1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 21
Текст из файла (страница 21)
. . + (−1)n+ o(x2n+1 ),2!4!(2n)!12tg x = x + x3 + x5 + o(x6 ),315Обратные тригонометрические функцииx3arctg x = x −+ o(x4 ),3x → 0,x3+ o(x4 ),arcsin x = x +3!x → 0,Поскольку1= 1 − x2 + o(x3 ),21+x1x2√=1++ o(x3 ),21 − x2131x → 0.x → 0.Степенная функция(1 + x)α = 1 + αx +α(α − 1) 2α(α − 1) . . . (α − (n − 1)) nx +...+x + o(xn ),2!n!1= 1 − x + x2 + . . . + (−1)n xn + o(xn ), x → 0,1+x1= 1 + x + x2 + . .
. + xn + o(xn ), x → 0.1−xx → 0,Логарифмическая функцияnx2 x3n−1 xln(1 + x) = x −++ . . . + (−1)+ o(xn ),23nx → 0.Вычисление пределов с помощью формулы ТейлораЗадача 01. [3]. §19. N. 1.7. Найти предел√√√1+x+ 31+x−241−xlim.x→0x√√√Решение. 1 + x = 1+ x2 +o(x), 3 1 + x = 1+ x3 +o(x), 4 1 − x = 1− x4 +o(x),x → 0.√√3√1+x−241−x 1 1 1lim= + + =x→0x2 3 2Задача 02. [3]. §19.
N. 6.1. Найти предел√cos x − 1 − x2lim.x→0sin x − x√2424Решение. cos x = 1 − x2 + x24 + o(x5 ), 1 − x2 = 1 − x2 − x81+x+4.3+ o(x5 ), x → 0.Следовательноcos x −p11 − x2 = ( +24x3sin x − x = −61 4x4)x + o(x5 ) =+ o(x5 ),86+ o(x4 ),x → 0,√x45cos x − 1 − x26 + o(x )lim= lim x3=04)x→0x→0 −sin x − x+o(x6.132Задача 03. [3]. §19.
N. 16.1. Найти предел√2ex − 1 + 2x2lim.x→0tg4 x√242Решение. ex = 1 + x2 + x2 + o(x5 ), 1 + t = 1 + 2t − t8 + o(t2 ), t → 0,√421 + 2x2 = 1 + 2x2 − 4x8 + o(x5 ), tg4 x = x4 + o(x5 ), x → 0.2limex −x→0√( 21 + 21 )x4 + o(x5 )1 + 2x2= lim=x→0tg4 xx4 + o(x5 )1212+1= 1.Задача 04. [3]. §19. N. 16.1.
Найти пределlimx→0arcsin xx 12x.Решение.x2arcsin x=1++ o(x3 ),x6x → 0,x26+ o(x3 ) 1= ,limx→0x26 2 1x +o(x3 )x23lim 1 ++ o(x ) 6= e,x→06limx→0arcsin xx 12x= limx→0 2 1 !2x +o(x3 )x1++ o(x3 ) 66lim 2 1 !x→02x +o(x3 )x6+ o(x3 )lim 1 +x→06x2 +o(x3 )6x2=x2 +o(x3 )6x2=exp limx→030Seminar n. 30133x26+ o(x3 )x2!=√6e.Исследование функцийДостаточные условия строгого экстремума (с использованием первой производной).5Пусть функция f (x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 ,кроме, быть может, самой точки x0 , в которой, однако, функция f (x) непрерывна.
Тогда точка x0 является точкой строгого локального максимума, если существует окрестность точки x0 , в которой f 0 (x) > 0 при x < x0 иf 0 (x) < 0 при x > x0 .При выполнении этих условий принято говорить, что производная функции при переходе через точку x0 меняет знак плюс на знак минус.Если же f 0 (x) < 0 при x < x0 и f 0 (x) > 0 при x > x0 , т.
