1611141258-7fb874d5b06be127fe4f619126693e12 (824992), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ïðîâåðÿåòñÿ àíàëîãè÷íî ïðèìåðàì à) è á). Ïðè ýòîìíóëåâûì âåêòîðîì ÿâëÿåòñÿ íóëåâîé ìíîãî÷ëåí, à ïðîòèâîïîëîæíûì ìíîãî÷ëåí ñ ïðîòèâîïîëîæíûìè êîìïîíåíòàìè.Jã) Ñëåäóåò èç à), òàê êàê C = R2 .2.2. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü âåêòîðîâ. Áàçèñ ïðîñòðàíñòâàÎ ï ð å ä å ë å í è å 5. Ïóñòü {X1 , X2 , . . . , Xr } = X ⊂ Fn . Ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ X ñ êîýôôèöèåíòàìè α1 , α2 , . . . , αr íàçûâàþò âåêòîðX = α1 X1 + α2 X2 + . .
. + αr Xr .Åñëè α1 = α2 = . . . = αr = 0, òî êîìáèíàöèþ α1 X1 + α2 X2 + . . . + αr Xríàçûâàþò òðèâèàëüíîé.9Î ï ð å ä å ë å í è å 6. Ìíîæåñòâî âåêòîðîâ {X1 , X2 , . . . , Xr } = X ⊂ Fníàçûâàþò ëèíåéíî çàâèñèìûì, åñëè ñóùåñòâóåò èõ íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ, ò. å.∃(α1 , α2 , . . . , αr ) 6= (0, 0, . . . , 0) : α1 X1 + α2 X2 + . . .
+ αr Xr = 0.Ìíîæåñòâî âåêòîðîâ {X1 , X2 , . . . , Xr } = X ⊂ Fn íàçûâàþò ëèíåéíî íåçàâèñèìûì, åñëèα1 X1 + α2 X2 + . . . + αr Xr = 0 ⇐⇒ α1 = α2 = . . . = αr = 0.Ï ð å ä ë î æ å í è å 2 (Ñâîéñòâà ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè). Äëÿ ëþáîãîìíîæåñòâà âåêòîðîâ {X1 , X2 , . . . , Xr } = X ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà:1) åñëè Y ⊆ X è Y ëèíåéíî çàâèñèìî, òî X ëèíåéíî çàâèñèìî ;2) åñëè Y ⊆ X è X ëèíåéíî íåçàâèñèìî, òî Y ëèíåéíî íåçàâèñèìî ;3) õîòÿ áû îäèí âåêòîð Xi ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îñòàëüíûåâåêòîðû X òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà X ëèíåéíî çàâèñèìî ;4) åñëè X ëèíåéíî íåçàâèñèìî, òî Z ∈ hX i òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà X ∪ {Z} ëèíåéíî çàâèñèìî.Î ï ð å ä å ë å í è å 7.
Ìíîæåñòâî hX i âñåõ âîçìîæíûõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé âåêòîðîâ èç X íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé X , ò. å.hX i = {α1 X1 + α2 X2 + . . . + αr Xr | αi ∈ F, 1 ≤ i ≤ r}.Î ï ð å ä å ë å í è å 8. Íåïóñòîå ìíîæåñòâî L ⊆ M íàçûâàåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì ïðîñòðàíñòâà M íàä F, åñëè L ñàìî ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì íàä F îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé, èíäóöèðîâàííûõ èç M.Ï ð å ä ë î æ å í è å 3 (Êðèòåðèé ïîäïðîñòðàíñòâà). Ïóñòü L ⊆ M íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî.
Òîãäà L ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì ïðîñòðàíñòâà M íàä F òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà L çàìêíóòî îòíîñèòåëüíîâçÿòèÿ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé, ò. å. äëÿ ëþáûõ X, Y ∈ L è äëÿ ëþáûõλ, µ ∈ FλX + µY ∈ L.Ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà hX i ïî îïðåäåëåíèþ çàìêíóòà îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ è óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿðû, ò.
å. äëÿ ëþáûõ X , Y ∈ hX ièõ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ αX + βY ∈ hX i. Ñëåäîâàòåëüíî, hX i ÿâëÿåòñÿïîäïðîñòðàíñòâîì ïðîñòðàíñòâà Fn .Ï ð è ì å ð 5. Âûÿñíèòå, ÿâëÿþòñÿ ëè ëèíåéíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì ñîîòâåòñòâóþùåãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà êàæäàÿ èç ñëåäóþùèõ ñîâîêóïíîñòåé âåêòîðîâ:10à) âñå âåêòîðû ïëîñêîñòè, êàæäûé èç êîòîðûõ ëåæèò íà îäíîé èç îñåéêîîðäèíàò Ox è Oy ;á) ìíîãî÷ëåíû ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè ñòåïåíè n;â) {[x1 , x2 , .
