1610912777-ff63a1b83b9ac0b597c9346050946007 (824719), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Примеры85end;В следующем фрагменте кода на примере уравнения Картевега деФриза:∂u∂u ∂ 3 u+u+=0∂y∂x ∂x3представлены входные данные для программы.indep := {y,x};dep:= {u};ksi:= k;% список независимых переменных% список зависимых переменных% начальный символ в обозначении компонент поля% для независимых переменныхeta:= n;% начальный символ в обозначении компонент поля% для зависимых переменныхnprol := 3;% порядок системыur:= {uy = -u*ux - uxxx}; % список уравненийend;В следующем фрагменте кода формируются компоненты векторногополя (15.5.7).gr :=for jgr :=for jgr :={}$:= 1:length(indep) doappend(gr, {mkid(ksi,part(indep,j))})$:= 1:length(dep) doappend(gr, {mkid(eta,part(dep,j))})$В следующем фрагменте кода декларируется зависимость компонентполя от независимых и зависимых переменных системы дифференциальных уравнений.
Генерируется и записывается в файл соответствующийкод «Reduce». По окончании записи файл читается и тем самым декларации исполняются. Перед записью в файл сбрасываются флаги nat иecho.off nat$off echo$out "gr_v.t"$for j := 1:length(gr) dobeginГлава 15. Примеры86write "depend ", part(gr,j), ", "$for j1 := 1:length(indep) dowrite part(indep,j1), ", "$for j1 := 1:(length(dep) - 1) dowrite part(dep,j1), ", "$write part(dep,length(dep)), "$"$end$write "end$"$shut "gr_v.t"$in "gr_v.t"$В следующем фрагменте кода конструируются пространство мультииндексов, идентификаторы переменных продолженного пространстваZk , операторы полного дифференцирования (15.5.10) и продолжение векторного поля (15.5.8).l_ind := do_ind(nprol, length(indep));vars:=prol_vars(indep, dep, l_ind);full_d:= full_dif(indep, dep, l_ind);gr1 := prol_al(gr, indep, dep, l_ind, vars, full_d);В следующем фрагменте кода конструируются переменные, относительно которых будет производиться расщепление, т.е.
из пространстваZk устраняются независимые и зависимые переменные системы дифференциальных уравнений и переменные из левых частей системы дифференциальных уравнений.vars1for jvars1for jvars1:=:=:=:=:=vars$1:(length(indep) + length(dep)) dorest(vars1)$1:length(ur) doselect(~w neq lhs(part(ur,j)), vars1)$В следующем фрагменте кода конструируется система определяющихуравнений (15.5.11). Для уравнения Картевега де Фриза определяющаясистема содержит 21 уравнение.neqw := 0$out "gr_v1.t"$Глава 15.
Примеры87for j := 1:length(ur) dobeginuuu := lhs(part(ur,j)) - rhs(part(ur,j))$vvv := field_act(vars, gr1, uuu)$vvv := sub(ur, vvv)$all_coeff({vvv}, vars1, 1)$end$write "end$";shut "gr_v1.t"$array eqw(neqw);in "gr_v1.t"$В следующем фрагменте кода интегрируются простейшие уравненияопределяющей системы.off allfac$on div$s2 := no_dep(eqw, neqw);out "gr_v2.t"$for j := 1:length(s2) dowrite "nodepend ", part(s2,j,1),", ", part(s2,j,2),"$"$write "end$"$shut "gr_v2.t"$in "gr_v2.t"$neqw1 := 0$out "gr_v3.t"$for j := 1:neqw doif eqw(j) neq 0 thenbeginneqw1 := neqw1 + 1$write "eqw(",neqw1,") := ", eqw(j), "$"$end$shut "gr_v3.t"$neqw1;end;В следующем фрагменте представлена окончательная определяющаясистема уравнений.Глава 15.
Примеры88nodepend ky, x$nodepend ky, u$nodepend kx, u$eqw(1) := df(nu,x,3) + df(nu,x)*u + df(nu,y)$eqw(2) := - 3*df(kx,x) + df(ky,y)$eqw(3) := - 3*df(kx,x,2) + 3*df(nu,u,x)$eqw(4) := - df(kx,x,3) - df(kx,x)*u - df(kx,y) + df(ky,y)*u+ 3*df(nu,u,x,2) + nu$eqw(5) := 3*df(nu,u,2)$eqw(6) := 3*df(nu,u,2,x)$eqw(7) := df(nu,u,3)$15.6Алгебры ЛиПусть X1 , . . . , Xn образуют базис конечномерной алгебры Ли со структурными константами Cijk , т.е.[Xi , Xj ] = Cijα Xα ,i, j = 1, .
