1611141258-7fb874d5b06be127fe4f619126693e12 (824992), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Äëÿýòîãî âûðàçèì íóëåâûå ñòðîêè A(7) è A(10) ÷åðåç èñõîäíûå.A(7) =A(6) − A(5) = A(4) − A(3) − A(5) = 0,A(10) =A(9) − A(8) = A(2) − 2A(1) − A(3) + A(1)= − A(1) + A(2) − A(3) = 0.14Òàê êàê A(i) = ai , 1 ≤ i ≤ 5, òî èñêîìûå ëèíåéíûå çàâèñèìîñòè èìåþòâèäa1 − a2 + a3 = 0,a3 − a4 + a5 = 0.II ñïîñîá.1) Èç äàííûõ âåêòîðîâ ïî ñòîëáöàì ñîñòàâëÿåì ìàòðèöó A.2) Ïðèâîäèì A ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó A0 .3) Âåêòîðû, ñîîòâåòñòâóþùèå ãëàâíûì ñòîëáöàì ìàòðèöû A0 , ëèíåéíî íåçàâèñèìû è îáðàçóþò áàçèñ ëèíåéíîé îáîëî÷êè ha1 , a2 , a3 , a4 , a5 i.4) Íåãëàâíûå ñòîëáöû ìàòðèöû A0 ýòî êîîðäèíàòû îñòàëüíûõ âåêòîðîâ â íàéäåííîì áàçèñå.Ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðåäûäóùèì, ýòîò ñïîñîá îòûñêàíèÿ ëèíåéíûõ çàâèñèìîñòåé ïðîùå, ïîòîìó ÷òî íå òðåáóåò îáðàòíûõ ïîäñòàíîâîê è ïîäðîáíûõ, ãðîìîçäêèõ ïîìåòîê.100−1000001121102000120Îñòàâøèåñÿ ñòðîêè1111200011−11234511000001233110−1−111 00010××××××A(1)A(2)A(3)A(4)A(5) = A(4) + A(1)A(6) = A(3) − A(6)A(7) = A(5) − 2A(2)A(8) = A(6) − A(7)A(9) = A(2) − 2A(7)A(10) = A(1) − A(7)A(11) = A(10) − 2A(9)×−1100011−1 1ïîêàçûâàþò, ÷òî ìíîæåñòâî {a1 , a2 , a4 } ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì áàçèñîì, òàêêàê ýòè âåêòîðû ñîîòâåòñòâóþò ãëàâíûì ñòîëáöàì ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöû, à íåãëàâíûå ñòîëáöû ñóòü êîîðäèíàòû âåêòîðîâ a3 è a5 â áàçèñå{a1 , a2 , a4 }:a3 =a5 =−a1 + a2 ,a1 − a2 + a4 .15J2.3.
Ìàòðèöà ïåðåõîäà ìåæäó áàçèñàìèÏóñòü â ïðîñòðàíñòâå L äàíû äâà áàçèñà {e1 , e2 , . . . , en } è {f1 , f2 , . . . , fn },êîòîðûå ìû áóäåì óñëîâíî íàçûâàòü ñîîòâåòñòâåííî ¾ñòàðûé¿ è ¾íîâûé¿.Î ï ð å ä å ë å í è å 11. Ìàòðèöåé ïåðåõîäà îò áàçèñà {e1 , e2 , . . . , en } êáàçèñó {f1 , f2 , .
. . , fn } íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà, ñîñòàâëåííàÿ èç ñòîëáöîâ êîîðäèíàò íîâûõ áàçèñíûõ âåêòîðîâ â ñòàðîì áàçèñå, ò. å. åñëèfj = t1j e1 + t2j e2 + . . . + tnj en ,1 ≤ j ≤ n,òî ìàòðèöà ïåðåõîäàt11 t12 . . . t1n t21 t22 . . . t2n T = ................... .tn1 tn2 . . . tnnÏ ð å ä ë î æ å í è å 4. Ïóñòü x ∈ L ïðîèçâîëüíûé âåêòîð. Òîãäà åãîêîîðäèíàòû [x1 , x2 , . . . , xn ]T â ñòàðîì áàçèñå {e1 , e2 , . . . , en } ñâÿçàíû ñêîîðäèíàòàìè [x01 , x02 , . . . , x0n ]T â íîâîì áàçèñå {f1 , f2 , . . .