. . , xn ]T ∈ Rn : x1 +x2 +. . .+xn = 0, } îòíîñèòåëüíî îáû÷íûõîïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿð â Rn ;ã) {[x1 , x2 , . . . , xn ]T ∈ Rn : x1 +x2 +. . .+xn = 1, } îòíîñèòåëüíî îáû÷íûõîïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿð â Rn .I à) Åñëè x ∈ Ox è y ∈ Oy , òî èõ ñóììà x + y 6∈ Ox ∪ Oy , çíà÷èò,ìíîæåñòâî Ox ∪ Oy íå ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì íà ïëîñêîñòè.á) Ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè n íå îáðàçóåò ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî â ïðîñòðàíñòâå ìíîãî÷ëåíîâ R[x]. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèìäâà ìíîãî÷ëåíàf (x) = xn + an−1 xn−1 + .
. . + a0èg(x) = −xn + bn−1 xn−1 + . . . + b0 .Òîãäà ñóììà ýòèõ ìíîãî÷ëåíîâ(f + g)(x) = (an−1 + bn−1 )xn−1 + . . . + (a1 + b1 )x + (a0 + b0 )èìååò ñòåïåíü ìåíüøå n, à çíà÷èò, íå ïðèíàäëåæèò äàííîìó ìíîæåñòâó.â) Äàííîå ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì â Rn . Äëÿäîêàçàòåëüñòâà ïðîâåðèì çàìêíóòîñòü îòíîñèòåëüíî âçÿòèÿ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé âåêòîðîâ äàííîé ñîâîêóïíîñòè. Ïóñòü [x1 , . . .
, xn ]T è [y1 , . . . , yn ]Tïðèíàäëåæàò äàííîìó ìíîæåñòâó, ò. å.x1 + . . . + xn = 0 = y1 + . . . + yn .Òîãäà λ[x1 , . . . , xn ]T + µ[y1 , . . . , yn ]T = [λx1 + µy1 , . . . , λxn + µyn ]T òîæåïðèíàäëåæèò äàííîìó ìíîæåñòâó, òàê êàê óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ(λx1 + µy1 ) + . . . + (λxn + µyn ) = λ(x1 + . . . + xn ) + µ(y1 + . . . + yn ) = 0.ã) Äàííîå ìíîæåñòâî íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì â Rn ,òàê êàê îíî íå çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî âçÿòèÿ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè [x1 , . . . , xn ]T è [y1 , . . . , yn ]T ïðèíàäëåæàò äàííîìó ìíîæåñòâó, ò. å.x1 + . . . + xn = 1 = y1 + . . . + yn ,òî(x1 + y1 ) + . . . + (xn + yn ) = (x1 + . . . + xn ) + (y1 + . . . + yn ) = 2 6= 1. J11Î ï ð å ä å ë å í è å 9.
Óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî âåêòîðîâ Fn ⊃ X ={X1 , . . . , Xr } íàçûâàåòñÿ áàçèñîì ïðîñòðàíñòâà L ⊂ Fn , åñëè:à) X ëèíåéíî íåçàâèñèìî;á) hX i = L.Äðóãèìè ñëîâàìè, êàæäûé âåêòîð Y èç L îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâëÿåòñÿ ââèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâ èç X :Y = α1 X1 + . . . + αr Xr .Êîýôôèöèåíòû [α1 , . . . , αr ]T â ðàçëîæåíèè âåêòîðà Y íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòàìè âåêòîðà Y â áàçèñå X .Î ï ð å ä å ë å í è å 10.
Ñòàíäàðòíûì áàçèñîì ïðîñòðàíñòâà Fn íàçûâàþò íàáîð âåêòîðîâE1 = [1, 0, . . . , 0]T ,E2 = [0, 1, . . . , 0]T ,En = [0, . . . , 0, 1]T ....,Ò å î ð å ì à 2. Ïóñòü {X1 , . . . , Xr } áàçèñ ëèíåéíîé îáîëî÷êè L ⊂ Fn ,è Y1 , . . . , Ys ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ èç L.
Òîãäà1) s ≤ r;2) {Y1 , . . . , Ys } ìîæåò áûòü äîïîëíåíà äî áàçèñà L.Ò å î ð å ì à 3. Êàæäîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî {0} =6 L ⊆ Fn îáëàäàåòêîíå÷íûì áàçèñîì. Âñå áàçèñû L ñîñòîÿò èç îäèíàêîâîãî ÷èñëà r ≤ nâåêòîðîâ.×èñëî âåêòîðîâ â áàçèñå L ∈ Rn íàçûâàþò ðàçìåðíîñòüþ ïðîñòðàíñòâà è îáîçíà÷àþò dim L.Ñ ë å ä ñ ò â è å 2. Ïóñòü L ⊆ Rn . Òîãäà1) åñëè S ⊆ L ïîäïðîñòðàíñòâî, òî dim S ≤ dim L;2) åñëè dim S = dim L, òî S = L.Ï ð è ì å ð 6. Âåêòîðû e1 = [1; 1; 1]T , e2 = [1; 1; 2]T , e3 = [1; 2; 3]Tè x = [6; 9; 14]T çàäàíû ñâîèìè êîîðäèíàòàìè â íåêîòîðîì áàçèñå. Ïîêàçàòü, ÷òî {e1 , e2 , e3 } áàçèñ ïðîñòðàíñòâà R3 . Íàéäèòå êîîðäèíàòûâåêòîðà x â ýòîì áàçèñå.I Ðàññìîòðèì òðèâèàëüíóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ α1 e1 + α2 e2 +α3 e3 = 0. Ïîäñòàâèì âìåñòî êàæäîãî âåêòîðà åãî ñòîëáåö êîîðäèíàò 1110α1 1 + α2 1 + α3 2 = 0 .1230Âû÷èñëèì ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà è ïðèðàâíÿåìñîîòâåòñòâóþùèå êîýôôèöèåíòû.
