1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Показать, что каждая из построенных функций определяет тензор в Ез, указать его тип и выписать матрипу в базисе е. 35.35. Каждой тройке векторов пространства Ез сопоставлено число Е (х, у, з), определяемое через компоненты этих векторов в некотором базисе - с', с', ~~:, з1, г1, 0; ч, ч, ч' одной из следующих формул: Ц 1(х, у, ) = ~'у'~3 + ~'у'~', 3 2) Г(х, у, з) = 2 ~'г1'~'. г=.з Указать тип соответствующего тензора и выписать его матрицу. 35.36. Пусть Б — — линейное пространство билинейных функций на Е„, а ез: ń— з В линейное отображение. Показать, что гр определяет тензор типа (О, 3) в пространстве Е„.
Гл. Ц. Тевооры 35.37. Тензор типа (р, д) в базисе ез, ез, ез пространства е.з задан матрицсй А. Найти его матрицу в базисе е~н ез, е!з, если: / / / 1) р = 2, ц = 1, А = Атзе е~ —— ез, ез — — ез, ез — — ез: 1 / / 2) р=2, у=1, А=Атзт, ез — — — ез, ез — — — ез, ез — — — ез, 3) р = О, д = 3, А = Атзз, е~ — — 2ем е~з — — — ез, ез — — Зез. 35.38. Определить, как изменяются компоненты тензора типа (1, 2), заданного в пространстве С„, при произвольной перестановке базисных векторов.
35.39. Тензор типа (р, д) в базисе е пространства Ез задан матрицей А. Найти его матрицу в базисе е' = еЯ, если: 1) р=1, у=2, А=Аезз, Я=Аз4; 2) р=О, д=З, А=Аьз4, Я=Аиб 3) р = О, д = 3, А = Аез4, Я = Аз4', 4)р=2, е?=1, А=Аез4, Я=Ась 3 36. Алгебраические операции с тензорами Линейные операции, умножение тензоров (36.1 — 36.20) 36.1. Проверить закон преобразования компонент суммы тензоров а'„и Ь'ы исходя из закона преобразования компонент слагаемых. 36.2. Как связана сумма линейных преобразований с суммой соответствукзщих тензоров? 36.3. Пусть А, — матрица линейного преобразования ~р. В, матрица билинейной функции Ь в базисе е. Определена ли сумма А, + В,? Будет ли тснзором соответствие, сопоставляющее каждому базису е сумму матриц А, + В,? 36.4. Тензоры а и Ь одного типа имеют в базисе е матрицы компонент А и В.
Найти компоненты тензоров: а) а+ Ь; б) 2а+ ЗЬ; в) Ь вЂ” 2а в том же базисе, если: 1) А = Авве, В = Авз~, 2) А = Аезм В = Авзз, 3) А = Аезз, В = Аезз, 4) А = Аезз, В = Аезт. 36.5. Заданы матрицы А, В, С, Р из компонент четырех тензоров. Определить, являются ли тензоры линейно зависимыми, если: 1) А = Аевз, В = Аевз, С = Аевз, Р = Аезз 2) А = Аезо, В = Азы, С = Аезз, Р = Аезз' 3) А = Аеез, В = Аезз, С = Аезо, Р = Аезз. 36.6. 1) Какова размерность линейного пространства Е тензоров типа (р, д) в двумерном пространстве? в' об.
Алгебраические операции с теизорами 335 2) Указать какой-нибудь базис в С. 3) Указать еще один базис в Е. 36.7. Базису е двумерного линейного пространства соот- ветствует базис е* в пространстве тензоров типа: 1) (О, 1); 2) (1, 1): 3) (р) (О, 2); 4) (1, 2).
Базис е* состоит из тснзоров, имеющих в базисе е одну ком- поненту, равную 1, а остальные . равные О. Как преобразует- ся базис е', если базис е преобразуется матрицей перехода Я? 36.8. Проверить закон преобразования компонент тензо- ра а З 6, исходя из законов преобразования компонент сомно- жителей а'„, Ь',. 36.9. Найти тип и матрицу тснзора а З 6, если: тип а матрица а тип 6 матрица 6 1) (1, 0), сдз, (1, .0), сзд; 2) (1, 0), сдз, (О, 1), сг; 3) (1, 0), сд, (1, О), сзд, 4) (О, '1), 'ст,",, (0~ 1)~ 5) (О, 2), Адт, (О, 1), ст; 6) (О, 1), ст, (О, 2), Ад„ 7) (2, 0), А„, (1, 0), св; 8) (1, 1), Адв, (1, 0), св; 9) (1, 0), св (2, 0), Адв, 10) (1, 0), св, (1, 1), А„; 11) (О, 3), Авве, (О, 1), с~т,; 12) (О, 1), ст (О., 3), Авве; 13) (1, .2), Авы, (О, 1), свт; 14) (О, 1), св, (1, 2), Авы,' 15) (О, 2), Адг, (О, 2), Адв, 16) (О, .2), Адв, (О, 2), Аы; 17) (1, .1), Адз, (1, 1), Апб 18) (2,.
