решетках сами по себе имеют форму, не обладающую симметрией куба, свойственной решетке.
В этом смысле изображение структуры кристалла с помощью таких ячеек не столь наглядно выявляет его симметрию, как изображение с помощью кубических, неэлементарных ячеек. Поэтому обычно характеризуют расположение атомов в кристалле именно по отношению к этим последним ячейкам. При этом Таким образом, существуют три различных решетки Браве, относящихся к кубической системе.
Их называют просплой, объемноценгпрированной и еранеиентрированной решетками (и обозначают соответственно символами Р, 1 и Г). На рис. 14 показано расположение атомов в ячейках этих решеток. Кубическая ячейка простой решетки Бране является в то же время и элементарной ячейкой. Ячейки же решеток 1 и Р отнюдь не являются элементарными; это видно уже из того, что в этих ячейках находится более чем по одному атому.
На рис. !5 показаны (жирными линиями) элементарные ячейки всех трех типов кубических решеток. В кубической объемноцентрированной ячейке находятся два атома (например, атомы 1 и !' на рис. 15), а в гранецентрированной ячейке — четыре атома (атомы 1, 1', 1, 1'" на 6 431 кгистьллические системы 1ЗВ пользуются прямоугольной системой координат с осями Х, У, Е вдоль трех ребер кубической ячейки, а в качестве единицы измерения координат выбирается постоянная а. Так, атом, находящийся в центре кубика, характеризуется тремя координатами '!, '/„ т/„ координаты '!„ '/,, О относятся к атому, находящемуся в центре грани, совпадающей с плоскостью ХУ, и т. п. 2.
Тетрагоиальная (или квадратная) система. Если вытянуть куб вдоль направления одного из ребер„получится менее симметричная геометрическая фигура — прямая квадратная призма. Ее симметрия отвечает симметрии решеток Браве тетрагональной системы. Таких решеток существует два вида: простая и объемноцентрированная (их ячейки тоже изображеяы на рис. 14).
На первый взгляд кажется, что можно было бы построить решетку с той же симметрией, добавив к ячейке простой решетки еще по Рлс. 16. одному атому в центрах оснований призм (рис. 16). Но легко видеть, что такая решетка свелась бы снова к простой теграгональной решетке Бране просто путем другого выбора основной квадратной призматической ячейки, т.
е. Мы не получаем ничего нового. Действительно, соединив атомы в центрах оснований двух соседних ячеек с атомами в их вершинах (как это показано на рис. 16), мы получим новую призму, пе отличающуюся по своей симметрии от исходной, но содержащую атомы лишь в своих вершинах. По аналогичной же причине не существует гранецентрированной тетрагональной решетки Бране — она сводится к объемноцентрированной.
Тетрагональная решетка характеризуется двумя постоянными: длиной стороны основания а и высотой с призматической ячейки. 3. Ромбическая (или ортогональная) система. Если растянуть куб вдоль двух его ребер, причем неодинаковым образом, то мы получим пряеюугольный параллелепипед с тремя различными длинами ребер.
Симметрия этой фигуры и соответствует симметрии решеток ромбической системы. Ромбические решетки Браве существуют четырех типов: простая, объемноцентрированная, гранецентрированная и учение о сиыиРТРии 1гл, с центрированными основаниями (последняя обозначается символом С). На рис. 14, как и для других систем, изображены основные параллелепипеды ромбических решеток, имеющие форму, соответствую)цую всей симметрии данной системы; и здесь они совпадают с элементарной ячейкой лишь в случае просгой решетки Браве. Ромбическая решетка характеризуется тремя параметрами: длинами п, Ь, с ребер призматической ячейки. Эти величины выбираются в качестве единиц длины вдоль осей прямоугольной системы координат, направленных вдоль соответствуюших ребер ячейки. 4.
Моноклинная система имеет еше более низкую симметрию. Она соответствует симметрии фигуры, которая получится из прямоугольного параллелепипеда, если его «скосить» в направлении одного из ребер; это есть прямой параллелепипед с произвольным основанием. К этой системе относятся две решетки Браве (Р и С на рис. 14). Моноклинная решетка характеризуется четырьмя параметрами — длинами а, Ь, с трех ребер ячейки и углом (3 между двумя из них (остальные углы — прямые). И здесь для описания положения атомов применяется система координат с осями вдоль трех ребер ячейки; эта система, однако, будет уже теперь не прямоугольной, а косоугольной.
5, Триклинная система соответствует симметрии произвольного косого параллелепипеда. Это есть наиболее низкая симметрия (содержашая в себе лишь центр симметрии). Сюда относится всего один тип решеток Бране Р, характеризующийся длинами а, Ь, с трех ребер своей ячейки и углами а, р, у между ними. Несколько особняком сгоят еще две кристаллические системы.
6. Гексагональная система. Решетки этой системы обладают очень высокой симметрией, соответствующей симметрии правильной шестигранной прямой призмы. Решетка Браве этой системы (обозначенная символом О) может быть осушествлена только одним способом: ее узлы расположены в вершинах шестигранных призм и в центрах их шестиугольных оснований.
Гексагональная решетка определяется двумя параметрами: длиной стороны основании а и высотой с призматической ячейки. Элементарной же ячейкой в этой решетке $44] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ 141 является параллелепипед (с основанием в виде ромба), указанный на рис. 14 пунктирныл1и линиями.
Ребра этой элементарной ячейки (высота с и две стороны а основания с углом 120' между ними) выбираются в качестве осей координат для описания положения атомов в решетке. 7. Ромбоэдрическая система ссютветствует симметрии ромбоэдра — фигуры, получающейся путем растяжения (или сжатия) куба по направлению одной из его пространственных диагоналей (без изменения длин его ребер); все его ~рани представляют собой одинаковые ромбы. В единственной возможной в этой системе решетке Бране (символ )т) узлы расположены в вершинах ромбоэдров. Эта решетка характеризуется двумя параметрами: длиной а ребер ячейки и углом а между ниии (при а=90' ромбоэдр превращается в куб).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
