1610912777-ff63a1b83b9ac0b597c9346050946007 (824719), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Пример:1:solve({x ∗ ∗2 + y ∗ ∗2 = 1, x + 2 ∗ y = 1/2}, {x, y});{{x = (2 ∗ sqrt(19) + 1)/10, y = (−sqrt(19) + 2)/10},{x = (−2 ∗ sqrt(19) + 1)/10, y = (sqrt(19) + 2)/10}}Если уравнения «eqw» зависят от параметров, то оператор solve представляет решение в «точке общего положения». Глобальная переменнаяassumptions содержит список выражений (зависящих от параметров),которые должны быть отличны от нуля. Пример:solve({a ∗ x + b ∗ y = f, c ∗ x + d ∗ y = g}, {x, y});{{x = (−b ∗ g + d ∗ f )/(a ∗ d − b ∗ c),y = (a ∗ g − c ∗ f )/(a ∗ d − b ∗ c)}}2: assumptions;{a ∗ d − b ∗ c}1:При включенном переключателе allbranch оператор solve выводитвсе ветви решения (пример в разделе 11.1 на стр.
44).Глава 8. Встроенные функции32Точные решения полиномиальных уравнений 3-го и 4-го порядков«Reduce» выводит при включенном переключателе fullroots (пример вразделе 11.21 на стр. 48).Если решение системы уравнений имеет константный произвол (вырожденные или недоопределенные системы), то «Reduce» по умолчаниюв представлении решения использует константы arbcompex(j). Отказаться от этого режима можно отключив переключатель arbvars. (пример вразделе 11.3 на стр. 45).Глава 9Полиномиальные ирациональные выражения9.1FactorizeФункция factorize(p) разлагает полином p на сомножители.
Результат возвращается в виде двухуровнего списка. Списки второго уровнясодержат сомножители и их кратности. Пример:1:2:3:4:5:6:9.2factorize(6 ∗ x ∗ ∗2 − 6 ∗ y ∗ ∗2);{{6, 1}, {x + y, 1}, {x − y, 1}}on ifactor;factorize(6 ∗ x ∗ ∗2 − 6 ∗ y ∗ ∗2);{{2, 1}{3, 1}, {x + y, 1}, {x − y, 1}}factorize(x ∗ ∗2 + y ∗ ∗2);{{x ∗ ∗2 + y ∗ ∗2, 1}}on complex;factorize(x ∗ ∗2 + y ∗ ∗2);{{x + i ∗ y, 1}{x − i ∗ y, 1}}GcdФункция gcd(p, q) возвращает наибольший общий делитель полиномов p и q. Пример:33Глава 9.
Полиномиальные и рациональные выражения1:2:9.334gcd(x^2 + y^2, x − y);1gcd(x^3 + y^3, x^2 + x ∗ y + 3 ∗ x + 3 ∗ y);x+yLcmФункция lcm(p, q) возвращает наименьшее общее кратное полиномовp и q, т.е. произведение полиномов разделенное на их наибольший общийделитель. Пример:1:2:9.4lcm(x + y, x − y);x ∗ ∗2 − y ∗ ∗2lcm(x^3 + y^3, x^2 + x ∗ y + 3 ∗ x + 3 ∗ y);x ∗ ∗4 + 3 ∗ x ∗ ∗3 + x ∗ y ∗ ∗3 + 3 ∗ y ∗ ∗3RemainderФункция remainder(p, q) возвращает остаток от деления полинома pна полином q.
Пример:remainder(x + y, x − y);2∗y2: remainder((x + y) ∗ (x + 2 ∗ y), x + 3 ∗ y);2 ∗ y ∗ ∗21:9.5ResultantФункция resultant(p, q) возвращает результант полиномов p и q. Пример:1:2:resultant(x − y, x + z, x);y+zresultant(x^2 − y^2, x + z, x);−y ∗ ∗2 + z ∗ ∗2Глава 9. Полиномиальные и рациональные выражения9.635DecomposeФункция decompose(p) осуществляет декомпозицию полинома p. Результат возвращает в виде списка: первый элемент — выражение, и остальные — подстановки в виде уравнений.