, fn } ðàâåíñòâîì[x1 , x2 , . . . , xn ]T = T · [x01 , x02 , . . . , x0n ]T .Ï ð è ì å ð 8. Äàíû äâà áàçèñàe1 = [1; 2; 1]T , e2 = [2; 3; 3]T , e3 = [3; 7; 1]T ;f1 = [3; 1; 4]T , f2 = [5; 2; 1]T , f3 = [1; 1; −6]T .Íàéäèòå ñâÿçü êîîðäèíàò îäíîãî è òîãî æå âåêòîðà â ýòèõ áàçèñàõ.I ×òîáû íàéòè ñâÿçü êîîðäèíàò îäíîãî è òîãî æå âåêòîðà â ðàçíûõáàçèñàõ, íàéäåì ìàòðèöó ïåðåõîäà. Äëÿ ýòîãî íóæíî ðåøèòü òðè ñèñòåìûëèíåéíûõ óðàâíåíèéx1j e1 + x2j e2 + x3j e3 = fj ,1 ≤ j ≤ 3,îòëè÷àþùèõñÿ òîëüêî çíà÷åíèÿìè ñòîëáöà ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ.
Ïîñêîëüêóýòè çíà÷åíèÿ íå èãðàþò íèêàêîé ðîëè ïðè âûáîðå ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, ðàçóìíî ñîñòàâèòü ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó èç îñíîâíîé ìàòðèöû16è ñòîëáöîâ êîîðäèíàò f1 , f2 , f3 .12100000112331−100120371−21−110003141−5−449−9−27521−4−8−121220−31−7111−6−7−1−889−23−51×××××××A(1)A(2)A(3)A(4) = A(3) − A(1)A(5) = A(2) − 2A(1)A(6) = A(4) + A(5)A(7) = −A(6)A(8) = A(4) + 2A(7)A(9) = A(1) − 3A(7)A(10) = A(9) − 2A(8)Ïîëó÷èëè ñòóïåí÷àòóþ ìàòðèöó1 00010001−2794−712012−519 8A(10)A(8)A(7) .Íàõîäèì ðåøåíèå êàæäîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé:x13 = −51,x12 = −71,x11 = −27,äëÿ f1 :x21 = 9,äëÿ f2 :x22 = 20,x31 = 4;äëÿ f3 :x32 = 12;x23 = 9,x33 = 8.Ñîñòàâëÿÿ èç íàéäåííûõ êîîðäèíàò, ìàòðèöó ïåðåõîäà, çàìå÷àåì, ÷òî ïîëó÷åííàÿ ìàòðèöà ñîâïàäàåò ñ ìàòðèöåé, ðàñïîëîæåííîé ñïðàâà îò ÷åðòûâ ðàñøèðåííîé ìàòðèöå, ò.
å. ñ ìàòðèöåéT =−2794−712012−519 .8Èòàê, ôîðìóëû ñâÿçè êîîðäèíàò îäíîãî è òîãî æå âåêòîðà â ýòèõ áàçèñàõ èìåþò âèä000x1 = −27x1 − 71x2 − 51x3 ,x2 = 9x01 + 20x02 + 9x03 ,x = 4x0 + 12x0 + 8x0 .31232.4. Îïåðàöèè ñ ïîäïðîñòðàíñòâàìèÏóñòü V è W äâà ïîäïðîñòðàíñòâà ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà L.17JÎ ï ð å ä å ë å í è å 12. Ñóììîé V +W ïîäïðîñòðàíñòâ V è W íàçûâàåòñÿìèíèìàëüíîå ïîäïðîñòðàíñòâî, ñîäåðæàùåå îáà ïîäïðîñòðàíñòâà.V + W = {v + w | v ∈ V, w ∈ W}.Î ï ð å ä å ë å í è å 13.
