1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 65
Текст из файла (страница 65)
т т. т т . т т 3) 0174~ С166~ 1) 0156) 0193' 38.5. Найти внешнее произведение трех 1-форм, заданных координатными строками: Т Т Т. оЛ 7 Т Т. ал Т Т Т 1) С12, С13, С14', 21 С99, С52, С51', 3) С83, С124, С118', 4) 0172~ С154~ С218~ 5) 0197~ С198, С207'., 6) С255, С256, С257. 38.6. 2-форма задана матрицей, 1-форма задана коорди- натной строкой. Найти их внепплее произведение. 1) А254, сТ81, 2) А254, сьТ6', 3) А252, с9Т1, 4) А499 с162', 5) А432 0204. т т' 38.7.
Пусть и, ил, о и ло — внешние формы степеней соот- ветственно р, р, д и т. Доказать, что: 1) (Ли) Л о = Л1и Л о); 2) (и + ил) Л о = и Л о + ил Л о; 3) (иЛо)Лю=иЛ(оЛол); 4) и Ло = ( — 1)"'о Ли. 38.8. Доказать, что значение д-формы на системе векторов хл,..., хл фактически зависит только от д-вектора хл Л...
Л хл. 38.9. Пусть 11, ..., 19 . 1-формы. Найти значение р-фор- мы 1 Л... Л 1е на системе векторов х1, ..., хр. 38.10. 2-форма в,С4 задана строкой ее существенных ком- понент лр, а векторы х и у - координатнызли столбцами 5„17. Найти значение 2-формы на паре х, у: т 1) л17 = С279' Е, = 0174~ 71 = С186 т 2) лр = С269, Е, = с171; 17 = сы7. 38.11. Доказать, что для линейной зависимости векторов ал, ..., ар необходимо и достаточно, чтобы ал Л...
Л ар — — О. 3 о8. Полиоенторы и онеи4ние формы 345 38.12. Пусть еы ..., е„-- базис в Е„. Доказать, что: 1) бивекторы ез Л е для всех пар 1, у' таких, что 4 < г', образуют базис в пространстве бивекторов пространства Е„. 2) р-векторы е;, Л... Л е,, для всех сочетаний индексов 40 ..., гр (44 «... 1р) образуют базис в пространстве рвскторов пространства Е„. 38.13. Базису е = (ем ег, ез, е4) пространства Е4 сопоставим базис е = (е4 Л ег, е4 Л ез, е4 Л е4, ег Л ез, ег Л е4, ез Л е4) соответствующего пространства бивекторов, а базису е' " аналогично построенный базис е'.
Найти матрицу перехода от е к е', если матрица перехода от е к е' есть Я. 38.14. Внешнее произведение и"'"'" — ' векторов хм ... ..., х„4 из Е„их4еет и существенных компонент. Доказать, что при замене базиса в Е„с матрицей перехода Я строка а = = 1а,..., а") из существенных компонент а' = и ' '"" преобразуется по формуле а' = аЯ(де1 Я) 38.15. Используя результат задачи 38.8, доказать, что линейное пространство р-форм может быть отождествлено с сопряженным к линейному пространству р-векторов. 38.16.
Доказать, что в Ез каждый бивектор разложим. 38.17. Доказать, что для разложимости бивектора и'1 в С4 необходимо и достаточно выполнение равенства и42и34— 13 24 + 14 23 0 38.18. Пусть ам аг, аз и а4 — линейно независимые векторы. Разложимы ли бивекторы: 1) а4 Л аг + аз Л а4,' 2) аз Л аг+ а4 Ла4+ а| Лаг,. 3) а4 Л аг + аз Л а4+ аз Л аз + аг Л а4? 38.19. Разложим ли бивектор в Е4, задаваемый в некотором базисе столбцом существенных компонент а: Ц а = сгтд', 2) а = сгвд, .3) а = сгтз, 4) а = сгз1? 38.20. Доказать, что подпространство, порождаемое рвектором, имеет размерность т < р, причем равенство достигается для разложимых р-векторов и только для них.
38.21. 1) Пусть разложимый бивектор в базисе еы ..., е„ имеет компоненты и'о. Доказать, что векторы Р = ибе.. лежат в пространстве, порождаемом этим бивектором. 2) Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для разложимых р-векторов. 346 Гл. Ц. Теизоры 38.22.
Может ли размерность подпространства, порождаемого бивектором в пространстве Е4, равняться 1? 3? 38.23. В некотором базисе пространства Г4 бивектор и определен столбцом существенных компонент а. Найти линейное подпространство, порождаемое этим бивектором: С279; 2) а С2691 3) а С278~ '1) а С286. 38.24. Доказать, что разложимый р-вектор, определяющий подпространство Ер, может быть найден по этому подпространству с точностью до числового множителя. 38.25. Подпространство Е2 в пространстве Е4 задано системой линейных уравнений с матрицей А.
