1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 62

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 62)

Оно обозначается и Л и. Аналогично определяется внешнее произведение поливекторов. Разложимый р-вектор представим в виде и = х1 Л ... Л хю где хп..., хр — векторы. Внешнее произведение линейно по каждому сомножителю. В силу этого для данного р-вектора и множество таких векторов х, для которых и Л х = о, является линейным подпространством ь'. Говорят, что надпространство ь определяется (или порождается) р-вектором и. В задачах этого параграфа мы, если не оговорено противное, задаем поливекторы (и внешние формы) с помощью их существенных компонент тех компонент и" "''", для которых значения индексов удовлетворяют условию 11 < 1з «...

1р (остальные компоненты поливектора и определяются по существенным с помощью условий антисимметрии). Существенные компоненты мы будем располагать в столбец или строку в лексикографическом порядке: компонента ип ..' располагается перед ип .-з, если для некоторого з ) 1 выполнено 11 = ум ..., 1, , = у, „ 1, < уп Например, бивекто- Гл. Ц.

Теизври ру (2-вектору) в ьз соответствует столбец существенных компонент (и'~, и'з, иы, игз, и~~, и~~)~, а 3-форме в Ез соотвегствует строка (Лгз, Лгн Лзм Лзз) Под значением и-формы 1 иа системе 4 векторов кп ..., кз поннмаетсв свертка произведения 1 Сгз к1 я... З кю В частности, 2-форма определяет билинейную функцию, матрица которой в любом базисе кососвмметрична: Р~А(г 11 '" г.г Матрица Г называется матрицей 2-формы в рассматриваемом базисе. й 35.

Определение тензора. Тензорные обозначения, пространственные матрицы 35.1. Пусть с', ~г и згг, цг — координаты векторов т и р в произвольнолл базисе двумерного линейного пространства. Сопоставим этому базису числа: 1 1 1) с~ + с~; 2) с~ + гг~; 3) Как изменяются эти числа прн замене базиса? Проверьте, является ли каждая из данных величин тензором. 35.2. Сопоставим каждому базису в линейном пространстве,б„: 1) число 1; 2) упорядоченный набор чисел 1, ...., п.

Будет ли данное соответствие тензором? Инвариантом? 35.3. Пусть ~р —. линейное преобразование линейного пространства Ез. Обозначим через А = ~) а'. ~~ его матрицу в произвольном базисе и сопоставим этому базису число: 1) г1еФА; 2) совс1е1А; 3) В6А; 4) пес 4тА' 5) аг г+ аг. 6) агг + аг + пз В каких случаях этим определен инвариант? 35.4.

Пусть Ь билинейная функция, В = (~ Ь;з )~ ее матрица в произвсльном базисе пространства Ев. Сопоставила этому базису число: 1) г1елВ; 2) бп+...+5~, :3) бп; 4) с1еФВТВ; 5) В6В; 6) в16пг1сФВ. Как изменяется каждая из этих величин при замене базиса? В каких случаях она определяет инвариант? 35.5. Пусть 1 — линейная функция на линейном пространстве й„и (ап ..., а„) — — строка ее коэффициентов в произвольном базисе. Сопоставим этому базису: 1) число а1 +... + а„; ~ Яб. Определение тепзора. Тензорнне обозначения 329 2) упорядоченный набор чисел ам ..., а„. Как изменяются данные величины при замене базиса? Какие из них являются тензорами? Инвариантами? 35.6.

1) Какого типа тензор в Е„определяет билинейная функция'? Как найти компоненты этого тензора? 2) Какого типа тензор в Е„определяет квадратичная функция? Как найти компоненты этого тензора? 35.7. Линейные функции Г, 8 имеют в базисе е пространства Еп коэффициенты ам ..., а„и Ьы ..., Ь„соответственно. Показать, что функции; 1) 1'; 2) 18 определяют тензоры в,С„, указать их типы и выписать для каждого компоненты в базисе е.