Ïåðåñå÷åíèåì V ∩W ïîäïðîñòðàíñòâ V è W íàçûâàåòñÿ ìàêñèìàëüíîå ïîäïðîñòðàíñòâî, ñîäåðæàùååñÿ â êàæäîì èç íèõ.V ∩ W = {v | v ∈ V ∧ v ∈ W}.Ï ð å ä ë î æ å í è å 5. Ñóììà V+W è ïåðåñå÷åíèå V∩W ïîäïðîñòðàíñòâV è W ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì â L.Ò å î ð å ì à 4 (ôîðìóëà Ãðàññìàíà). Ïóñòü V è W äâà ïîäïðîñòðàíñòâà ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà. Òîãäàdim V + dim W = dim(V + W) + dim V ∩ W.Î ï ð å ä å ë å í è å 14.
Ñóììà ïîäïðîñòðàíñòâ V+W íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé,åñëè V ∩ W = {0}.Ï ð è ì å ð 9. Äàíû âåêòîðûa1 = [1; 1; 0; 0; −1]T ,a2 = [0; 1; 1; 0; 1]T ,a3 = [0; 0; 1; 1; 1]T ;b1 = [1; 0; 1; 0; 1]T ,b2 = [0; 2; 1; 1; 0]T ,b3 = [1; 2; 1; 2; −1]T .Íàéäèòå áàçèñû ñóììû è ïåðåñå÷åíèÿ ëèíåéíûõ îáîëî÷åêA = ha1 , a2 , a3 i è B = hb1 , b2 , b3 i.I I ñïîñîá.1) Èç âåêòîðîâ a1 , a2 , a3 è b1 , b2 , b3 ñîñòàâëÿåì ïî ñòðîêàì ìàòðèöûA è B.2) Èç ìàòðèö A è B ñîñòàâëÿåì áëî÷íóþ ìàòðèöó"#A 0.B B3) Ïðèâîäèì åå ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó è îòáðàñûâàåì íóëåâûå ñòðîêè,åñëè òàêèå åñòü. Èõ íå áóäåò âîâñå, åñëè a1 , a2 , a3 è b1 , b2 , b3 ÿâëÿþòñÿáàçèñàìè ëèíåéíûõ îáîëî÷åê A è B .4) Íåíóëåâûå ñòðîêè áëî÷íîé ìàòðèöû, ðàñïîëîæåííûå ñëåâà îò âåðòèêàëüíîé ÷åðòû îáðàçóþò áàçèñ ñóììû A + B ; íåíóëåâûå ñòðîêè ïðàâîé18ïîëîâèíû ìàòðèöû, ó êîòîðûõ ëåâûå ïîëîâèíû íóëåâûå, ñîñòàâëÿþò áàçèñ ïåðåñå÷åíèÿ A ∩ B .Ñîñòàâëÿåì áëî÷íóþ ìàòðèöó.
Ïðè ýòîì äîñòàòî÷íî ïîëó÷èòü òðàïåöåâèäíóþ ìàòðèöó.10010100000000000110022−110000000000111111120−10000000010120202120−2000−11110−1203−1−2−1010000001011111001110000002202022200221000111111111012210000120202111010000010−11−1110011100A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7) = A(4) − A(1)A(8) = A(6) − A(1)A(9) = A(7) + A(2)A(10) = A(8) − A(2)A(11) = A(5) − 2A(2)A(12) = A(11) + A(3)A(13) = A(10) − A(12)A(14) = A(9) − 2A(3)A(15) = A(14) + A(12)A(16) = A(15) − A(13)A(17) = 21 A(16)×××××××××××Øåñòü îñòàâøèõñÿ ñòðîê100000110000011000001200−111−100000010000201000101000110000010A(1)A(2)A(3)A(12)A(13)A(17)äàþò òðàïåöåâèäíóþ ìàòðèöó, ñòðîêè êîòîðîé ëèíåéíî íåçàâèñèìû.