Ïîëó÷èì ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé12îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ α1 , α2 , α3 :α1 + α2 + α3 = 0,α1 + α2 + 2α3 = 0,α1 + 2α2 + 3α3 = 0.Ðåøàÿ ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé, íàõîäèì α1 = α2 = α3 = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîðû {e1 , e2 , e3 } ëèíåéíî íåçàâèñèìû, ïîýòîìó îíè îáðàçóþòáàçèñ â R3 .Òåïåðü íàéäåì êîîðäèíàòû âåêòîðà x â áàçèñå {e1 , e2 , e3 }, ò. å. êîýôôèöèåíòû â ðàçëîæåíèè x = α1 e1 + α2 e2 + α3 e3 . Ñíîâà, ïîäñòàâëÿÿ âìåñòî êàæäîãî âåêòîðà åãî êîîðäèíàòû, âû÷èñëÿÿ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþâ ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà è ïðèðàâíèâàÿ ñîîòâåòñòâóþùèå êîìïîíåíòûâåêòîðîâ, ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèéα1 + α2 + α3 = 6,α1 + α2 + 2α3 = 9,α1 + 2α2 + 3α3 = 14.Ðåøèì ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé.11100011120110123110069143521××××A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)= A(2) − A(1)= A(3) − A(2)= A(5) − A(4)= A(1) − A(5)Èòàê, ñòóïåí÷àòàÿ ìàòðèöà ñèñòåìû èìååò âèä1 0001000112 3A(7)A(6)A(4) .Îòñþäà íàõîäèì α1 = 1, α2 = 2, α3 = 3, ò.
å. [1; 2; 3]T êîîðäèíàòûâåêòîðà x â áàçèñå {e1 , e2 , e3 }.JÏ ð è ì å ð 7. Íàéäèòå ðàçìåðíîñòü è êàêîé-íèáóäü áàçèñ ëèíåéíîãîïðîñòðàíñòâà, íàòÿíóòîãî íà âåêòîðû a1 = [1; 0; 0; −1]T , a2 = [2; 1; 1; 0]T ,a3 = [1; 1; 1; 1]T , a4 = [1; 2; 3; 4]T , a5 = [0; 1; 2; 3]T . Íàéäèòå ëèíåéíûåçàâèñèìîñòè ìåæäó äàííûìè âåêòîðàìè.13I Çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê îáû÷íîé çàäà÷å ïðèâåäåíèÿ ìàòðèöû ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó.I ñïîñîá.1) Èç äàííûõ âåêòîðîâ ïî ñòðîêàì ñîñòàâëÿåì ìàòðèöó A.2) Ïðèâîäèì A ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó A0 .3) Íåíóëåâûå ñòðîêè ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöû A0 îáðàçóþò áàçèñ ëèíåéíîé îáîëî÷êè ha1 , a2 , a3 , a4 , a5 i.4) Âîññòàíàâëèâàÿ âûðàæåíèå êàæäîé íóëåâîé ñòðîêè A0 , ïîëó÷àåìëèíåéíûå çàâèñèìîñòè ìåæäó äàííûìè âåêòîðàìè. ýòîì ñëó÷àå ïîìåòêè, äåòàëèçèðóþùèå ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïîçâîëÿþò íàéòè òàêèå çàâèñèìîñòè ïîñðåäñòâîì îáðàòíûõ ïîäñòàíîâîê.121100000000011211011001011322011010−101433022011×××××××A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6) = A(4) − A(3)A(7) = A(6) − A(5)A(8) = A(3) − A(1)A(9) = A(2) − 2A(1)A(10) = A(9) − A(8)A(11) = A(5) − A(9)A(12) = A(9) − A(11)Èòàê, ïîëó÷èëè ñòóïåí÷àòóþ ìàòðèöó100000100000100−11100A(1)A(12)A(11)A(7)A(10) .Ñòðîêè A(1) = [1; 0; 0; −1]T , A(12) = [0; 1; 0; 1]T , A(11) = [0; 0; 1; 1]Tîáðàçóþò áàçèñ ëèíåéíîé îáîëî÷êè L = ha1 , a2 , a3 , a4 , a5 i, dim L = 3.Íàéäåì ëèíåéíûå çàâèñèìîñòè ìåæäó âåêòîðàìè a1 , a2 , a3 , a4 , a5 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
