1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 19
Текст из файла (страница 19)
4. Доказать, что функция не является равномернонепрерывной на множестве E:f (x) = ln x,E = (0, 1).Решение. Выберем две последовательности x00n = e−n , x0n = e−(n+1) , n ∈ N.f (x00n ) − f (x0n ) = 1,lim (x00n − x0n ) = 0.n→∞Задача 22. [3], §12, N. 03. 7. Исследовать функцию на равномерную непрерывность на множестве E:√f (x) = sin x,E = [0, +∞).Решение. x0 , x00 ∈ [0, +∞), |x00 − x0 | < δ,√ ! √ !√√ √00000√x − x x + x0 000sinx−sinx=2sincos622√√ 00 √ 0 p 00 x − x 6 |x − x0 | < δ < ε.Задача 23.
[3], §12, N. 04. 3. Исследовать функцию на равномерную непрерывность на множестве E:f (x) =sin x,xE = (0, π).Решение. Рассмотрим функцию(f (x) =sin xx ,x 6= 0,1,x = 0.Эта функция непрерывна на [0, π]. Здесь мы применяем теорему КантораГейне.113Задача 24. [3], §12, N. 04. 4. Исследовать функцию на равномерную непрерывность на множестве E:f (x) = x + sin x,E = R.Решение. x0 , x00 ∈ R, |x00 − x0 | < δ,|x00 + sin x00 − x0 − sin x0 | 6 |x00 − x0 | + |sin x00 − sin x0 | =000 x00 − x0 x+x000 cos 6 2 |x00 − x0 | < 2δ < ε.|x − x | + 2 sin22 Задача 25. [3], §12, N.
04. 5. Исследовать функцию на равномерную непрерывность на множестве E:f (x) = x cos x,E = R.Решение. Выберем две последовательности x0n = 2πn, x00n = 2πn + √1n , n ∈ N.lim (f (x0n ) − f (x00n )) = lim (x0n cos(x0n ) − x00n cos(x00n )) =n→∞n→∞11lim (2πn − (2πn + √ ) cos √ ) =n→∞nn1112π lim n(1 − cos √ ) − lim √ cos √ =n→∞n→∞nnnπ limn→∞sin2 2√1 n14n= π,lim (x00n − x0n ) = 0.n→∞25Seminar n.
25Дополнительный семинар по непрерывным функциям.Задача 26. Показать, что lim cos x = cos x0 .x→x00Решение. cos x − cos x0 = 2 sin x02−x sin x+x2 ;cos x − cos x0sin x02−xx0 − xx + x0x + x0= 2 sinsin= 2(x − x0 ) sin.22x − x02114Задача 27. Показать, что lim sin x = sin x0 .x→x0Решение.x − x0x + x0cos=220sin x−xx + x02lim 2lim (x − x0 ) lim cos= 0.x→x0 x − x0 x→x0x→x02lim (sin x − sin x0 ) = lim 2 sinx→x0x→x0Задача 28. Показать, что lim ln x = ln x0 , x0 > 0.x→x0Решение.xx0 + x − x0= lim ln=x→x0x0 x→x0x00ln(1 + x−xx − x0(x − x0 )x0 )lim ln(1 +) = limlim= 0.x−x0x→x0x→x0x→x0x0x0x0lim (ln x − ln x0 ) = lim lnx→x0Задача 29. Показать, что lim ex = ex0 .x→x0Решение.lim (ex − ex0 ) = ex0 lim (ex−x0 − 1) =x→x0x→x0(ex−x0 − 1)lim (x − x0 ) = 0.e limx→x0 (x − x0 ) x→x0x0Задача 30.