Ââèäó òîãî, ÷òîA(12) = A(11) + A(3) = A(5) − 2A(2) + A(3) ,ïîëó÷àåì ëèíåéíóþ íåçàâèñèìîñòü b2 îò {a1 , a2 , a3 }; ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî {a1 , a2 , a3 , b2 } îáðàçóþò áàçèñ A + B .  êà÷åñòâå áàçèñà A ∩ Bìîæíî âçÿòü âåêòîðû[1, 0, 0, 1, 1]T ,[0, 1, 1, 0, 0]T .19II ñïîñîá. Çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê îòûñêàíèþ ëèíåéíûõ çàâèñèìîñòåé ìåæäó âåêòîðàìè.1) Èç âåêòîðîâ a1 , a2 , a3 è b1 , b2 , b3 ñîñòàâëÿåì ïî ñòîëáöàì ìàòðèöûA è B.2) Èç ìàòðèö A è B ñîñòàâëÿåì áëî÷íóþ ìàòðèöó A B .3) Ïðèâîäèì åå ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó è îòáðàñûâàåì íåíóëåâûå ñòðîêè,åñëè òàêèå åñòü.4) Âåêòîðû, îòâå÷àþùèå ãëàâíûì ñòîëáöàì ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöû, îáðàçóþò áàçèñ ñóììû A + B ; èç íåãëàâíûõ ñòîëáöîâ íàõîäèì áàçèñ ïåðåñå÷åíèÿ A ∩ B .Èòàê, íàéäåì ëèíåéíûå çàâèñèìîñòè ìåæäó äàííûìè âåêòîðàìè.1 1 0 0 −1 0 0 0 1 0 0 000110111001000001110100010010101−121001100211020−1110−101212−110−1201−10××××××××A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6) = A(2) − A(1)A(7) = A(5) + A(1)A(8) = A(7) − A(3)A(9) = A(1) − A(8)A(10) = A(9) + A(6)A(11) = A(3) − A(10)A(12) = A(11) − A(4)A(13) = A(8) − A(12)Âûïèøåì íåíóëåâûå ñòðîêè, ïîìå÷àÿ ãëàâíûå ñòîëáöû ñîîòâåòñòâóþùèìèñõîäíûìè âåêòîðàìè:a11000a20100a30010b1 b2 b3012010 012 1 −1 −1A(9)A(10)A(4)A(12) .Èç ýòîé òàáëèöû ñðàçó íàõîäèì, ÷òî {a1 , a2 , a3 , b1 } îáðàçóþò áàçèñ A + B .Òàêæå íàõîäèì âûðàæåíèÿ äëÿ îñòàâøèõñÿ âåêòîðîâb2 = a1 + a2 + a3 − b1 ,b3 = 2a1 + 2a3 − b1 .20Ïîýòîìó áàçèñ A ∩ B ìîæíî ñîñòàâèòü èç âåêòîðîâb1 + b2 = a1 + a2 + a3 ,b1 + b3 = 2a1 + 2a3 .Îòâåò îòëè÷àåòñÿ îò ïîëó÷åííîãî ïåðâûì ñïîñîáîì, íî îíè è íå äîëæíûñîâïàäàòü, òàê êàê áàçèñ ïîäïðîñòðàíñòâà íå îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî.
J2.5. Ðàíã ìàòðèöûÐàíãîì ìàòðèöû A ïî ñòðîêàì íàçûâàåòñÿ ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà åå ñòðîê. Ðàíãîì ìàòðèöû A ïî ñòîëáöàì íàçûâàåòñÿ ðàçìåðíîñòüïðîñòðàíñòâà åå ñòîëáöîâ.Ò å î ð å ì à 5. Ðàíãè ìàòðèöû ïî ñòðîêàì è ïî ñòîëáöàì ðàâíû.Î ï ð å ä å ë å í è å 15. Ýòî ÷èñëî íàçûâàåòñÿ ðàíãîì ìàòðèöû è îáîçíà÷àåòñÿ rk A.Äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàíãà ìàòðèöû äîñòàòî÷íî ïðèâåñòè åå ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó. Òîãäà ðàíã ìàòðèöû ðàâåí ÷èñëó íåíóëåâûõ ñòðîê â åå ñòóïåí÷àòîì âèäå.2.6. Ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèéÎ ï ð å ä å ë å í è å 16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