. . , nСтруктурные константы должны удовлетворять тождествам Якоби:nXkαkαk(CiαCjm+ CjαCmi+ CmαCijα ),i, j, k, m = 1, . . . n(15.6.12)α=115.6.1Ввод данныхСледующий фрагмент кода обеспечивает ввод структурных констант.Информация о структурных константах задается двухуровневым списком, на втором уровне которого для каждой структурной константыCijk 6= 0 содержится список вида {i, j, k, Cijk }.
Для уменьшения объемавводимой информации следует учитывать , что Cijk = −Cjik для всех i, j.Далее в массив scon заносятся все ненулевые значения структурныхконстант. Следует заметить, что при описании массива «Reduce» инициализирует все элементы массива нулевыми значениями.dim_al := 10$cijk := {{1,4,10,-1},{1,8,3,-1},{1,9,2,1},{2,5,10,-1},{2,7,3,1},{2,9,1,-1},Глава 15. Примеры89{3,6,10,-1},{3,7,2,-1},{3,8,1,1},{4,5,9,-1},{4,6,8,1},{4,8,6,-1},{4,9,5,1},{4,10,1,-1},{5,6,7,-1},{5,7,6,1},{5,9,4,-1},{5,10,2,-1},{6,7,5,-1},{6,8,4,1},{6,10,3,-1},{7,8,9,-1},{7,9,8,1},{8,9,7,-1}}$array scon(dim_al,dim_al,dim_al);for j:=1:length(cijk) dobeginscon(part(s,j,1),part(s,j,2),part(s,j,3)) := part(s,j,4);scon(part(s,j,2),part(s,j,1),part(s,j,3)) := -part(s,j,4);end;Функция test_yakobi(a, n) проверяет выполнение тождеств Якоби (15.6.12).Если тождества Якоби выполняются, то функция возвращает пустойсписок.
В противном случае будет возвращен первый набор из четырех индексов, для которых тождество нарушено. Функция предназначена для контроля вводимых данных.procedure test_yakobi(a, n);beginscalar j1, j2, j3, j4, j5, s_out, u;s_out := {};for j1:=1:n dofor j2:=1:n dofor j3:=1:n dofor j4:=1:n dobeginu := 0;for j5:=1:n dou := u + a(j1,j5,j3)*a(j2,j4,j5)+ a(j2,j5,j3)*a(j4,j1,j5)+ a(j4,j5,j3)*a(j1,j2,j5);if u neq 0 thenbegins_out := {j1,j2,j3,j4};goto m1;end;Глава 15.
Примеры90end;m1:;return s_out;end;Решение определяющих уравнений (15.5.11) дает систему независимых векторных полей, которые образуют базис алгебры Ли. Ниже представлен код для построения структурных констант этой алгебры Ли.Функция commut(v, s1, s2) возвращает список компонент коммутатора двух векторных полей, где v — список переменных, s1 — список компонент первого поля и s2 — список компонент второго поля.procedure commut(v, s1, s2);beginscalar s_out, j, u;s_out := {};for j := 1:length(v) dobeginu := field_act(v, s1, part(s2,j)) - field_act(v, s2, part(s1,j));s_out := append(s_out, {u});end;return s_out;end;Функция times_field(s, a) возвращает список компонент векторногополя s умноженных на выражение a.procedure times_field(s, a);beginscalar s_out, j;s_out := {};for j := 1:length(s) dos_out := append(s_out, {a*part(s,j)});return s_out;end;Функция plus_field(s1, s2, a1, a2) возвращает линейную комбинациюдвух векторных полей, где s1 — список компонент первого поля, s2 —список компонент второго поля, a1 — первый множитель и a2 — второймножитель.Глава 15.