Показать, что lim xα = xα0 , x0 > 0, α ∈ R.x→x0Решение.αlim (x −x→x0xα0 )=xα0αx−1 =limx→x0x0αx−x0xα0 lim1+−1 =x→x0x0αx−x01 + x0−1(x − x0 )αx0 limlim.(x−x0 )x→x0x→x0x0x0Свойства непрерывных функций.Теорема. Пусть функции f и g непрерывны в точке x0 ∈ R. Тогда1) функции (f + g) и f g непрерывны в точке x0 ;2) если g(x0 ) 6= 0, то функция f /g непрерывна в точке x0 .Задача 31. Показать, что lim tg x = tg x0 .x→x0115lim sin(x−x0 )x→x0Решение. lim (tg x − tg x0 ) =x→x0lim cos x cos x0 .x→x0Задача 32. Показать, что lim ctg x = ctg x0 , x0 6= πk, k ∈ Z.x→x0Теорема о суперпозиции непрерывных функций.Теорема.
Пусть функция g : R → R непрерывна в точке x0 ∈ R, а функцияf : R → R непрерывна в точке g(x0 ). Тогда функция f ◦g непрерывна в точкеx0 .Следствие. Из этой теоремы следует, чтоlim f (g(x)) = f ( lim g(x)),x→x0x→x0если функция f непрерывна и существует lim g(x).x→x0Задача 33. Пусть функция f (x) непрерывна в точке x0 , f (x0 ) > 0. Показать,lim g(x)что lim f (x)g(x) = f (x0 )x→x0x→x0.Решение. Подсказка: f (x)g(x) = eg(x) ln f (x) .Задача 34.
Показать, что lim (1 + x)g(x)xx→0lim g(x)= ex→0.Решение.Рассмотреть функцию( Подсказка:1(1 + x) x , x 6= 0,f (x) =e,x = 0.Задача 35. Показать, что lim arcsin x = arcsin x0 , x0 ∈ (−1, 1). Показатьx→x0непрерывность справа и слева в точках, соответственно, -1 и 1.Решение.lim (arcsin x − arcsin x0 ) = lim (arcsin(sin(y)) − arcsin(sin(y0 ))) =x→x0y→y0lim (y − y0 ) = 0.y→y0Задача 36.
Показать, что lim arctg x = arctg x0 , x0 ∈ R.x→x0Решение.lim (arctg x − arctg x0 ) = lim (arctg(tg(y)) − arctg(tg(y0 ))) =x→x0y→y0lim (y − y0 ) = 0.y→y0Задача 37. Показать, что lim arccos x = arccos x0 , x0 ∈ (−1, 1).x→x0Задача 38. Показать, что lim arcctg x = arcctg x0 , x0 ∈ R.x→x011626Seminar n. 26Производная и дифференциал.Определение.
Функция f : (a, b) → R называется дифференцируемой вточке x0 ∈ (a, b), если существует A ∈ R, такое, чтоf (x) = f (x0 ) + A(x − x0 ) + o(x − x0 )при x → x0 .Иногда это определение удобно сформулировать в такой форме: функцияf : (a, b) → R называется дифференцируемой в точке x0 ∈ (a, b), если существует A ∈ R, такое, чтоf (x0 + h) = f (x0 ) + Ah + o(h)при h → 0. Число A называется производной функции f в точке x0 . Обычноdfdx (x0 ). Нетрудно(x0 )f 0 (x0 ) = lim f (x)−f=x−x0x→xпроизводная функции f в точке x0 обозначается f 0 (x0 ) иливидеть, что если f дифференцируема в точке x0 , то0(x0 )lim f (x0 +h)−f.
Обратное утверждение тоже верно:hh→0(x0 )lim f (x)−f= A, то функция f дифференцируемаx−x0x→xесли существует пределв точке x0 и f 0 (x0 ) = A.0Если функция дифференцируема в точке x0 , то она непрерывна в этой точке.Односторонние пределыf (x0 + h) − f (x0 )h→0+hlimиf (x0 + h) − f (x0 )h→0−hназывают соответственно правой и левой производными функции f в точкеlimx0 и обозначают f+0 (x0 ) и f−0 (x0 ).Для существования производной функции f в точке необходимо и достаточно существования в этой точке правой и левой производных и их равенство.117Функция f называется дифференцируемой на отрезке [a, b], если она дифференцируема на интервале (a, b) и существуют конечные односторонние производные f+0 (a) и f−0 (b).Производная суммы.(f (x) + g(x))0 = f 0 (x) + g 0 (x).Производная произведения.(f · g)0 (x) = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x).Производная частного.
