1611141258-7fb874d5b06be127fe4f619126693e12 (824992), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíîé, åñëè ñòîëáåö ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ ðàâåí 0.Ìíîæåñòâî ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì â Fn .Ò å î ð å ì à 6. Âåðíû óòâåðæäåíèÿ :1) Ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé ñèñòåìû AX = 0 ðàâíà n − r,ãäå n ÷èñëî íåèçâåñòíûõ, r = rk A.2) Âñÿêîå ïîäïðîñòðàíñòâî L ⊆ Fn ÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì ðåøåíèé íåêîòîðîé îäíîðîäíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé.Î ï ð å ä å ë å í è å 17. Áàçèñ ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé ñèñòåìû AX = 0íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìîé ðåøåíèé.Ï ð è ì å ð 10.

Íàéäèòå îáùåå ðåøåíèå è ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìóðåøåíèé ñèñòåìû−x1 + x3 − 3x4 + 2x5 = 0,2x1 − x3 + 5x4 − x5 = 0,x1 − 2x3 + 4x4 − 5x5 = 0.21I Çàìåòèì, ÷òî îñíîâíàÿ ìàòðèöà ñèñòåìû ñîâïàäàåò ñ ìàòðèöåé èçïðèìåðà 2. Òîãäà îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèéx1 = −2x4 − x5 ,x4 − 3x5 ,x3 =x2 , x4 , x5 ∈ R ïðîèçâîëüíûå.Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé, ïî î÷åðåäè ïðèñâàèâàåì êàæäîé ñâîáîäíîé íåèçâåñòíîé çíà÷åíèå 1, à îñòàëüíûì 0, è íàõîäèì çíà÷åíèÿ ãëàâíûõ. Ðåøåíèå óäîáíî îôîðìèòü â âèäå òàáëèöû.x1x20100−2−1x301−3x4010x5001×àñòíûå ðåøåíèÿ X1 = [0; 1; 0; 0; 0]T , X2 = [−2; 0; 1; 1; 0]T è X3 =[−1; 0; −3; 0; 1]T îáðàçóþò áàçèñ ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé äàííîé ñèñòåìûóðàâíåíèé.Äåéñòâèòåëüíî, ïî ïîñòðîåíèþ ýòè âåêòîðû ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Îáîçíà÷èì ñâîáîäíûå ïåðåìåííûå çà ïàðàìåòðû: x2 = c1 , x4 = c2 , x5 = c3 , èçàïèøåì îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâñ êîýôôèöèåíòàìè c1 , c2 , c3 .     x1−2c2 − c3x2  c1  x3  =  c2 − 3c3  x4  c2x5c30−2−1100    = c1 0 + c2  1  + c3 −3 .   010001Òàêèì îáðàçîì, ïðîèçâîëüíîå ðåøåíèå [x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ]T ñèñòåìû ïðåäñòàâèìî â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé c1 X1 + c2 X2 + c3 X3 .JÏ ð è ì å ð 11.

Íàéòè ñèñòåìó óðàâíåíèé, çàäàþùèõ ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, íàòÿíóòîå íà âåêòîðûa1 = [1; −1; 1; 0]T ,a2 = [1; 1; 0; 1]T ,a3 = [2; 0; 1; 1]T .I Ïóñòü x ∈ ha1 , a2 , a3 i ïðîèçâîëüíûé âåêòîð. Ïðåäïîëîæèì, ÷òîêîîðäèíàòû x = [x1 ; x2 ; x3 ; x4 ]T . Òîãäàx = α1 a1 + α2 a2 + α3 a322äëÿ íåêîòîðûõ α1 , α2 , α3 . Ñóùåñòâîâàíèå òàêèõ ÷èñåë ðàâíîñèëüíî ñîâìåñòíîñòè ñèñòåìû óðàâíåíèéα1 + α2 + 2α3 = x1 , α +α=x ,1−α1 +22α3 = x3 ,α2 + α3 = x4 .Ñîñòàâèì ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó ñèñòåìû è ïðèâåäåì åå ê ñòóïåí÷àòîìóâèäó.1−110000011012−10020112−100x1x2x3x4x1 + x2x3 − x1x4 + x3 − x1x1 + x2 − 2x4××××A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)A(8)= A(2) + A(1)= A(3) − A(1)= A(6) + A(4)= A(5) − 2A(4)Ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà ñîâìåñòíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàx1 − x3 − x4 = 0,x1 + x2 − 2x4 = 0.J2.7. Ëèíåéíûå ìíîãîîáðàçèÿÎ ï ð å ä å ë å í è å 18.