е. если производная при переходе через точку x0 меняет знак минус на плюс, то x0 – точкастрогого локального минимума.Критическими точками функции называются точки, в которых производная равна нулю, либо производной в этой точке не существует, то есть функция в этой точке недифференцируема.Если производной в точке строго локального экстремума x0 не существует,то рассмотрим случай, когда функция f имеет конечные или бесконечныеодносторонние производные в т. x0 : f+0 (x0 ) и f−0 (x0 ).Пример.
f (x) = |x|.Решение. f−0 (0) = −1, f+0 (0) = 1.pПример. f (x) = |x|.Решение. f−0 (0) = −∞, f+0 (0) = +∞.Задача 01 из семинара 26. [3], §12, N. 176. 1. Определить значения α и β,при следующая функция имеет в точке x = 1 локальный минимум:(αx + β, если x 6 1f (x) =x2 ,если x > 1.Решение. Непрерывность в точке x = 1 имеет место, когда α + β = 1. Точка5Теория взята из [3], §20134локального минимумаf−0 (1) = α < 0,f+0 (1) = 2.Ответ.
Функция(f (x) =αx + 1 − α,если x 6 1x2 ,если x > 1,имеет в точке x = 1 локальный минимум, если α < 0.Задача 02. [3], §12, N. 176. 2. Определить значения α и β, при которых: а)всюду непрерывны; б) всюду дифференцируема следующая функция:(α + βx2 , если |x| 6 1f (x) =1/|x|,если |x| > 1.Решение. Нужно установить непрерывность в точках x = ±1: f (1 + 0) = 1,f (1 − 0) = α + β. Получим условие β = 1 − α,f−0 (−1) = 1, f+0 (−1) = −2(1 − α), f−0 (1) = 2(1 − α), f+0 (1) = −1.
Точкилокального максимумаf−0 (−1) = 1,f+0 (−1) = −2(1 − α) < 0,f−0 (1) = 2(1 − α) > 0,f+0 (1) = −1.Ответ. Функция(f (x) =α + (1 − α)x2 ,если |x| 6 11/|x|,если |x| > 1.имеет в точках x = ±1 локальный максимум, если α < 1.Условия строгого экстремума (с использованием производных высших порядков). Пусть функция f (x) имеет в точке x0 производные допорядка n (n ∈ N) включительно. Тогда если f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = . . . =f (n−1) (x0 ) = 0, а f (n) (x0 ) 6= 0, то при четном n точка x0 является точкой строгого экстремума, причем точкой локального максимума, если f (n) (x0 ) < 0, и точкой локального минимума, если f (n) (x0 ) > 0;при нечетном n экстремума в точке x0 нет.
В частности, если f 0 (x0 ) = 0,135а f 00 (x0 ) 6= 0, то в точке x0 имеется строгий локальный максимум в случае f 00 (x0 ) < 0 и строгий локальный минимум в случае f 00 (x0 ) > 0.Условия выпуклости функции. Для того чтобы функция f (x), дважды дифференцируемая на интервале (a, b), была выпуклой вниз на этоминтервале, необходимо и достаточно, чтобы вторая производная f 00 (x) быланеотрицательна на (a, b), т.е.f 00 (x) > 0,x ∈ (a, b).f 00 (x) > 0,x ∈ (a, b),Условиеявляется достаточным условием строгой выпуклости вниз функции f (x)на интервале (a, b).Аналогично, для функции f (x), имеющей на интервале (a, b) вторую производную, необходимым и достаточным условием выпуклости вверх наэтом интервале является условиеf 00 (x) 6 0,x ∈ (a, b),а достаточным условием строгой выпуклости вверх – условиеf 00 (x) < 0,x ∈ (a, b).Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 , за исключением, быть может, самой точки x0 .
Если существуют интервалы(x0 − δ, x0 ) и (x0 , x0 + δ),δ > 0,на одном из которых f (x) строго выпукла вниз, а на другом строго выпуклавверх, то говорят, что при переходе через точку x0 функция f (x) меняетнаправление выпуклости.Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 , непрерывна в точке x0 и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда если функция f (x) при переходе через точку x0 меняет направление выпуклости, то точка x0 называется точкой перегиба функции f (x) в136этом случае точку (x0 , f (x0 )) называют точкой перегиба графика функцииf (x).Задача 03.([3].
