1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 18
Текст из файла (страница 18)
3. Найти функцию g(x) вида Axα такую, что f (x) ∼g(x) при x → x0 :√√f (x) = 3 1 + x2 − 3 1 − x2 , x0 = 0, x0 = ∞.Решение.f (x)lim 2 = limx→0x→0 x√31 + x2 −x2√31 − x2√3= limx→01 + x2 − 1x2− limx→0104√31 − x2 − 1 2= ,x23f (x)limx→+∞2√3= limx2 + 1 +x2 − 12x→+∞2x 3√32x 3=q31+lim1x2q+ 3 1−1x22x→+∞= 1.Ответ.
f (x) ∼ 23 x2 при x → 0; f (x) ∼ 2x2 при x → ∞.Замена функций эквивалентными при вычислении пределовПусть функции g(x) и g1 (x) не обращаются в нуль в некоторой проколотойокрестности точки x0 , f (x) ∼ f1 (x) и g(x) ∼ g1 (x) при x → x0 , существуетf1 (x).x→x0 g1 (x)limf (x)x→x0 g(x)Тогда существует limи справедливо равенствоf (x)f1 (x)= lim.x→x0 g(x)x→x0 g1 (x)limЗадача 21. [3], §9, N. 58.
1. Вычислить:arctg(2 − x) + sin(x − 2)2lim.x→2x2 − 4Решение. arctg(2 − x) + sin(x − 2)2 = −(x − 2) + o(x − 2), x → 2, x2 − 4 =4(x − 2) + (x2 − 4 − 4x + 8) = 4(x − 2) + (x − 2)2 = 4(x − 2) + o(x − 2), x → 2.arctg(2 − x) + sin(x − 2)2−(x − 2) + o(x − 2)1=lim=−.x→2 4(x − 2) + o(x − 2)x→2x2 − 44limЗадача 22. [3], §9, N. 58. 2. Вычислить:√41 + x2 + x3 − 1lim.x→0ln cos x√√432Решение. lim 1+xx2−1+x = 14 , 4 1 + x2 − 1 + x3 =x→0xlim ln cos2x→0 x2ln(1−2 sin2 x2 )x2x→0= limln(1−2 sin2 x2 )−2 sin2lim2 xx2x→0 −2 sin 2x→0= limx21 24x+ o(x2 ), x → 0;o(x ), x → 0.√4limx→01 221 + x2 + x3 − 114 x + o(x )= lim x2=− .2x→0 −ln cos x22 + o(x )1052= − 21 ; ln cos x = − x2 +Задача 23. [3], §9, N. 58.
3. Вычислить:√x2 ( 3 1 + 3x − 1) + sin3 x√lim.x→01 − 1 + x3√√Решение. 1 − 1 + x3 = −( 1 + x3 − 1) = − 12 x3 + o(x3 ) при x → 0;√√x2 ( 3 1 + 3x − 1) = x3 + o(x3 ) при x → 0; x2 ( 3 1 + 3x − 1) + sin3 x = 2x3 + o(x3 )при x → 0.√x2 ( 3 1 + 3x − 1) + sin3 x2x3 + o(x3 )√= −4.lim= lim 1 3x→0x→0 − x + o(x3 )1 − 1 + x3223Seminar n. 23Односторонние пределы.Число A называется пределом слева функции f в точке x0 если для любогоε > 0 существует такое δ > 0, что |f (x) − A| < ε для всех x ∈ (x0 − δ, x0 ) ∩domf .Предел слева в точке x0 обозначается lim f (x) или просто f (x0 − 0).x→x0 −0Число A называется пределом справа функции f в точке x0 если для любогоε > 0 существует такое δ > 0, что |f (x) − A| < ε для всех x ∈ (x0 , x0 + δ) ∩domf .Предел справа в точке x0 обозначается lim f (x) или просто f (x0 + 0).x→x0 +01Задача 24.
[2], N. 595. а. lim arctg 1−x .x→1−01Решение. lim arctg 1−x = lim arctg y = π2 .y→+∞x→1−01Задача 25. [2], N. 595. б. lim arctg 1−x.x→1+0Решение. lim arctg11−x= lim arctg y = − π2 .y→−∞Задача 26. [2], N. 596. а. lim 1 x1 .x→0− 1+e11Решение. limlim1 =−y = 1.y→+∞ 1+ex→0− 1+e xЗадача 27. [2], N. 596. б. lim 1 x1 .x→0+ 1+e11Решение. limlim 1+elim e−y lim 1+e1 −y1 =y =xy→+∞y→+∞y→+∞x→0+ 1+ex→1+0106= 0.ln(1+ex ).xx→−∞Задача 28. [2], N. 597. а. limРешение.ln(1 + ex )exln(1 + ex )lim= limlim=x→−∞x→−∞ x x→−∞xexln(1 + y)1lim= 0.t→+∞ tet y→0y− limln(1+ex ).xx→+∞Задача 29.
