1611141258-7fb874d5b06be127fe4f619126693e12 (824992)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1. ÑÈÑÒÅÌÛ ËÈÍÅÉÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉÏóñòü F îäíà èç ÷èñëîâûõ ñèñòåì: R èëè C.Î ï ð å ä å ë å í è å 1. Ñèñòåìîé ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòn íåèçâåñòíûõ x1 , x2 , . . . , xn íàçûâàåòñÿ ñèñòåìà âèäà:a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 , a x + a x + ... + a x = b ,21 122 22n n2..........................am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm ,(1)ãäå aij , bi ∈ F, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.Îñíîâíîé ìàòðèöåé ñèñòåìû (1) íàçûâàþò ìàòðèöóa11a12...a1n a21 a22 .

. . a2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1am2...amnÐàñøèðåííîé ìàòðèöåé ñèñòåìû (1) íàçûâàþò ìàòðèöóa11a12...a1n b1 a21 a22 . . . a2n b2  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  .am1am2...amn bmÎ ï ð å ä å ë å í è å 2. Óïîðÿäî÷åííûé íàáîð ÷èñåë (x◦1 , x◦2 , . . . , x◦n ) íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (1), åñëè ïðè ïîäñòàíîâêå x1 = x◦1 , x2 = x◦2 ,.

. . , xn = x◦n êàæäîå óðàâíåíèå îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ðàâåíñòâî.Êîëè÷åñòâîðåøåíèéÎäíî ðåøåíèåÑèñòåìàÑîâìåñòíàÿÎïðåäåëåííàÿ ÍåîïðåäåëåííàÿÌíîãî ðåøåíèéÍåò ðåøåíèéÍåñîâìåñòíàÿÄâå ñèñòåìû íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè îíè íåñîâìåñòíû èëèñîâìåñòíû è èìåþò îäèíàêîâîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé.1.1. Ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõÝëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ñèñòåìû óðàâíåíèé íàçûâàþò:(R1) óìíîæåíèå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû íà ÷èñëî, íå ðàâíîå íóëþ;1(R2) ïðèáàâëåíèå ê îäíîìó óðàâíåíèþ äðóãîãî, óìíîæåííîãî íà ÷èñëî;(R3) ïåðåñòàíîâêà ïàðû óðàâíåíèé ìåñòàìè.Ï ð å ä ë î æ å í è å 1.

Äâå ñèñòåìû ýêâèâàëåíòíû, åñëè îäíà èç íèõ ïîëó÷åíà ïóòåì ïðèìåíåíèÿ êîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýëåìåíòàðíûõïðåîáðàçîâàíèé.Î ï ð å ä å ë å í è å 3. Ìàòðèöó íàçûâàþò ñòóïåí÷àòîé, åñëè:à) ïåðâûé ñëåâà ýëåìåíò â êàæäîé ñòðîêå ðàâåí 1 (ãëàâíàÿ åäèíèöà);á) îñòàëüíûå ýëåìåíòû ñòîëáöà, ñîäåðæàùåãî ãëàâíóþ åäèíèöó, ðàâíû0;â) â êàæäîé ñëåäóþùåé ñòðîêå ãëàâíàÿ åäèíèöà ðàñïîëîæåíà ïðàâåå,÷åì ãëàâíàÿ åäèíèöà ïðåäûäóùåé ñòðîêè....01∗...∗∗0...∗0∗...∗. . .

0 0 0 . . . 0 1 ∗ . . .∗ 0 ∗ ... ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 0 0 0 ... 0 0 0 ...01∗ ... ∗ 000 ... 0  ... 0 0 0 ... 0 0 0 .... . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....000...000...000...0Ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ñòðîê ìàòðèöû íàçûâàþò ïðåîáðàçîâàíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåìåíòàðíûì ïðåîáðàçîâàíèÿì óðàâíåíèé:(R1) óìíîæåíèå ëþáîé ñòðîêè íà íåíóëåâîå ÷èñëî;(R2) ïðèáàâëåíèå ê îäíîé ñòðîêå, äðóãîé, óìíîæåííîé íà ÷èñëî;(R3) ïåðåñòàíîâêà ìåñòàìè ëþáîé ïàðû ñòðîê.Ñòàíäàðòíûé ìåòîä ïðèâåäåíèÿ ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó çàêëþ÷àåòñÿ â ïîñëåäîâàòåëüíîì çàíóëåíèè ýëåìåíòîâ ìàòðèöû, íà÷èíàÿ ñ ëåâîãî ñòîëáöàè äâèãàÿñü âïðàâî.Ï ð è ì å ð 1. Ïðèâåäèòå ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó ìàòðèöó0−2−7101 −3 2 1 02130 .2 1I Îáîçíà÷èì ÷åðåç A(k) ñòðîêó k òåêóùåé ìàòðèöû, è ñïðàâà îò ìàòðèöû áóäåì óêàçûâàòü ïðåîáðàçîâàíèå, êîòîðûì ïîëó÷åíà äàííàÿ ñòðîêà.0 −3 121201−2−71030 2 12èñõîäíàÿ ìàòðèöà(R3)(R2)(R2)(R3)(R2)(R2)(R3)(R1)(R2)(R2)1−30210021000100010001000100010001000100002110211021101210101010001000100010001001−7−201−4−201−4−2−21−2−4−21−20−21−2001−2001−2001−2001−20020312631263−3236−3230−3230−623−602310031000103A(1) ↔ A(2)A(2) A(2) + 3A(1)A(4) A(4) − 2A(1)A(2) ↔ A(3)A(3) A(3) − 2A(2)A(4) A(4) − A(2)A(3) ↔ A(4)A(3) − 61 A(3)A(1) A(1) − 2A(3)A(2) A(2) − 3A(3) .Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî ïîðÿäîê ñòðîê â ìàòðèöå ïî õîäó âû÷èñëåíèéñîâåðøåííî íå âàæåí.