0), А (1, 1), Аду. 36.10. Записать матрицу из компонент тонзора: 1) адЬ', 2) а;6;; 3) адЬ; 4) а,Ьг как кронекеровское произведение матриц из компонент этих тензоров. 36.11. Пусть а, Ь вЂ” двухвалентные тензоры с матрица- ми А, В. Какого типа должны быть эти тензоры, чтобы матри- ца их тензорного произведения была (правым) кронекеровским произведением: 1) АЗ В; 2) ВЗА? Гл. Ц.
Тевооры 36.12. Линейные функции 1 и я заданы в базисе е коорди- натными строками ое и р. Найти матрицу тензора: 1) 1 З я; 2) 8 З Е Какой геометрический смысл имеют эти тензоры? 36.13. Линейная функция 1 задана в базисе е координат- ной строкой ое, вектор у -- столбцом ц. Найти матрицу тензора т ® у. Какой геометрический смысл имеет этот тензор? 36.14. 1) Пусть х вектор, 1 ковектор. Доказать, что 1®х = х З1. 2) Привести пример тензоров а и Ь, для которых а З Ь ~ о= 5 За.
36.15. Пусть ты хз, хз — векторы, а еы 10, Гз ковекторы. Какие из приведенных ниже выражений имеют смысл? Если данное выражение есть тензор, указать его тип: 1) х7 З хз+ хз З хз; 2) х7 З хз З хз+ хз З хз; 3) хе З 77 — 21'7 З х7, .4) х1 З 10 + 17 З 17; 5) х7 З 17+ хз З10 6) 1~ Зх7 Зхз+хз Зхз З17, 7) х7 ® хз + хз З хз — х7 З хП 8) 17 З10 — 3(1з З1з). 36.16. Найти компоненты тснзоров 1), 3), 5), 7), 8) задачи 36.15, если векторы хы хз, хз и ковекторы 10 10, 1з заданы с помоп1ью столбцов и стРок соответственно: сзо, с7з, схь сз, т т т с 10 с 2 2 36.17. 1) Пусть а = х Зу, а векторы х и у имеют в базисе е компоненты 1, О, 0 и О, 1, 0 соответственно. Найти компоненты тензора а в базисе е и в базисе е' = е5', где Я = А007.
2) Пусть а = 1 З я, а ковекторы 1и я имеют в базисе е коор- динатные строки (1, О, 0) и (О, 1, 0) соответственно. Найти ком- поненты тензора а в базисе е и в базисе е' = еЯ, где Я = А007. 3) Пусть а = х З 1, а вектор х и ковектор 1 имеют в базисе е компоненты 1, О, 0 и О, 1, 0 соответственно. Найти компоненты тснзора а в базисе е и в базисе е' = еЯ, где о = А707. Сравнить результаты задач 1), 2), 3). 36.18. Разложить тензор в произведение одновалентных тензоров, если он имеет: 1) тип (2, 0) и матрипу Аз.', 2) тип (2, 1) и матрипу А07з.
36.19. 1) Пусть а — тензор типа (1, 1) и матрица его ком- понент имеет ранг г. Доказать, что найдутся г линейно незави- симых векторов ам..., а„и г линейно независимых ковекторов ~ аб. Алгебраические операции с тенаорами 337 Г1, ...,Г, таких, чтоа= ~ и ЗГ". а=1 2) Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для тензоров типа (2, 0).
36.20. 1) Пусть тензор а типа (О, 2) имеет в некотором базисе матрицу ранга г. Доказать, что существуют г линейно независимых ковекторов 11,..., 1, и г линейно независимых ковекторов 31, ..., К, таких, что и, = > 1а З яа. а=1 2) Представить билинейную функцию 3~101 + 2~1112 + + ЗС 1?~ + 2С~1?~ как произведение линейных. Единственно ли такое представление? 3) Билинейная функция Г в некотором базисе линейного пространства задана матрицей А4з4. Представить ее как сумму двух произведений пар линейных функций; 1(т, у) = = Г1 (Х) Я1 (У) + Г2 (Х) Яо (У).
