1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Я~А = Е, откуда Яь ... Я~ = А ~, А = = В~ ... о' . Матрицы В, ..., Яг, так же как и Яы ..., Я.„., элементарные; они получаются из единичной матрицы «обратными» элементарными преобразованиями строк. 15.51. 1) Общие соображения: в силу решения задачи 15.50, А = Я ' ... Я„', где матрицы Я,, ..., Яь соответствуют элементарным преобразованиям строк матрицы А, переводящим ее в единичную матрицу.
Подобрав Ям ..., Вь, затем находим Я,, ..., Я вЂ” 1 -1 На данном примере ниже показано, что процесс можно сократить 1 1 на один шаг. Упрощаем матрицу А = . Умножим вторую строку на — 1/2. Это равносильно умножению А слева на матрицу 1 0 .Получим 1 0 1 1 1 1 0 — 1/2 0 — 2 01 (14) 1 0 1 0 Матрица В элементаРная. Вычисляем 0 1 ~2 — — 0 2 — — Я. Умножая обе части равенства (14) на Я слева, получим искомое раз- 1 1 1 0 1 1 ложение = ЯВ = 15.73. Диагональная матрица «йай(1, 2, ..., и) невырождена.
Используя эту матрипу, мы можем применить результат задачи 1о«.б9, откуда следует диагональность данной матрицы А. Остается доказать равенство всех диагональных элементов А. Если А— л, о матрица второго порядка; А = О,, то умножим ее слева и Лз ~О -1 справа на матрипу Я = . Приравнивая АЯ и ЯА, убедимся, что Л~ = Лю Аналогичным образом, подбирая В для диагональной матрицы А произвольного порядка, проверим равенство любых двух диагональных элементов А.
15«81. Обратную матрицу ищем методом Гаусса, исходя из матрицы ~ А ~ Е ,,'~ (см. задачу 15.53). Процесс упрощения начинаем с нижней строки. При этом элементы матриц А и Е, расположенные Решения 361 ниже главной диагонали, нс меняются. В итоге из единичной матрицы должна получиться верхняя треугольная. 15.118. Пусть А — данная матрица перестановки. Рассмотрим всевозможные матрицы А '. Это — матрицы перестановок (см. задал чу 15.108). Число различных матриц перестановок одного порядка конечно. Поэтому существуют натуральные числа р, д такие, что р) диАг=Аг;отсюдаАз "=Е. 16.26. 2) Пусть Ь вЂ” отличный от о столбец матрицы А.
Все столбцы А пропорциональны Ь. Ешли а — строка из коэффициентов пропорциональности, то А = Ьа. 16.27. В = А (АВ), С = (СА)А . Применяя теорему об оценке ранга произведения матриц (задача 16.25, 1)), получим неравенства гк В < гя АВ < гк В, гк С < г„СА < гя С, откуда и следуют утверждения. 16.35.
Уравнение АВ = О эквивалентно уравнению (ВАТ)(Т' В) = О, где Я, Т вЂ” любые невырожденные матрицы под- Е„О ,' ходящего порядка. Подберелг Я, Т так, чтобы А' = ЯАТ = где .Е, единичная матрица порядка г = ге А. Обозначим В' = = Т лВ. Легко проверить, что первые г строк произведения А'В' совпадают с первыми г строками матрицы В'. Поэтому равенство А'В' = О возлюжно, лишь если первые г строк матрицы В' нулевые. Следовательно, гбВ' < и — т.
Но ге В' = г8В, г8А' = г8А = г, поэтому г8 А + г8 В = гя А' + г8 В' < и. Другое решение задачи получим, если будем интерпретировать столбцы В как решения системы уравнений Ах = о. Тогда данная задача сводится к оценке максимального числа линейно независнлгых решений этой системы. 18.17. 4) Ранг данной фундаментальной матрицы равен и — г = = 4 — г = 2, так что ранг искомой системы уравнений: г = 2. Будем искать два независимых уравнения вида аз аз + агтг + азхз + азтз = = О. Столбцы данной матрицы илг удовлетворяют: ал + аг + аз + аз = О, ал + 2аг + аз + Зал = О. Столбцы фундаментальной матрицы этой системы уравнений — 1 О ! О 1 — 201 дают коэффициенты искомой системы из двух независимых уравнений: — кз -, 'хз = О, вл — 2тг + яз = О. Ответ нс однозначен.
19.30. Проверим для системы уравнений (АтА) х = АтЬ условия теоремы Фредгольма. Пусть уе — решение сопряженной однородной системы у (А А) = о. Тогда уе (А А) уст = О, откуда т т (уоАг ) (уеАт) = О, что возможно, только если (уеАт) = о. Уллножая последнее равенство на Ь, получим при любом столбце Ь: уе (А Ь) = О, т.е. действительно условия теоремы гРредгольма т Репгения 362 выполнены. Отсюда следует совместность системы уравнений (АтА) х = Ат1г 19.31.
Допустим противное. Тогда система уравнений ~ а ьхь = в=1 = О О = 1,..., и) имеет нетривиальное решение хзы..., хз. Если хо— максимальная по модулю компонента этого решения, то хо ф О, и Х-е уравнение системы дает а + Л„а ь(х"/ф = О, откуда ввиду ьфг ~х~~/х"~ < 1 получаем (а11~ ( 2 , '(а ь~,что противоречит условию.