35.8. Линейныс функции Г, 8 имеют в базисе е пространства Е„коэффициенты ам ..., а„и Ьы ..., Ь„соответственно. Сопоставим каждой паре векторов х, у из Еп число: 1) Г (х) и (у); 2) Г (х) Г (у). Показать, что каждая из полученных функций определяет тензор в Еп, указать его тип и выписать компоненты в базисе е. 35.9. Каждой паре векторов х, у линейного пространства Сп (и > 3) сопоставлено число 1 (х, у), опредсляемое через компоненты ~з, ..., ~п и з1з, ..., з1п этих векторов, заданные в базисе е, одной из следующих формул: п 1) Г(х, у) = ~1з1з; 2) Г(х, у) = ~ ~'з1' Указать тип соответствующего тензора и выписать его компоненты в базисе е.

35.10. Функция 1: Еп — > зг (п > 2) определяется через компоненты (', ..., сп вектора х, заданные в базисе е, одной из формул: 1) ~ (х) = (' + ~', 2) ~ (х) = ((')' + 2р'ра; 3) ~ (х) = (б1 + ... + ~")', 4) ~ (х) = ~„ -(~*)'. 1 Указать тип соответствующего тензора и выписать его компоненты в базисе е. 35.11. Пусть Е„* — пространство всех линейных функций, определенных на линейном пространстве Е„, а р; Е*„— + 2 линейная функция на Е„*.

Показать, что ез определяет тензор типа (1, О) на Е„. 330 Гл. Ц. Таизорм 35.12. Даны тензоры а,, а', ~', и', 6;. Величины с, д, д, 6 определены в каждом базисе формулами: 1) с = а,.Г'О~; 2) д = ся ~'~~; 3) д = а'6;(з; 4) 6 = 6;~', Опираясь на закон преобразования компонент данных тензоров, показать непосредственно, что эти величины являются инвариантами. 35.13. Даны тензоры а', ~', 6,. Величины с', 4 определены в каждом базисе формулами с' = а'.(~ и д, = а~6. соответственно. Опираясь на закон преобразования компонент данных тензоров,показать,что с' есть вектор, а И; .

ковектор. 35.14. Тензор типа (1, 1) имеет в некотором базисе компоненты (1, если г =д; ~0, если г ~?1 Изменяются ли его компоненты при переходе к другому базису? Какой геометрический смысл имеет этот тензор? 35.15. Тензор типа (О, 2) имеет в некотором базисе компоненты ~ 1, если г = д; А,= ) О, если г ф~. Как изменятся его компоненты при переходе к другому базису'? Какая билинейная функция соответствует этому тензору? 35.16.

Тензор типа (1, 0) имеет в некотором базисе компоненты 1 , если г =?о, О, если г ф ге (ге фиксированное целое число, 1 < ге < и'). Найти компоненты данного тензора в базисе е' = еЯ. 35.17. Тензор типа 10, 1) имеет в некотором базисе компоненты 1 , если 1 = ге; О, если ю' Ф 1о (1е фиксированное целое число, 1 < ге < п). Найти компоненты этого тензора в базисе е' = еЯ. 5 55. Определение тензора.

?ензорггые обозначеггия 331 35.18. Каждому базису пространства ь„(п > 2) сопоставлены числа если г = й ф у = 1; если г = 1 ~ з = Й; 1, — 1 0 б„'з = в остальных случаях. Будет ли такое соответствие тензором? Сколько нулевых компонент у этого тензора при и = 3? 35.19. Тензор д типа (Ог 2)имеет в некотором базисе е линейного пространства Е„г',п > 2) компоненты дм = б~~~' (ге, 1Е фиксированные целые числа, 1 < ге < п, 1 < зе < п, символ Яз' определен в задаче 35.18). 1) Выписать явно все компоненты тензора 0 в базисе е при п = 3.

2) Найти компоненты тензора О в базисе е' = еЯ. 35.20. Каждому базису пространства Е„(п > 1: > 1) сопоставлены числа: 1, если (гы ..., ?ь) четная перестановка попарно различных чисел ~м ..., ?ь; — 1, если ~г» ..., гь) нечетная перестановка бгг ...ге зг- зг попарно различных чисел гг, ..., уь; 0 в остальных случаях. Будет ли такое соответствие тензором? 35.21. 1) Тензор типа (О, п) имеет в некотором базисе компоненты ( — 1) Ог "'"г, если все числа гм ..., еь различны; Егг ...г„— 0 г в остальных случаях 1ггг (гг ... г„) - чисто нарушений порядка в перостановке (гз, ..., 1„)). Вычислить компоненты данного тензора в базисе е' = еЯ. 2) Каждому базису пространства Ео сопоставлены числа е;г,„.