Примерыprocedure plus_field(s1,s2,a1,a2);beginscalar s_out, j;s_out := {};for j := 1:length(s1) dos_out := append(s_out, {a1*part(s1,j)+a2*part(s2,j)});return s_out;end;array scon(length(gr),length(gr),length(gr));vars := append(indep,dep);cc := {};for j1:=1:length(gr) docc := append(cc,{mkid(c,j1)});off nat;off echo;for j1:=1:length(gr) dofor j2:=(j1 + 1):length(gr) dobeginz := commut(vars, part(gr,j1), part(gr,j2));for j3:=1:length(gr) doz := plus_field(z,part(gr,j3),1,-part(cc,j3));neqw := 0;out "fts_v.t";all_coeff(z, vars, 1);shut "fts_v.t";in "fts_v.t";s := {};for j3:=1:neqw dos := append(s,{eqw(j3)});s1 := solve(s,cc);for j3:=1:length(gr) dobeginscon(j1,j2,j3) := sub(s1,part(cc,j3));scon(j2,j1,j3) := -scon(j1,j2,j3);end;end;91Глава 15.
Примеры15.6.292Алгебра дифференцированийЛинейное отображение A : L → L, удовлетворяющее условиюA[u, v] = [Au, v] + [u, Av],∀u, v ∈ L(15.6.13)называется дифференцированием алгебры Ли L. Множество всех дифференцирований обладает структурой алгебры Ли и называется алгеброй дифференцирований.В конечномерном случае условия (15.6.13) представляют собой линейную систему уравнений на компоненты матрицы A. В следующемфрагменте кода конструируется эта система уравнений и строится ее решение.vars1 := {}$array f(dim_al,dim_al)$for j1:=1:dim_al dofor j2:=1:dim_al dof(j1,j2) := mkid(mkid(mkid(mkid(f,_),j1),_),j2)$s := {}$for j1:=1:dim_al dofor j2:=1:dim_al dofor j3:=1:dim_al dobeginu := 0$for j4:=1:dim_al dou := u + scon(j1,j2,j4)*f(j4,j3)- scon(j4,j2,j3)*f(j1,j4) - scon(j1,j4,j3)*f(j2,j4)$if u neq 0 thenbegins := append(s, {u})$end$end$vars1 := {}$for j1:=1:dim_al dofor j2:=1:dim_al dovars1 := append(vars1, {f(j1,j2)})$off arbvars$s1:= solve(s, vars1)$Глава 15.
Примеры93s1:=part(s1,1)$new_dim := length(vars1) - length(s1);write s1;Функция get_indep(s, vars, a) выделяет из списка переменных vars,те которые не содержатся в левых частях уравнений s.procedure get_indep(s, vars, a)$beginscalar s_out, j, j1, j2, bb$s_out := {}$j2 := 0$for j := 1:length(vars) dobeginbb := 1$for j1 := 1:length(s) doif part(vars,j) = lhs(part(s,j1)) thenbeginbb := 0$goto m1$end$m1:$if bb = 1 thenbeginj2 := j2 + 1$s_out := append(s_out,{part(vars,j) = mkid(a,j2)})$end$end$return s_out$end$s3 := get_indep(s1, vars1, c)$s2 := sub(s1, vars1)$s2 := sub(s3, s2)$s2;15.6.3Центр алгебры ЛиЭлемент z ∈ L называется центральным, если [z, u] = 0 для любогоu ∈ L.
Совокупность Z всех центральных элементов образует подалгеб-Глава 15. Примеры94ру и называется центром алгебры Ли. Очевидно, что элемент z ∈ Lявляется центральным тогда и только тогда, когда [z, Xi ] = 0 для всехбазисных элементов Xi (i = 1, . . . n) алгебры Ли L.Процедура get_basis(vars, s0)procedure get_basis(vars, s0);beginscalar s_out, ind, j, j1, s1, s2;% помечаем переменные не попавшие в левые частиind:={};for j:=1:length(vars) doind := append(ind, {1});for j:=1:length(s0) dobeginfor j1:=1:length(vars) doif lhs(part(s0,j)) = part(vars,j1) thenbeginind := part(ind, j1) := 0;goto m1;end$;m1:$end;s1:={};% создаем список из свободных переменныхfor j:=1:length(ind) dobeginif part(ind,j) = 1 thens1 := append(s1,{part(vars,j) = 0})$;end;% выделяем базисs_out := {};for j := 1:length(s1) dobegins2 := s1;s2 := part(s2,j) := lhs(part(s1,j)) = 1;s_out := append(s_out, {sub(s2,sub(s0,vars))});end;return s_out;Глава 15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