ЕДИНСТВЕННО ЛИ ЭтО ПРЕДСтаВЛЕНИЕ? Свертывание (36.21 — 36.29) 36.21. Исходя из законов преобразования тензоров а'ы а', о'з а,, огг, а~~~~, С~, ПрОВЕрИтЬ ЗаКОН ПрЕОбраЗОВаНИя КОМПОНЕНТ сверток; 1) и',; 2) агУ,; 3) а,Ь1; 4) а'~ 36.22. Исходя из геометрического смысла тензоров а;, ~', а', б;., объяснить геометрический смысл сверток: 1) агс,', 2) а'~1; 3) ЬцС'с,г. 36.23. Можно ли свернуть: 1) вектор и ковектор? 2) вектор и вектор? 3) пару ковекторов? 36.24.
Записать произведение линейных преобразований в тензорных обозначениях. 36.25. Тензоры а'., С', гее заданы матрицами: А2зз, с1о4, сю4 ° Вы !полить свертки ° Т 1) а'~г; 2) а'зе,; 3) аггее. 36.26. Сколько различных тензоров можно образовать при помощи свертывания из данного тензора типа (2, 2)? 36.27. Тензор а'„~ задан матрицей: 1) Авзг', 2) Авзз. Найти матрицы сверток: а) а'Р; б) а',~. 338 Гл. Ц. Тензоры 36.28. Тензор аьг~ задан матрицей: 1) Аелз, 2) Аезз; 3) Аавл.
Вычислить свертки: а) а',.г; б) а'„г; в) а'„г,.; г) а,'~:, д) а,'.г.; е) а", 36.29. 1) Каждому базису пространства Е„сопоставлен упорядоченный набор чисел а',г~ (все индексы пробегают значения от 1 до и). Известно, что для произвольного вектора с~ числа а'„г, ~ь являются компонентами тензора типа (2, 2). Доказать, что а,'ьг -- тензор типа (2, 3). 2) Каждому базису пространства Е„сопоставлен упорядоченный набор чисел а'~ (все индексы пробегают значения от 1 до п). Известно, что для произвольного тензора и, типа (1, 2) ь числа аьгг и~. ЯвлЯютсЯ компонентами тензоРа типа (О, 2). Доказать, что аьг~ тензор типа (2, 3). Транспонирование, симметрирование, альтернирование.
Симметричные и антисимметричные тензоры (36.30 — 36.57). 36.30. Можно ли транспонировать тензор: 1) типа (1, 1); 2) типа (2, 0)? 36.31. Один тензор типа (О, 2) получается из другого транспонированием. Как связаны соответствующие билинейные функции? 36.32. Тензоры 1) снг; 2) а'г; 3) а~г: 4) а'ь заданы соответственно матрицами Ань Ань Аате, Аете. Найти матрицы транспонированных тензоров. 36.33. 1) Сколько различных тснзоров могкно получить с помощью операции транспонирования из данного тензора г ач" н.
2) Тензор типа (О, 3) задан матрицей Авте. Выписать матрицы всех тензоров, получаемых из него транспонированием. Изменится ли ответ, если данный тензор имеет тип (3, 0)? 3) Тензор а с компонентами а; ь задан матрицей Атзт. Выписать матрицы транспонированных тензоров е и с, если Ь; ь = = а ьь с, ь = а,ь . 4) Тензор а с компонентами си Ги задан матрицей Ант. Выписать матрицы транспонированных тензоров 6 и с, если Бц~~ = иь и, с, и = агь ' т" Зб. Алгебраические операции с теиаорами 339 36.34. Пусть а„Ь тензоры типа (1, 1). Выразить тензор с= ЬЗа через 4= а®Ь.
36.35. Не используя сокращенных обозначений, выпишите все компоненты тензоров, заданных в пространстве Ез: 1) х'у~; 2) хйу"); 3) хйу"); 4) х'а ь, 5) х'а,ь, 6) х"а,'; 7) х~"а,'~; 8) х~"а,'1; 36.36. Тензор аб задан матрицей: 1) А1о, '2) Атт; 3) Аз4, 4) Аззз. Найти компоненты тензоров: а) арт>; б) а~'т~. 36.37. Тензор аь.ь задан матрицей: 1) Аозо', 2) -Аоы; 3) Атзю. Найти компоненты тензоРов: а) аб ~ь, б) а;т ь~, в) а~,6 ь~, г) ар.ьр 36.38.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