Найти коъ4поненты бивектора, определяющего ь2. 1) А = А662; 2) А = Абаз; 3) А = А666 38.26. Подпространства Е7 и Е2 в пространстве Е4 поро- ждены соответственно вектором х и бивектором и. Вектор за- дан координатным столбцом е„ а бивектор -- столбцом суще- ственных компонент а.
Проверить,что,б1 С Е2,и найти такой вектор д,что и = х Л у: 1) е, = ( — 2. б, 1, 1)7. а = (10, 1, 3, 2, — 4, — 1)7: 2) е, = (1, 2, О, 1) , а = (2, 1, 3, 2, 4, — 1)2 . 38.27. Подпространства Г7 и Е2 в пространстве Е4 поро- ждены соответственно вектором я и бивектором и. Вектор за- дан координатным столбцом е„а бивектор —. столбцом суще; ственных компонент а. Проверить, что Е1 П Е2 = 1о?, и найти З-вектор, порождающий Е =,С7 ее Е2.
Найти уравнение подпро- странства Е: 1) ~ = (2, 2, 1, 1)7, а = (2, 1, 3, 2, 4, - 1)г; 2) е, = (1, О. 1, 1)7, а = (9, 5, 1, 4, -1, -1)7 . 38.28. Пусть 1-формы 7"1, ..., 1'" линейно независимы и для 1-форм д, ..., д выполнено равенство 1 Л д' + ... ь ... + 7"л Л д" = О. Доказать, что д' = 2 або для всех г = 1,..., й, 7=1 причем ай = и~' (лемма Картина). 38.29. 1-формы Г~, 72 и д7 заданы координатными строка- ми ер7, ер2, 4,7. Существует ли такая 1-форма д2, что 17 Л д7 + + 12 Л д2 = О? Найти все такие формы, если они существуют: т 2 т 7 т 1) 97 = С172~ ее = С173, ~ = С166', Т 2 т 4 т 2) ер = С197~ ер = С188) г' = С766~ В ВВ.
Полиоеитпоры и внешние формы 347 3) ер = с1юю, 1р = с22в, е = с227, 1 Т 2 Т 1 Т 1 Т 2 Т 1 Т 4) Ер = С171, Ер = С1ВЮ. е = С192. 38.30. Доказать, что для каждой 2-формы 1о существует базис 11,..., Го в пространстве 1-форм такой, что форма ео имеет канонический вид оо = 11л12+12л14+ +12р 'д Рр (2р < и). 38.31. 2-форма задана своей матрицей в некотором базисе. Привести ее к каноническому виду, описанному в задаче 38.30: 1) А2юю; 2) А4зю', 3) А4юю; 4) А4юю. РЕШЕНИЯ 1.46. Введем на плоскости базис АР = а, АВ = Ь.
Имеем: РК = РС+ СК = Ь вЂ” — а, ВВ = ВС+ СВ = а — — Ь, РМ = ЛРК, 5 ' 8 ВМ = ддВА. Найдем неизвестные Л и д. Так как АМ=АР+РМ=а+Л Ь вЂ” -а = 1 — -Л а+ЛЬ, д' 5 д 5 АМ = АВ+ ВМ = Ь+ д (да — — Ь) = да+ (1 — — д) Ь, 8)~,8) 3 то, приравнивая коэффицддснтьд при а и Ь, имеем 1 -- — Л = д, Л = 5 5 3 16 = 1 — — д, откуда Л = —, р = —. Окончательно, 8 5' 25 ~РМ~: ~МК~ = 3: 2, ~ВМ.,: ~МЦ = 16: 9. 2.19. Параллелограмм строится на векторах а = 2ед + 2ег, Ь = = — ед + 4ег. Длины диагоналей параллелограмма это длины векторов а+ Ь и а — Ь. Имеем: а+ Ь = ед + бег, а — Ь = Зед — 2ег; (а + Ь|~ = (ед)~ + 36)ег(~ т 12 (ед, ег), )а — Ь! = 9)ед)~ + 4(ег(~ —. — 12(ед,ег).
Поэтому ~а+ Ь|~ = 50, так как (ед, ег) = 1; (а — Ь|~ = 10. Итак, длины диагоналей параллелограмма равны бдд'2 н дд'ГО. Один из углов параллелограмма — это угол у между вектора- (а, Ь) миаиЬ; сов~дд = ' . Имеем(а, Ъ) = — 2~ед,'~ +8~ег 4 6(ед, ег) = )а( )Ь| = 10, ~ р =4~„р ц„р+8( „г) =20., ~~ ~г = ~„~г+щ„~г— — 8 (ед, ег) = 10; сов дг = 1/~ 2. Итак, острый угол параллелограмма равен 45'. 2.24. По определенидо Ь = х + у, где вектор х коллинеарсн вектору а, а вектор у ортогонален вектору а.