Ëèíåéíûì ìíîãîîáðàçèåì (òèïà V ) íàçûâàåòñÿìíîæåñòâî âåêòîðîâ M = a + V , ãäå V íåêîòîðîå ïîäïðîñòðàíñòâî Fn ,a âåêòîð, íå ïðèíàäëåæàùèé V .M = a + V = {a + v | v ∈ V}.Ò å î ð å ì à 7. Âåðíû óòâåðæäåíèÿ :1) Ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû óðàâíåíèé AX = B ñîâïàäàåò ñëèíåéíûì ìíîãîîáðàçèåì X0 + L, ãäå X0 íåêîòîðîå ÷àñòíîå ðåøåíèåAX = B , L ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé ñîïóòñòâóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû AX = 0.2) Âñÿêîå ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå â Fn ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì ðåøåíèé íåêîòîðîé íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé.23Ï ð è ì å ð 12.

Íàéäèòå îáùåå ðåøåíèå è ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå ñèñòåìû óðàâíåíèé−x1 + x3 − 3x4 + 2x5 = 1,2x1 − x3 + 5x4 − x5 =3,x1 − 2x3 + 4x4 − 5x5 = −6.I Îáùåå ðåøåíèå äàííîé ñèñòåìûx1 = −2x4 − x5 + 4,x3 =x4 − 3x5 + 5,x2 , x4 , x5 ∈ R ïðîèçâîëüíûå,áûëî íàéäåíî â ïðèìåðå 2, à áàçèñ ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé ñîïóòñòâóþùåéîäíîðîäíîé ñèñòåìû â ïðèìåðå 10:X1 = [0; 1; 0; 0; 0]T ,X2 = [−2; 0; 1; 1; 0]T ,X3 = [−1; 0; −3; 0; 1]T .×àñòíîå ðåøåíèå óäîáíî íàõîäèòü, çàíóëÿÿ âñå ñâîáîäíûå ïåðåìåííûå:X0 = [4; 0; 5; 0; 0]T .Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî ïðèìåðó 10, ìíîæåñòâî ðåøåíèé äàííîé ñèñòåìûìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåX0 + αX1 + βX2 + γX3 ,ãäå α, β è γ ∈ R ïðîèçâîëüíûå.JÏ ð è ì å ð 13.

Äàíû âåêòîðû a0 = [1; −1; 1; −1]T , a1 = [1; −1; 1; 0]T ,a2 = [1; 1; 0; 1]T , a3 = [2; 0; 1; 1]T . Íàéäèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé, çàäàþùèõ ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå{a0 + αa1 + βa2 + γa3 }.I Ñíà÷àëà íàéäåì ñîïóòñòâóþùóþ îäíîðîäíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé,ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé âåêòîðîâa1 , a2 , a3 .  ïðèìåðå 11 ìû íàøëè ñîïóòñòâóþùóþ îäíîðîäíóþ ñèñòåìó(x1 − x3 − x4 = 0,x1 + x2 − 2x4 = 0.24Òîãäà a0 ÷àñòíîå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé(x1 − x3 − x4 = b1 ,x1 + x2 − 2x4 = b2 .Ïîäñòàâëÿÿ âìåñòî íåèçâåñòíûõ êîîðäèíàòû âåêòîðà a0 , íàõîäèì b1 = 1,b2 = 2.Èòàê, íåîäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé(x1 − x3 − x4 = 1,x1 + x2 − 2x4 = 2.25J.

Характеристики

Список файлов книги