Пример:1:9.7decompose(x^4 + 6 ∗ x^3 + 11 ∗ x^2 + 6 ∗ x + 1);{u ∗ ∗2 + 2 ∗ u + 1, u = x ∗ ∗2 + 3 ∗ x}InterpolФункция interpol(sx, x, sy) строит интерполяционный полином, гдеsx — список интерполяционных узлов, sy — список значений в этих узлахи x — переменная. Пример:1:9.8interpol({x1, x2}, x, {y1, y2});(x ∗ x1 − x ∗ x2 − x1 ∗ y2 + x2 ∗ y1)/(y1 − y2)DegФункция deg(p, x) возвращает степень полинома p по переменной x.Пример:deg((x + y) ∗ (u + v)^2, x);12: deg((x + y) ∗ (u + v)^2, u);1:9.93:2deg((x + y) ∗ (u + v)^2, w);0DenФункция den(r) возвращает знаменатель рационального выраженияr. Пример:1:2:9.10den(x + y);1den(x/y^2);3:y ∗ ∗2den(x/6 + y/4);12LcofФункция lcof(p, x) возвращает старший коэффициент полинома p попеременной x. Пример:Глава 9.
Полиномиальные и рациональные выраженияlcof((x + y) ∗ (u + v)^2, x);u ∗ ∗2 + 2 ∗ u ∗ v + v ∗ ∗22: lcof((x + y) ∗ (u + v)^2, u);1:9.113:36x+ylcof((x + y) ∗ (u + v), w);u∗x+u∗y+v∗x+v∗yLpowerФункция lpower(p, x) возвращает старшую степень переменной x вполиноме p. Пример:lpower((x + y) ∗ (u + v)^2, x);x2: lpower((x + y) ∗ (u + v)^2, u);1:9.123:u ∗ ∗2lpower((x + y) ∗ (u + v)^2, w);1LtermФункция lterm(p, x) возвращает старшее слагаемое полинома p попеременной x. Пример:lterm((x + y) ∗ (u + v)^2, x);x ∗ (u ∗ ∗2 + 2 ∗ u ∗ v + v ∗ ∗2)2: lterm((x + y) ∗ (u + v)^2, u);1:9.133:u ∗ ∗2 ∗ (x + y)lterm((x + y) ∗ (u + v), w);u∗x+u∗y+v∗x+v∗yMainvarФункция mainvar(p) возвращает главную переменную (в соответствии с внутренним порядком) полинома p.
Пример:1:9.14mainvar((x + y) ∗ (u + v)^2);u1:mainvar(3)0NumФункция num(r) возвращает числитель рационального выраженияr. Пример:num(x + y);x+y2: num(x/y^2);1:3:xnum(x/6 + y/4);2∗x+3∗yГлава 9. Полиномиальные и рациональные выражения9.1537ReductФункция reduct(p, x) возвращает разность между полиномом p истаршим слагаемым полинома p по переменной x (т.е.
p = lterm(p, x) +reduct(p, x)). Пример:reduct((x + y) ∗ (u + v)^2, x);y ∗ (u ∗ ∗2 + 2 ∗ u ∗ v + v ∗ ∗2)2: reduct((x + y) ∗ (u + v)^2, u);v ∗ (2 ∗ u ∗ x + 2 ∗ u ∗ y + v ∗ x + v ∗ y)3: reduct((x + y) ∗ (u + v), w);01:9.16CoeffФункция coeff(p, x) возвращает список коэффициентов полинома pот переменной x.9.17CoeffnФункция coeffn(p, x, n) возвращает коэффициент при xn полинома pот переменной x.Глава 10Декларации10.1AntisymmetricЕсли оператор наделен свойством антисимметричности, то его аргументы упорядочиваются в соответствии с внутренним порядком системы. Если это упорядочивание требует нечетной подстановки, то передвыражением ставится знак минус.
Пример:1: operator p;2: antisymmetric p;3: p(a, b, c);10.24:p(a, b, c)p(b, a, c);−p(a, b, c)ArrayДекларация array объявляет массивы. Область действия объявлениямассива всегда глобальна. Примеры и более подробное описание содержит раздел 3.2 (стр. 11).10.3Depend, nodependДекларация depend позволяет объявить зависимость одних переменных от других, а декларация nodepend отменить эту зависимость.
Пример:38Глава 10. Декларации1:2:3:10.439depend f, x, y;g := df(f, x);g := df(f, x)df(f, z);04: nodepend f, x;5: g;0EvenДекларация even наделяет оператор свойством четности по первомуаргументу. Пример:1: operator f ;2: even f ;10.53:f (−x);f (x)Factor, remfacДекларация factor обеспечивает вывод выражений упорядоченныхпо степеням переменных или ядер перечисленных в декларации. Декларация remfac отменяет действие последней декларации factor.