Иначе говоря, Ь = Ла+ у, где (а, у) = О. Умножая обе части векторного равенства скалярно на а, имеем (а, Ь) = Л/а/~ + (а, у) = Л/а!~, (а, Ь) (а, Ь) откуда Л = . Итак, х = а. ~а~г ' ' (а(г 2.34. Пусть вектор с имеет координаты х, у, г. Из условия ортогональности векторам а и Ь имеем: х — у + - = О, 5х + у + х = О. Выражая из первого уравнения г = у — х и подставляя во второе, име- Реиления ем: 2у+ 4х = О, откуда у = — 2х, з = — Зх. Условию ортогональности векторам а и Ь удовлетворяет бесконечно много векторов с с координатами (х, — 2х, — Зх). Из условия [с[ = 1 имеем [х[ = 1/ч'14, откуда х = х1/~Г4.
Задача имеет два решения: (1/Л4, — 2/чг14, — 3,1~/Г4) и ( — 1/ч'Г4, 2/;~Г4, 3/~/Г4). 3.9. Площадь параллелограмма равна Я = [ВА, ВС) [ (если плоскость рассматривать в пространстве). Имеем ВА = Зем ВС = = — 2е~+ 2ем [[ем ез)[ = 3, [ВА, ВС) = 6[ее, еэ — е~) = 6[ее, ез) + + 6 [ем ез) = 6 [ем ез). Искомая площадь равна Я = 6 [ем ез) = 18. 3.29. 1) Если векторы ам аьв аз компланарны, то, например, аз = Ла~ + дав. Так как (Ьз, а~) = (Ьз, аз) = О, то и (Ъз, аз) = О, что противоречит равенству (Ьв, аз) = 1. Пусть теперь векторы ам аз, ав некомпланарны. Докажем, что в этом случае взаимная тройка суще- ствует. Так как (Ьз, а~) = (Ьз, аз) = О, то Ьз = Л[ам аз[.
Сквляр Л находим из условия (Ьз, аз) = 1. Имеем Л([аы аз), аз) = 1, откуда Л = 1/(ам аэ, аз), а Ьз = [ам аг)Дам аг, аз) Аналогично находим Ь| = [аз, аврам аз, аз), Ьз = [аз, а~)/(ам аз, аз). 2) Формулы описаны выше. 3) По формуле задачи 3.26, 4), (Ьм Ьз, Ьз) = 1/(ам ам аз). По- этому знаки чисел (ам аз, аз) и (Ь,, Ьз, Ьз) совпадают. Значит век- торы Ьм Ьм Ьз образуют базис той же ориентации, что и ам аз, аз. 4.11. Имеем: РР = — ВР = — (АР— АВ), ЕС = ЕР -ь РС = 3 3 ~ 2 — 1— = — АР+ — АВ.
Поэтому базисные векторы второй системы коор- 3 3 динат выражаются через базисные векторы первой системы так: 1 2, 2 2 е[ = — е~ + — ем ез = — — е~+ — ещ Далее, АК = АВ+ ВЕ = АВ+ 3 3 ' ' 3 3 1 7— + — [АР— АВ); поэтому начало второй системы координат имеет 3[, /2 1Л в первой системе координаты [ и, - [. Теперь остается зависать: [,3 3[ 1, 2, 2 2, 2, 1 ,! р!4 ~ х!4 р! 3 3 3 ' 3 3 3 5.20. Если бы три точки А, В, С лежали по одну сторону от искомой прямой, то они принадлежали бы одной прямой, нврвллельной искомой. Но точки А, В, С не лежат на одной прямой; значит, две из них лежат по одну сторону от искомой прямой, третья — по другую.
Если А и В лежат по одну сторону от прямой, С вЂ” по другую, то искомая прямая проходит через точки В (2, 3) и М ( — 1, 2) середих — 2 у — 3 ны отрезков ВС и АС соответственно; ее уравнение — 1 — 2 2 — 3' т.е. х -- Зу + 7 = О. Реиления 350 Аналогично разбираются два других случая расположения точек А, В, С относительно прямой. Задача имеет три решения: х — Зу + 7 = О, Зх + 4у — 18 = О, 2х+ + 7у — 12 = О.
5.34. Проведем через точку А(1, 2) прямую, перпендикулярную прямой Зх — у+9 = О. Ее параметрические уравнения т = = 1 + 31, у = 2 — 1 (так как направляющий вектор имеет координаты (3, — Ц). Пусть Ал — искомая проекция. Обозначим через 1а значение параметра 1 на прямой х = 1+ 31, у = 2 — 1, соответствующее точка пересечения с прямой Зх — у+ 9 = 0 (т.е. точке Ал). Найдем это значение 1а из уравнения 3 (1+ 31а) — (2 — 1а) + 9 = О, откуда 1а = — 1. Тогда искомая проекция имеет координаты ( — 2, 3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