0ff 0 (x) · g(x) − f (x) · g 0 (x)(x) =.gg 2 (x)Производная сложной функций.Теорема. Если функция g дифференцируема в точке x0 , а функция f дифференцируема в точке g(x0 ), то функция f ◦ g дифференцируема в точке x0и(f ◦ g)0 (x0 ) = f 0 (g(x0 ))g 0 (x0 ).Вывод.f (g(x0 + h)) − f (g(x0 ))=h→0hf (g(x0 + h)) − f (g(x0 )) g(x0 + h) − g(x0 )·lim=h→0g(x0 + h) − g(x0 )hf (g(x0 + h)) − f (g(x0 ))g(x0 + h) − g(x0 )limlim=h→0h→0g(x0 + h) − g(x0 )hf (g(x0 ) + y) − f (g(x0 ))g(x0 + h) − g(x0 )limlimy→0h→0yh(f ◦ g)0 (x0 ) = lim= f 0 (g(x0 ))g 0 (x0 ).118Производная обратной функций.Теорема. Пусть функция f : (a, b) → R строго монотонна, дифференцируема в точке x0 ∈ (a, b), непрерывна в некоторой окрестности этой точки и f 0 (x0 ) 6= 0.
Тогда функция f −1 дифференцируема в точке f (x0 ) и(f −1 )0 (f (x0 )) =1f 0 (x0 ) .Вывод.(ff −1 (f (x0 ) + h) − f −1 (f (x0 ))=) (f (x0 )) = limh→0h−1 0{Замена y = f −1 (f (x0 ) + h) − f −1 (f (x0 )). Тогда h = f (x0 + y) − f (x0 ).}y1= 0.y→0 f (x0 + y) − f (x0 )f (x0 )= limСкажем, что функция дифференцируема на множестве E, если она дифференцируема в каждой точке этого множества.Формулы для производных основных элементарных функцийСтепенная функция.c0 = 0, c = const, (xα )0 = αxα−1 ,x > 0,α ∈ R.Вывод.(1 + hx )α − 1(x + h)α − xαα−1(x ) = lim=xlim=hh→0h→0hxα 0α−1x(1 + y)α − 1lim= αxα−1 .y→0yОбласть существования производной функции xα может быть и шире.
Например, если α ∈ N, то(xα )0 = αxα−1 ,119x ∈ R.Показательная функция.Если a > 0 и a 6= 1, то(ax )0 = ax ln a,x ∈ R;в частности,(ex )0 = ex ,x ∈ R.Вывод.x 0(a )ax ah − axah − 1ax+h − axx= lim= a lim= ax ln a.= limh→0h→0h→0hhhЛогарифмическая функция.Если a > 0 и a 6= 1, то1,x ln ax > 0;(loga |x|)0 =(ln x)0 = 1/x,x > 0;(ln |x|)0 = 1/x,(loga x)0 =1,x ln ax 6= 0;в частности,x 6= 0.Вывод.loga (1 + hx )loga (x + h) − loga x(loga x) = lim= lim=h→0h→0hhloga (1 + hx )11lim=hx h→0x ln ax0Тригонометрические функции.(sin x)0 = cos x,x ∈ R;(cos x)0 = − sin x,x ∈ R;1π2=1+tgx,x=6+ πn, n ∈ Z;cos2 x21(ctg x)0 = − 2 = −1 − ctg2 x, x 6= πn, n ∈ Z;sin x(tg x)0 =120Вывод.2 sin h2 cos(x + h2 )sin(x + h) − sin x(sin x) = lim= lim=h→0h→0hhsin h2hlim h lim cos(x + ) = cos x;h→0h→0220−2 sin h2 sin(x + h2 )cos(x + h) − cos x= lim=(cos x) = limh→0h→0hhsin h2h− lim h lim sin(x + ) = − sin x.h→0h→0220sin(x+h)sin x−tg(x+h)−tgxcos(x+h)cosx(tg x)0 = lim= lim=h→0h→0hhsin(x + h) cos x − cos(x + h) sin x=limh→0h cos x cos(x + h)sin hsin h1lim= lim· lim=h→0 