§20. N 39.6. Найти наибольшее и наименьшее значения функex ln x x ∈ (0, 1]ции f (x) =1x = 0.(x ln x x ∈ (0, 1]Решение. Сводим задачу к функции g(x) =. Эта0x = 0.функция имеет локальный минимум в точке x = 1e . Действительно, g 0 (x) =ln x + 1, g 00 (x) =1x> 0, x > 0.Отметим, что функция f (x) имеет тоже в точке x =1eлокальный мини-мум:f 00 (x) = g 0 (x)eg(x) ,f 00 (x) = (g 0 (x)eg(x) )0 = eg(x) (g 00 (x) + (g 0 (x))2 ) > 0.Проверяем на концах отрезка в т.
x = 0, x = 1.Ответ. min f (x) = e−1/e , max f (x) = 1.x∈[0,1]x∈[0,1]Задача 04. [3]. §20. N 40.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = 2 sin x + sin 2x, x ∈ [0; 3π/2].Решение. f 0 (x) = 2 cos x + 2 cos 2x = 0. Получим две критические точкиx1 = π3 , x2 = π.√Найдем f 00 (x) = −2(sin x + 2 sin 2x), f 00 ( π3 ) = −3 3, x1 =π3 –000точка ло-кального максимума; f 00 (π) = 0, f 000 (x) = −2(cos x + 4 cos 2x), f (π) = −6.Ответ.f ( π3 )=√3 32– максимум, f ( 3π2 ) = −2 – минимум.Задача 05. [3]. §20.
N 35. Пусть(2e−1/x , x 6= 0,f (x) =0,x = 0,(g(x) =2xe−1/x , x 6= 0,0,x = 0.Доказать:1) f (n) (0) = g (n) (0) = 0, n ∈ N;2) f (x) в точке x = 0 имеет строгий минимум, g(x) в точке x = 0 не имеетэкстремума.137Решение. 1) Действительно, по формуле Лейбница(n−1) X (k)n−1222 (n)22ke−1/x=e−1/xCn−1=(e−1/x )(n−1−k) .33xxk=0−1/x2Нужно показать, что lim ekx→0 x(n)следовать, что f (n) (0) = g= 0 при k ∈ N. Из этого утверждения будет(0) = 0, n ∈ N.2) Используя теорему Лагранжа, f (x) − f (0) = f (x) =2 −1/ξ 2xξ3 e> 0 приx 6= 0.Используя теорему Лагранжа, g(x) − g(0) = g(x) = (1 +2−1/ξ 2xξ 2 )eприx 6= 0.Задача 06. [3].
§20. N 36. Пусть f (x) – четная, дважды непрерывно дифференцируемая функция, причем f 00 (0) 6= 0. Доказать, что точка x = 0 являетсяточкой экстремума этой функции.Решение. f (x) − f (0) = f 0 (ξ)x = (f 0 (ξ) − f 0 (0))x = f 00 (η)xξ = (f 00 (0) +(f 00 (η) − f 00 (0)))xξ. Отметим, что f 00 (η) 6= 0, если x ∈ Uδ (0).Задача 07. [2]. N 1308. Показать, что криваяx+1f (x) = 2x +1имеет три точки перегиба, лежащие на одной прямой. Построить график этойфункции. Решение.√√322(x+3x−3x−1)2(x−1)(x+2+3)(x+2−3)f 00 (x) ==.(x2 + 1)3(x2 + 1)331Seminar n. 31Контрольная работа по пределам функций и производным1. Семинар 23. Задача 03. [3], §10, N. 62. 4. Найти значение a, при которомфункция f (x) будет непрерывна, если:(arcsin x ctg x, x 6= 0,f (x) =a,x = 0.138Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