[2], N. 597. б. limРешение.ln(1 + ex )ln ex + ln(1 + e−x )= lim=x→+∞x→+∞xxln(1 + e−x )1ln(1 + e−x )= 1 + limlim=1 + limx→+∞x→+∞ xexx→+∞xe−xln(1 + y)11 + limlim= 1.x→+∞ xexy→+0ylimОпределение непрерывности. Точки разрыва.Определение.
Скажем, что функция f непрерывна в точке x0 ∈ domf , еслидля любого ε > 0 существует такое δ > 0, что |f (x) − f (x0 )| < ε для всехx ∈ domf , удовлетворяющих неравенству |x − x0 | < δ.Сравнив это определение с определением предела функции в точке, мызаметим, что функция f непрерывна в точке x0 ∈ domf тогда и только тогда,когда lim f (x) = f (x0 ). Говорят, что функция разрывна (или имеет разрыв)x→x0в точке x0 , если она не является непрерывной в этой точке.
Скажем, чтофункция непрерывна на множестве E, если она непрерывна в каждой точкеэтого множества.Упражнение. Для того, чтобы функция f была непрерывна в точке x0 ∈domf , необходимо и достаточно, чтобы f (x0 − 0) = f (x0 + 0) = f (x0 ).Скажем, что функция f имеет в точке x0 устранимый разрыв, если f (x0 −0) = f (x0 + 0) 6= f (x0 ).Скажем, что функция f имеет в точке x0 разрыв первого рода, если f (x0 −0) и f (x0 + 0) существуют, но не совпадают.107Скажем, что функция f имеет в точке x0 разрыв второго рода, если хотябы один из пределов f (x0 − 0) или f (x0 + 0) не существует.Задача 01. [3], §10, N.
62. 1. Найти значение a, при котором функция f (x)будет непрерывна, если:(f (x) =(1+x)n −1,xx 6= 0, n ∈ N,a,x = 0.Ответ. a = lim f (x) = n.x→0Задача 02. [3], §10, N. 62. 2. Найти значение a, при котором функция f (x)будет непрерывна, если:(f (x) =x ctg 2x, x 6= 0, |x| < π2 ,a,x = 0.Ответ. a = lim f (x) = 12 .x→0Задача 03.
[3], §10, N. 62. 4. Найти значение a, при котором функция f (x)будет непрерывна, если:(f (x) =arcsin x ctg x, x 6= 0,a,x = 0.Ответ. a = lim f (x) = 1.x→0Задача 04. [3], §10, N. 62. 5. Найти значение a, при котором функция f (x)будет непрерывна, если:(f (x) =cx −1x ,x 6= 0, c > 0,a,x = 0.Ответ. a = lim f (x) = ln c.x→0Задача 05. [3], §10, N. 62. 6. Найти значение a, при котором функция f (x)будет непрерывна, если:(f (x) =xln(1+2x) ,x 6= 0,a,x = 0.Ответ. a = lim f (x) = 12 .x→0108Задача 06. [3], §10, N. 62. 8. Найти значение a, при котором функция f (x)будет непрерывна, если:(f (x) =x ln x2 , x 6= 0,a,x = 0.Ответ. a = lim f (x) = 0.x→0Задача 07. [3], §10, N. 62. 9.
Найти значение a, при котором функция f (x)будет непрерывна, если:(2e−1/x , x 6= 0,f (x) =a,x = 0.Ответ. a = lim f (x) = 0.x→0Задача 08. [3], §10, N. 62. 10. Найти значение a, при котором функция f (x)будет непрерывна, если:(f (x) =(1 + x)1/x , x 6= 0,a,x = 0.Ответ. a = lim f (x) = e.x→0Задача 09. [3], §10, N. 56. 1. Указать множество точек, в которых непрерывнафункция, найти ее точки разрыва, установить их род, нарисовать графикфункции:(f (x) =x2 + 2, x 6 0,x − 1,x > 0.Ответ. x = 0 – точка разрыва первого рода.Задача 10. [3], §10, N.
56. 2. Указать множество точек, в которых непрерывнафункция, найти ее точки разрыва, установить их род, нарисовать графикфункции:3 1 − x , x < 0,f (x) =(x − 1)3 , 0 6 x 6 2,4 − x,2 < x.Ответ. x = 0 – точка разрыва первого рода.x = 2 – точка разрыва первого рода.109Задача 11. [3], §10, N. 56.
3. Указать множество точек, в которых непрерывнафункция, найти ее точки разрыва, установить их род, нарисовать графикфункции:(f (x) =− x1 ,x < 0,5x − x2 , x > 0.Ответ. x = 0 – точка разрыва второго рода.Задача 12. [3], §10, N. 56. 4. Указать множество точек, в которых непрерывнафункция, найти ее точки разрыва, установить их род, нарисовать графикфункции:(f (x) =−x, x 6 −1,2x−1 ,x > −1.Ответ. x = −1 – точка разрыва первого рода.24Seminar n.