Будет ли это соответствие тензором типа (О, и)? 35.22. В четырехмерном пространстве дан трехвалентный тензор. Сколько компонент он имеет? Сколько слагаемых входит в выражение новой компоненты через старую при записи закона преобразования компонент? Сколько сомножителей будет в каждом слагаемом? 332 ?ли Ц.

Телоорлл 35.23. В пространстве Е2 дан тензор типа: 1) (1, 1); 2) (2, 0), 3) (1, 2). В развернутой форме, не используя сокращенных обозначений суммирования, написать закон преобразования его компонент. 35.24. В двумерном пространстве задан тензор типа (р, д). Упорядочим его компоненты так, чтобы онлл составили столбец а высоты 2гл о. Записать закон преобразования компонент тензора в видо а = $"а, где л' квадратная матрица порядка 2""' и: 1)р=1, о=1; 2)р=2, у=О; 3)р=1, ц=2.

35.25. Записать в матричной форме закон преобразования компонент тензоров типа: 1) (О, 2); 2) (1, 1); 3) (2, 0). 35.26. Компоненты двухвалентного тензора типа (р, д) образуют в произвольном базисе е линейного пространства Е.„ матрицу А,. Сопоставим базису е матрицу А, л. Доказать, что зто соответствие определяет тензор,и указать его тип, если: 1)р=О, л?=2; 2) р = 1, д = 1 (объяснллть геометрический смысл полученного тензора); 3)р=2, у=О. 35.27. Тензоры каких типов имеют двумерные матрицы компонент? Трехмерные'? Четырехмерные? й-ьлерные ьлатрицы компонент? 35.28.

Трехмерная матрица ~~а, ь~~ второго порядка имеет сеченлле й = 1, состоящее из единиц, а сечение й = 2 из нулей. Выписать а,.ь для всевозможных значений индексов. 35.29. Трехмерная матрллца ~~ал.ь~~ третьего порядка имеет сечения й = 1 и?л = 2, состоящие из единиц, а сечение й = 3— из нулей. Выписать двумерные сечения данной матрицы, соответствующие г = 1, г = 2, л = 3. 35.30.

1) Сколько различных двумерных сечений имеет трехмерная матрица третьего порядка? Какой порядок имеет каждое сечение? 2) Сколько двумерных сечений имеет четырехмерная матрица второго порядка? 3) Сколько двумерных сечений имеет четырехмерная матрица третьего порядка? ~ Зб. Определение теггзора. Тгнзоргггзе обозначения 333 35.31.

Числа 6'„з~ образуют четырехмерную матрицу второго порядка. 1) Выписать все ее двумерные сечения, соответствующие фиксированным нижним индексам. 2) Найти связь между сечениями матрицы ))бьз ~~ и матрицей ))дм() (символы Я, Оги определены в задачах 35.18, 35.19 соответственно). 35.32.

1) Даны базис е и (р+ Ч)-мерная матрица А. Доказать, что существует тснзор типа (р, д)г имеклций в базисе е матрицу А. 2) Доказать, что существует тензор любого наперед заданного типа. 35.33. Пусть à — — вещественная функция от трех аргументов х Е Е„, у Е Е„, з Е Е„, линейная по каждому из этих аргументов при фиксированных остальных. 1) Выразить значение данной функции через компоненты векторов х, у, з. 2) Показать, что совокупность коэффициентов полученной формы представляет собой тензор типа (О, 3). 3) Выразить компоненты этого тензора через значения 1 на базисных векторах. 35.34. Линейные функции Г, 8, Ь на Ез имеют в базисе е коэффициенты ехм езз, еез, Д, ~дв, (дз; 'у~г 'уа, 'уз соответственно. Сопоставим тройке векторов х, у, з из Ез число: 1) Г(х)я(у)Ь(з); 2) Г(х)г" (у)Г(з); 3) Г (х)г (у) Г (з) + 8 (х) 8 (у)8 (з) + Ь (х)Ь (у)Ь (з).

Характеристики

Список файлов решённой задачи