h cos x cos(x + h)h→0 hh→0 cos x cos(x + h)1.cos2 xcos(x+h)cos x−ctg(x+h)−ctgxsin(x+h)sin x(ctg x)0 = lim= lim=h→0h→0hhsin x cos(x + h) − cos x sin(x + h)lim=h→0h sin x sin(x + h)sin h11− limlim=− 2 .h→0 h h→0 sin x sin(x + h)sin xОбратные тригонометрические функции.11, |x| < 1; (arccos x)0 = − √, |x| < 1;1 − x21 − x21−10(arctg x)0 =,x∈R;(arcctgx)=, x ∈ R.1 + x21 + x2(arcsin x)0 = √121Вывод.(arcsin x)0 =111√=p=;cos(arcsin x)1 − x21 − sin2 (arcsin x)(arccos x)0 =−1−1−1=p=√;sin(arccos x)1 − x21 − cos2 (arccos x)11=;1 + tg2 (arctg x) 1 + x2−1−1(arcctg x)0 ==;1 + ctg2 (arcctg x) 1 + x2(arctg x)0 =Задача 01.
[3], §12, N. 176. 1. Определить значения α и β, при которых: а)всюду непрерывны; б) всюду дифференцируема следующая функция:(αx + β, если x 6 1f (x) =x2 ,если x > 1.Решение.a) Нужно проверить непрерывность, только в точке x = 1: f (1 + 0) = 1,f (1 − 0) = α + β. Получим условие β = 1 − α.В остальных точках непрерывность очевидна.б) Дифференцируемость будем проверять для функции(αx + 1 − α, если x 6 1f (x) =x2 ,если x > 1,f−0 (1) = α, f+0 (1) = 2.В остальных точках дифференцируемость очевидна.Ответ. α = 2, β = −1.Задача 02. [3], §12, N. 176. 2.
Определить значения α и β, при которых: а)всюду непрерывны; б) всюду дифференцируема следующая функция:(α + βx2 , если |x| 6 1f (x) =1/|x|,если |x| > 1.Решение.a) Нужно проверить непрерывность, только в точках x = ±1: f (1 + 0) = 1,122f (1 − 0) = α + β. Получим условие β = 1 − α.В остальных точках непрерывность очевидна.б) Дифференцируемость будем проверять для функции(α + (1 − α)x2 , если |x| 6 1f (x) =1/|x|,если |x| > 1.f−0 (−1) = 1, f+0 (−1) = −2(1 − α), f−0 (1) = 2(1 − α), f+0 (1) = −1.В остальных точках дифференцируемость очевидна.Ответ. α = 23 , β = − 12 .Задача 03.
[3], §12, N. 177. 1. Определить значения α и β, при которыхфункция всюду дифференцируема:((x + α)e−βx ,f (x) =αx2 + βx + 1,если x < 0,если x > 0.Задача 04. [3], §12, N. 177. 2. Определить значения α и β, при которыхфункция всюду дифференцируема:(αx + β,f (x) =α cos x + β sin x,если x < 0,если x > 0.Производные высших порядков.Пусть функция f дифференцируема на (a, b). Тогда мы можем определитьфункцию, которая каждой точке x интервала (a, b) ставит в соответствиеf 0 (x). Если полученная функция f 0 дифференцируема, мы можем её продифференцировать и получить функцию (f 0 )0 , называемую второй производнойфункции f .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