24Равномерная непрерывность.Пусть E ⊂ domf . Скажем, что функция f равномерно непрерывна на E,если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что |f (x0 ) − f (x00 )| < ε длявсех x0 , x00 ∈ E, удовлетворяющих неравенству |x0 − x00 | < δ. Если функцияравномерно непрерывна на E, то она непрерывна в каждой точке множестваE.Теорема.
(Кантор – Гейне) Если функция f : [a, b] → R непрерывна на [a, b],то она равномерно непрерывна на [a, b].Задача 13. [3], §12, N. 01. 1. Доказать, что функция f равномерно непрерывна на множестве E, если:f (x) = 2x − 1,E = R.Решение. Пусть x0 , x00 ∈ R, |x00 − x0 | < δ, δ > 0.|f (x00 ) − f (x0 )| = |2x00 − 2x0 | = 2|x00 − x0 | < 2δ < ε.110Ответ.
∀ε > 0 ∃δ < 2ε : ∀x0 , x00 ∈ R, |x00 − x0 | < δ|2x00 − 1 − (2x0 − 1)| < ε.Задача 14. [3], §12, N. 01. 2. Доказать, что функция f равномерно непрерывна на множестве E, если:f (x) = x2 ,E = (−1, 1).Решение. Пусть |x00 − x0 | < δ, δ > 0.|f (x00 ) − f (x0 )| = |(x00 )2 − (x0 )2 | = |x00 − x0 ||x00 + x0 | < 2|x00 − x0 | 6 2δ < ε.Ответ. ∀ε > 0 ∃δ < 2ε : ∀x0 , x00 ∈ (−1, 1), |x00 − x0 | < δ|(x00 )2 − (x0 )2 | < ε.Задача 15. [3], §12, N.
01. 3. Доказать, что функция f равномерно непрерывна на множестве E, если:f (x) =√3x,E = [0, 2].Решение. Пусть 0 6 x0 6 x00 6 2.√√√33x00 − x0 6 3 x00 − x0 .Следовательноp√√√333| x00 − x0 | 6 3 |x00 − x0 | < δ < ε.Ответ. ∀ε > 0 ∃δ < ε3 : ∀x0 , x00 ∈ [0, 2], |x00 − x0 | < δ√√33| x00 − x0 | < ε.Задача 16. [3], §12, N. 01. 4. Доказать, что функция f равномерно непрерывна на множестве E, если:f (x) = sin x2 ,E = (−3, 3].Решение.
Пусть x0 , x00 ∈ (−3, 3], |x00 − x0 | < δ, δ > 0. Следовательно00 20 2 00 20 2(x)−(x)(x)+(x)sin(x00 )2 − sin(x0 )2 = 2 sin cos622 (x00 )2 − (x0 )2 00 2 6 (x ) − (x0 )2 6 |x00 − x0 | (|x00 | + |x0 |) 62 sin26δ < ε.111Ответ. ∀ε > 0 ∃δ < 6ε : ∀x0 , x00 ∈ (−3, 3], |x00 − x0 | < δsin(x00 )2 − sin(x0 )2 < ε.Задача 17. [3], §12, N.
01. 5. Доказать, что функция f равномерно непрерывна на множестве E, если:1f (x) = x sin ,xE = (0, π].(Решение. Рассмотрим функцию f1 (x) =x sin x1 , x 6= 0,Функция f1 (x)0,x = 0.непрерывна на отрезке [0, π]. Следовательно, по теореме Кантора-Гейне функ-ция f1 (x) равномерно непрерывна на [0, π]. Функция f (x) равномерно непрерывна на (0, π]Задача 18. [3], §12, N. 02. 1. Доказать, что функция не является равномернонепрерывной на множестве E, если:1f (x) = cos ,xE = (0, 1).Решение. Выберем две последовательности x0n =1π+2πn ,x00n =12πn ,n ∈ N.f (x00n ) − f (x0n ) = 2.Задача 19. [3], §12, N. 02.
2. Доказать, что функция не является равномернонепрерывной на множестве E, если:f (x) = sin x2 ,E = R.Решение. Выберем две последовательностиx00n=pπ2+ 2πn,x0n=q3π2+ 2πn,n ∈ N.f (x00n ) − f (x0n ) = 2,lim (x00n − x0n ) = 0.n→∞Задача 20. [3], §12, N. 02. 3. Доказать, что функция не является равномернонепрерывной на множестве E, если:f (x) = x2 ,112E = R.Решение. Выберем две последовательности x00n =√n + 1, x0n =√n, n ∈ N.f (x00n ) − f (x0n ) = 1,lim (x00n − x0n ) = 0.n→∞Задача 21. [3], §12, N. 02.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