Äîñòàòî÷íî ëèøü ñëåäèòü çà òåì, êàêàÿ ñòðîêàÿâëÿåòñÿ âåäóùåé íà äàííîì øàãå, íå âçèðàÿ íà åå ïîëîæåíèå â ìàòðèöå.Ïîñêîëüêó ïîðÿäîê ñòðîê â ìàòðèöå íå èãðàåò íèêàêîãî çíà÷åíèÿ,ìîæíî çíà÷èòåëüíî ñîêðàòèòü çàïèñü êàæäîãî øàãà. Çàìåíèì ïåðåïèñûâàíèå âñåé ìàòðèöû áîëåå êîðîòêèìè äåéñòâèÿìè:1) óêàçàòü ýëåìåíòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå R, ñîâåðøàåìîå íà äàííîìøàãå;2) ïðèïèñàòü ñíèçó ê ìàòðèöå ðåçóëüòàò ïðåîáðàçîâàíèÿ R, ò.

å. íîâóþñòðîêó;3) ïîìåòèòü êàê óäàëåííóþ ñðîêó, ê êîòîðîé ïðèìåíÿëîñü ïðåîáðàçîâàíèå R; âìåñòî íåå äàëåå áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ òîëüêî ÷òî ïîëó÷åííàÿñòðîêà.Ïðè ýòîì ïîëåçíî íóìåðîâàòü ñòðîêè, à óäàëåííûå ñòðîêè íå çà÷åðêèâàòü, à èìåííî ïîìå÷àòü (íàïðèìåð, çíàêîì ×)Âåðíåìñÿ ê ðàçîáðàííîìó ïðèìåðó. Ïîñëå ïåðâîãî øàãà ïîëó÷èëàñüçàïèñü0−312012012−2−710−430216×A(1)A(2)A(3)A(4)A(5) = A(2) + 3A(3) .Ïðîäîëæàÿ, ïîëó÷èì çàïèñü âû÷èñëåíèé â âèäå òàáëèöû0−312000000112012100010−2−710−4−2000−2130216−30−6100×××××××A(1)A(2)A(3)A(4)A(5) = A(2) + 3A(3)A(6) = A(4) − 2A(3)A(7) = A(5) − 2A(1)A(8) = A(6) − A(1)A(9) = − 61 A(8)A(10) = A(1) − 3A(9)A(11) = A(3) − 2A(9) .Ðàñïîëàãàÿ íåâû÷åðêíóòûå ñòðîêè ìàòðèöû â ïðàâèëüíîì ïîðÿäêå,4ïîëó÷àåì ñòóïåí÷àòûé âèä èñõîäíîé ìàòðèöû1 0 000100A(11)A(10)A(9)A(7)1 0−2 0 0 1 0 0J1.2.