Пример:1:2:3:10.6a := (x + y + z) ∗ ∗2;a := x ∗ ∗2 + 2 ∗ x ∗ y + 2 ∗ x ∗ z + y ∗ ∗2 + 2 ∗ y ∗ z + z ∗ ∗2factor y;a;y ∗ ∗2 + 2 ∗ y ∗ (x + z) + x ∗ ∗2 + 2 ∗ x ∗ z + z ∗ ∗2InfixДекларация infix определяет бинарные операторы, которые можноиспользовать в инфиксной форме, т.е. помещать операторы между аргументами. В постфиксной форме такие операторы также можно использовать. Пример:1: infix p;2: for all x, y let p(x, y) = x ∗ ∗3 − y;3: u p v;4:u ∗ ∗3 − vp(r, s);r ∗ ∗3 − sГлава 10.
Декларации10.740PrecedenceДекларация precedence задает приоритет для инфиксного оператора. Пример:1: infix p;2: for all x, y let p(x, y) = x ∗ ∗3 − y;3: u p v;10.84:u ∗ ∗3 − vp(r, s);r ∗ ∗3 − sScalar, integer, realДекларация scalar предназначена для определения локальных переменных внутри процедур и должна располагаться сразу после открывающей скобки begin.Декларации integer и real для «Reduce» имеют тот же смысл, что идекларация scalar и никаких ограничений на тип переменных не налагают. Полезны они только для более удобного восприятия текста программ.Пример:1:procedure f (n)$begininteger s$s := {}$x := 0$for j := 1 : n dobeginx := x + j$s := append(s, {x})$end$2:3:4:5:6:return s$end$s := {1, 2}$x := 7$s1 := f (5);s1 := {1, 3, 6, 10, 15}s;{1, 2}x;15В процедуре f переменная s была описана как integer, а использовалась как список.
Переменной x статус локальной не был назначен и поэтому после вызова процедуры глобальная переменная x изменила своезначение. Понятно, что такое «небрежное» отношение к локальным переменным таит в себе источник трудноуловимых ошибок. В процедуре fесть еще одна локальная переменная — итератор цикла j, но о локальности итераторов заботится «Reduce».Глава 10. Декларации10.941Korder, orderДекларации korder и order изменяют канонический порядок переменных и ядер. При этом korder изменяет упорядоченность во времявычислений, но на выходном потоке это не отражается, а orderorder наоборот изменяет упорядоченность только при выводе.10.10LinearДекларация linear определяет линейный по первому аргументу оператор.
Пример:1: operator f ;2: linear f ;3: f (0, y)10.114:0f (−a ∗ x, y);−f (1, y) ∗ a ∗ xLinelengthДекларация linelength назначает длину строки (в количестве символов) в выходном потоке. Есть ограничения на минимальное и максимальное значения. Как правило, это — 20 и 128.10.12NoncomДекларация noncom определяет некоммутативный оператор. Пример:1: operator f, g;2: noncom f ;3: f (a) ∗ f (b) − f (b) ∗ f (a);10.134:f (a) ∗ f (b) − f (b) ∗ f (a)g(a) ∗ g(b) − g(b) ∗ g(a);0Odd, nonzeroДекларация odd наделяет оператор свойством нечетности по первомуаргументу.
Декларация nonzero устанавливает возможность ненулевогозначения нечетного оператора в нуле. Пример:Глава 10. Декларации1:2:3:10.14operator f ;odd f ;f (−x, y);424:−f (x, y)f (0, y);0nonzero f ;f (0, y);f (0, y)5:6:OperatorДекларация operator объявляет операторы. Область действия объявления оператора всегда глобальна, даже если оператор объявляетсявнутри процедуры или блока. Формальное использование оператора возможно сразу после объявления, но, как правило, их снабжают некоторыми свойствами с помощью оператора let.
Пример:1:2:3:4:operator p1, p2, p3;for all x, y let p1(x, y) = x ∗ x + y ∗ y;let p2(∼ u) => x∗df(u, x) + y∗df(u, y);p2(p1(x, y));2 ∗ (x ∗ ∗2 + y ∗ ∗2)5:6:p2(p1(u, v));0w := p3(x,y,z);w := p3(x,y,z)Во второй и третьей строках ввода этого примера использованы разные, но эквивалентные синтаксические конструкции «Reduce».10.15Precision, print_precisionДекларация precision устанавливает точность вычислений в режимеrounded и выводит текущую точность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