лгз 19.34. Будем искать прямую Ах+ Вр+ С = О, содержашую три данные точки. Рассматриваем равенства Аал + ВЬг + С = О, Ааг + ВЬг + С = О, Ааз+ ВЬз+ С = О как систему уравнений относительно неизвестных А, В, С с матри- цей коэффициентов ал Ьг 1 ЛХ= аг Ьг 1 аз Ьз 1 Любое нетривиальное решение систегаы удовлетворяет условию А + + В ~ О, так как последний коэффициент в каждом уравнении равен единице. Поэтому нетривиальные решения системы и только они соответствуют прямым, содержащим три данные точки. Условие гй ЛХ = 3 необходимо и достаточно для того, чтобы система уравнений нетривиальных решений не имела, т.
е. оно необходимо и достаточно для того, чтобы три данные точки не лежали на одной прямой. 19.35. 1) Будем искать уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки, в виде Ах + Вр + С = О. Рассмотрим систему уравнений для определения А, В, С: Аал+ ВЬг+ С = О, Ааг + ВЬг + С = О.
аг Ьл 1 Ее матрица есть Ь 1 — — ЛХ. Каждое нетривиальное решение аг Ьг 1 системы удовлетворяет условию Аг + Вг ф О, так как последний коэффициент в каждом уравнении равен единице. Поэтому нетривиальные решения системы и только они соответствуют прямым, содержащим две данные точки. Если точки (аы Ьл) и (аг, Ьг) различны, то гй ЛХ = 2 и система уравнений имеет одно линейно независимое решение, т. е. существует единственная прямая, содержащая данные точки. Реигения 363 2) Для того чтобы три точки с координатами (л, у), (аы Ьг), (аг, Ьг) лежали на одной прямой, необходимо и достаточно (сьь ре- шение задачи 19.34) условие л у 1~ а1 Ьг 1'=О. агЬг1 Это и есть искомое уравнение.
Заметим, что ешги данные точки раз- личны, то хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от О,т. е.полученное уравнение действительно определяет прямую. 19.42. 1) Будем искать всевозможные плоскости, содержащие три данные точки. Эта задача приводит к системе уравнений Аа1+ВЬг+ Ссг+Р=О, Ааг + ВЬг + Ссг + Р = О, Ааз + ВЬз + Ссз + Р = 0 относительно неизвестных А, В, С, Р. Так как последний коэффици- ент в каждом уравнении равен единице, то каждое нетривиальное ре- шение системы уравнений удовлетворяет условию А + В + С у'. -0 и действительно дает плоскость, содержащую три данные точки. Нас интересует случай, когда фундаментальная система решений содер- жит единственное решение — в этом случае существует единствен- ная плоскость, содержащая данные точки.
Для этого необходимо и достаточно, чтобы ~иг Ьг сг 1 гб ~пг Ьг сг 1 ~'=3, ~ аз Ьз сз 1 ~ 20.21. Пространство нечетных многочленов степени не выше 5 имеет размерность 3; представим данные многочлены их координатными столбцами в базисе 1, Зз, зз. Приведем соответствующую расширенную матрицу к треугольному виду: 20>5~1 — 102 0 1 1 — 1( 0 1 1 — 1 1 — 1 0 2) 0 0 1 — 3 Теперь ясно, что многочлены 21+ 8з, зз — зз, 1+ Зз образуют базис в пространстве нечетных многочленов степени но выше 5.
Продолжаем элементарные преобразования расширенной матрицы: 100 4 1010 2 ~001 — 3 Многочлен 51 — Зз + 21з имеет в базисе 21+ зз, зз — зз, З + зз координатный столбец (4, 2, — 3)т. 20.26. Пространство кососимметрических матриц порядка 3 имеет размерность 3; базис образуют матрицы Решения ОО1 ~О ОО О О О, ~О О1 — 100~ ~Π— 1О О1Π— 1ОО ооо Искомая связь координат имеет вид: 5т = 9ст + 40сз + 95з,.
сз = 36 111з 21з»гз = 86 + 37»гз + 8»гз 21.7. 4) Составим системы уравнений, определяющие данные подпространства Р и м. Имеем (см.введение к гл. 8): Ь'101хт 10 1 хт ~! 2 1 1 хз 0 1 — 1 хз — 2хт ~; 3 1 2 хз 0 0 0 хз — хз — хт 1~415 хт 10 2 хз ~ 3 1 3 хз 0 1 — 3 хз — Зхз ~~ 1 0 2 хз 0 0 0 хт — хз — хз первое подпространство задается одним уравнением хз — хз — хт = О, второе — одним уравнением хт — хз — хз = О. При этом »ты замечаем также, что ейтпР = «1ттп м = 2.
Базис в Р образуют, например, век- торы ат и аз, базис в м образуют, например, векторы Ьт и Ьз. Найдем размерность и базис суммы Р + м. Имеем 1041~ 1О41, 2131~ 0111 3110~ ООЗ1, «1пп(Р+ ф = 3, т. е. сумма Р+ Д совпадает со всем трехмерным пространством; базис суммы образуют, например, векторы ат, аз, Ьт.
0 а Ь Матрица — а 0 с имеет в этом базисе координатный столбец — Ь вЂ” с 0 131 (а, Ь, с)т. Так как 1 5 0 = 13 ~ О, то вторая система является — 123 базисом. То, что первая система является базисом, можно специально не проверять — этот факт обнаружится в ходе дальнейптих вычислений. Матрица перехода о' ищется из уравнения С = Ео', т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