Êðèòåðèé ñîâìåñòíîñòè ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèéÒ å î ð å ì à 1. Ëþáàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ýêâèâàëåíòíà (åäèíñòâåííîé) ñèñòåìå ñòóïåí÷àòîãî âèäà.Ñ ë å ä ñ ò â è å 1. Âåðíû óòâåðæäåíèÿ :1) Ñèñòåìà îïðåäåëåíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå ñòîëáöû ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöû ãëàâíûå.2) Ñèñòåìà ñîâìåñòíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäîé íóëåâîé ñòðîêå â ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöå ñîîòâåòñòâóåò íóëåâîé ñâîáîäíûé÷ëåí.3) ×èñëî ïàðàìåòðîâ, îïèñûâàþùèõ ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû,ðàâíî ÷èñëó íåãëàâíûõ ñòîëáöîâ.Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòå ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé−x1 + x3 − 3x4 + 2x5 = 1,2x1 − x3 + 5x4 − x5 =3,x1 − 2x3 + 4x4 − 5x5 = −6.I Çàìåòèì, ÷òî âñå ïðåîáðàçîâàíèÿ óðàâíåíèé ñèñòåìû ìåíÿþò òîëüêî êîýôôèöèåíòû â óðàâíåíèÿõ, ïîýòîìó âñå ïðåîáðàçîâàíèÿ îáû÷íî ïðîèçâîäÿò íàä ðàñøèðåííîé ìàòðèöåé äàííîé ñèñòåìû.Çàïèøåì ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó ñèñòåìû è ïðèâåäåì åå ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó.−12100001000000001−1−2−13100−3541−3−1022−1−5−3930113−6−5155045×××××A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)A(8)= A(1) + A(3)= A(2) − 2A(3)= 31 A(5)= A(4) + A(6)= A(3) + 2A(6)Èòàê, ñòóïåí÷àòàÿ ìàòðèöà äàííîé ñèñòåìû"1000012−11345#A(8)A(6),ãäå ðàìêîé âûäåëåíû ãëàâíûå åäèíèöû.

Òåïåðü ìîæíî çàïèñàòü îáùååðåøåíèå â âèäåx1 = −2x4 − x5 + 4,x3 =x4 − 3x5 + 5,x , x , x ∈ R24 ïðîèçâîëüíûå.5JÏ ð è ì å ð 3. Èññëåäîâàòü ñèñòåìó óðàâíåíèé íà ñîâìåñòíîñòü è íàéòèîáùåå ðåøåíèå â çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðà λ5x1 − 3x2 + 2x3 + 4x4 = 3,4x − 2x + 3x + 7x = 1,12348x1 − 6x1 − x3 − 5x4 = 9,7x1 − 3x2 + 7x3 + 17x4 = λ.I Ñîñòàâèì ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó ñèñòåìû è ïðèâåäåì åå ñíà÷àëà êòðàïåöåâèäíîìó âèäó.Çàìåòèì, ÷òî â ïåðâîì ñòîëáöå ìàòðèöû íåò íè îäíîãî ÷èñëà, êðàòíîãîâñåì îñòàëüíûì.

Ìîæíî, íàïðèìåð, â êà÷åñòâå âåäóùåé âûáðàòü ïåðâóþñòðîêó, íî òîãäà â õîäå âû÷èñëåíèé ïîÿâÿòñÿ äðîáíûå ÷èñëà, ÷òî çàòðóäíÿåò âû÷èñëåíèÿ. Îäíàêî, åñëè âû÷åñòü èç ïåðâîé ñòðîêè âòîðóþ, ïîëó÷èì ñòðîêó ñ ïåðâûì åäèíè÷íûì ýëåìåíòîì.548710000001−3−2−6−3−1224001023−17−177140047−517−3191938007252192132319λ2−7−7λ − 140λ− 27926××××××××A(1)A(2)A(3)A(4)A(5) = A(1) − A(2)A(6) = A(2) − 4A(5)A(7) = A(3) − 8A(5)A(8) = A(4) − 7A(5)A(9) = A(7) − A(6)A(10) = A(8) − 2A(6)A(11) = 21 A(6)A(12) = A(5) + A(11)Èòàê, òðàïåöåâèäíàÿ ìàòðèöà äàííîé ñèñòåìû1000010052721321920000− 23− 27λ0A(12)A(11)A(10)A(9)Ïîñêîëüêó ñèñòåìà ñîâìåñòíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäîé íóëåâîé ñòðîêå îñíîâíîé ìàòðèöû ñîîòâåòñòâóåò íóëåâîé ñâîáîäíûé ÷ëåí, òîäàííàÿ ñèñòåìà ñîâìåñòíà òîëüêî ïðè λ = 0.

Îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìûïðè λ = 01x1 = − 2 (3 + 5x3 + 13x4 ),x2 = − 21 (7 + 7x3 + 19x4 ),x3 , x 4 ∈ R ïðîèçâîëüíûå.Ñèñòåìà íå ñîâìåñòíà ïðè λ 6= 0.J72. ËÈÍÅÉÍÛÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ2.1. Îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâÏóñòü F, êàê è ðàíüøå, îáîçíà÷àåò îäíó èç ÷èñëîâûõ ñèñòåì: R èëè C.Î ï ð å ä å ë å í è å 4. Ëèíåéíûì (âåêòîðíûì ) ïðîñòðàíñòâîì íàä Fíàçûâàåòñÿ íåïóñòîå ìíîæåñòâî L ñ îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿíà ñêàëÿðû èç F, òàêèìè, ÷òî äëÿ ëþáûõ a, b è c ∈ L è ëþáûõ α è β ∈ Fâûïîëíåíû àêñèîìû:(L1) (a + b) + c = a + (b + c) (àññîöèàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ);(L2) a + b = b + a (êîììóòàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ);(L3) ∃0 ∈ L : a + 0 = a (ñóùåñòâîâàíèå íóëÿ);(L4) ∃(−a) ∈ L : a + (−a) = 0 (ñóùåñòâîâàíèå ïðîòèâîïîëîæíîãîâåêòîðà);(L5) α(βa) = (αβ)a (àññîöèàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿð);(L6) (α + β)a = αa + βa è α(a + b) = αa + αb (äèñòðèáóòèâíîñòüóìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ);(L7) 1 · a = a (ñâîéñòâî åäèíèöû).Ýëåìåíòû ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà íàçûâàþò âåêòîðàìè.Ï ð è ì å ð 4. Âûÿñíèòå, ÿâëÿåòñÿ ëè ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì êàæäîåèç ñëåäóþùèõ ìíîæåñòâ:à) ìíîæåñòâî Fn = {[a1 , a2 , .

. . , an ]T : ai ∈ F, 1 ≤ i ≤ n} ñòîëáöîââûñîòû n íàä F ñ îïåðàöèÿìè ïîêîìïîíåíòíîãî ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿíà ñêàëÿð:[a1 , . . . an ]T + [b1 , . . . , bn ]T = [a1 + b1 , . . . , an + bn ]T ,λ[a1 , . . . , an ]T = [λa1 , . . . , λan ]T ;á) ìíîæåñòâî Mm×n (F) ïðÿìîóãîëüíûõ ìàòðèö [aij ] ïîðÿäêà m×n íàäF ñ îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ ìàòðèö è óìíîæåíèÿ ìàòðèöû íà ñêàëÿð:[aij ] + [bij ] = [aij + bij ],λ[aij ] = [λaij ];â) ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè íå âûøå nFn [x] = {at xt + at−1 xt−1 + .

. . + a1 x + a0 : ai ∈ F, 0 ≤ i ≤ t, t ≤ n}ñ îáû÷íûìè îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿðû ìíîãî÷ëåíîâ;8ã) C ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ ÷èñåë íàä R ñ îáû÷íûìè îïåðàöèÿìèñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ.I Äëÿ òîãî, ÷òîáû äîêàçàòü ÷òî íåêîòîðîå ìíîæåñòâî îáðàçóåò ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü âûïîëíèìîñòü âñåõ àêñèîìëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà.à) Ïîñêîëüêó îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿðû â ïðîñòðàíñòâå ñòîëáöîâ Fn îïðåäåëåíû ïîêîìïîíåíòíî, òî àêñèîìû (L1), (L2), (L5) (L7) âûïîëíåíû, òàê êàê ñîîòâåòñòâóþùèå ñâîéñòâà âûïîëíÿþòñÿ äëÿýëåìåíòîâ F.

Íóëåâûì âåêòîðîì ÿâëÿåòñÿ ñòîëáåö ñ íóëåâûìè êîìïîíåíòàìè0 = [0, 0, . . . , 0]T .Âåêòîð, ïðîòèâîïîëîæíûé äàííîìó, ýòî âåêòîð, âñå êîîðäèíàòû êîòîðîãî ïðîòèâîïîëîæíû êîîðäèíàòàì äàííîãî, ò. å.−[a1 , a2 , . . . , an ]T = [−a1 , −a2 , . . . , −an ]T .á) Ïîñêîëüêó ñëîæåíèå ìàòðèö è óìíîæåíèå íà ñêàëÿð îïðåäåëÿåòñÿïîêîìïîíåíòíî, òî àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ïðèìåðó ïðîâåðèòü äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèå àêñèîì (L3) è (L4). Ðîëü íóëåâîãî ýëåìåíòà â ïðîñòðàíñòâå ìàòðèö èãðàåò íóëåâàÿ ìàòðèöà ìàòðèöà ñ íóëåâûìè ýëåìåíòàìè,à ìàòðèöà, ïðîòèâîïîëîæíàÿ äàííîé, ýòî ìàòðèöà, âñå êîìïîíåíòû êîòîðîé ïðîòèâîïîëîæíû ñîîòâåòñòâóþùèì êîìïîíåíòàì äàííîé ìàòðèöû.â) Ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè íå âûøå n òàêæå îáðàçóþò ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги