Феодосьев В.И (823545), страница 65
Текст из файла (страница 65)
13.4).Рис. 13.3Рис. 13.4Подобных примеров можно привести очень много. Обобщая сказанное, следует отметить, что наиболее ярко явлениепотери устойчивости проявляется в легких тонкостенных конструкциях: в сжатых стержнях, оболочках и тонких стенках.Поэтому при проектировании подобных конструкций одновременно с расчетом на прочность проводят и расчет на устойчивость как отдельных узлов, так и системы в целом.Одной из мер повышения запаса устойчивости системыявляется увеличение ее жесткости. Так, в практике самолетостроения тонкостенные перегородки подкрепляют специальными профилями.
Такая подкрепленная стенка имеет высокуюстепень устойчивости при сравнительно малом весе.Для анализа устойчивости необходимо выбрать расчетную схему и соответствующую ей математическую модель.507Основной, ставшей уже классической, является следующая.Система предполагается идеальной, т.е.
если речь идет о сжатом стержне, ось его строго прямолинейна, силы приложеныцентрально. Если рассматривают цилиндрическую оболочку,то также считают, что она имеет совершенную форму и нагрузка не отступает от предписанных законов распределения.Идеальной системе сообщают отклонение от положенияравновесия. При этом рассматривают отклонения, которые нетолько являются малыми, но и могут быть меньше любой наперед заданной малой величины. Если после устранения причин,вызвавших отклонение, система возвращается в исходное состояние равновесия, то последнее считается устойчивым, еслиже нет, то положение равновесия считается неустойчивым. Силы инерции, возникающие при деформациях системы не учитывают.Такая расчетная схема позволяет рассчитывать системуна устойчивость и определять условия перехода от устойчивого состояния к неустойчивому.
Параметры, характеризующие такой переход, называются критическими. В частности,обобщенная сила, превышение которой приводит к переходу отустойчивого равновесия к неустойчивому, называется критической силой.При расчете на устойчивость рабочую нагрузку назначают как n-ю долю критической. При этом под п понимают коэффициент запаса устойчивости, значение которого, как ипри расчетах на прочность, назначают в зависимости от конкретных обстоятельств, связанных со спецификой технологии,с условиями эксплуатации, а также со степенью ответственности конструкции.
Естественно, что расчет на устойчивость покоэффициенту запаса не исключает, а даже предполагает необходимость одновременной проверки конструкции по условиямпрочности.13.2. Определение критических нагрузокЧтобы более наглядно показать особенности подхода, который обычно используют при анализе устойчивости упругихсистем, рассмотрим для начала простейшую механическую модель.508На конце жесткого стержня (перевернутого маятника, показанного на рис. 13.5) укреплен груз Р. Внизу стерженьимеет шарнир и удерживается ввертикальном положении упругойпружиной, имеющей линейную характеристику. Это значит, чтопри повороте стержня на уголв шарнире возникает момент, равный сер, где с - жесткость пружины.Эта модель, обладая предельной простотой, сохраняет в себевсе основные свойства, характерные для более сложных задач, коРис. 13.5торые будут рассмотрены в дальнейшем.Можно предположить, что при достаточно большой силеР или достаточно большой высоте расположения груза положение равновесия обращенного маятника станет неустойчивым;при малом отклонении стержня от вертикали пружина не сможет восстановить исходное состояние равновесия.В основе анализа устойчивости упругих систем лежитопределение условий существования соседних форм равновесия.
Сообщим системе возмущение, т.е. примем, что маятникотклонился от вертикали на некоторый угол <р (рис. 13.5,5).По какой причине это произошло, не имеет никакого значения.Приравняв момент силы Р шарнирному моменту, получимР/sin (^ = суэ.(13.1)Построим график зависимости Pl/c — f(<p) (рис. 13.6).Прежде всего мы видим, что при = 0 уравнение (13.1) справедливо при любых значениях силы Р. Значит, ось ординатпринадлежит исследуемому графику. Остальные ветви кривойопределяются выражениемР1 ~с sin <р ’509которое будет верным, пока пружина сохраняет линейностьхарактеристики. При значениях <^, кратных тг, график терпит разрыв, и происходит смена знака Р через бесконечность.Оно и понятно.
Когда угол поворота маятника приближается к 7г плечо силы уменьшается до нуля, а сама сила должнанеограниченно возрастать (рис. 13.7). Если маятник протолкнуть через мертвую точку, то для того чтобы удержать его вновом положении равновесия, следует приложить силу обратного знака.ИРис. 13.7Теперь обратимся к вопросу, какие точки на построечныхкривых отражают устойчивые и какие - неустойчивые положения равновесия.Основным критерием устойчивости, как известно из механики твердого тела, является условие минимума полной потенциальной энергии системы. Например, для шарика, лежащегона дне лунки и занимающего устойчивое положение равновесия, потенциальная энергия будет наименьшей по сравнениюсо всеми соседними положениями. Если шарик расположен на510вершине выпуклости или на седловине (рис.
13.8), его положение равновесия будет неустойчивым. Этот критерий применим, естественно, и к упругим системам, - конечно, с учетомпотенциальной энергии деформации.Рис. 13.8В нашем случае полная потенциальная энергия системы Эсостоит из двух слагаемых: из потенциальной энергии грузаPl(l — cos(см. рис. 13.5) и потенциальной энергии деформации пружины -1 с<р 2 .
гг.Таким образом,Э = - cip% — Р/(1 — cos <^).Дифференцируя это выражение пополучимd3— = wp — Pl sindtpЕсли приравнять производную нулю, то мы придем куравнению равновесия (13.1), на основе которого построеныкривые, показанные на рис. 13.6. Значит, положение равновесия определяется экстремумом потенциальной энергии. Остается только решить, какие точки на построенных кривых соответствуют максимуму, а какие - минимуму потенциальнойэнергии.После второго дифференцирования получаем условие минимума (условие устойчивости) в виде следующего неравенства:с - Pl cos^ > 0.(13.2)(<рСначала рассмотрим вертикальное положение маятника= 0). Условие устойчивости выполняется при Р < с/1.
При511силе, большей c/Z, вертикальное положение маятника оказывается неустойчивым. Таким образом, все точки оси ординат,расположенные ниже точки бифуркации А, отражают устойчивое положение равновесия, а выше - неустойчивое.При <£0 0 условие устойчивости (13.2) удобно преобразовать с учетом уравнения равновесия (13.1).
Исключив силу Р,получимsin <£--------- > COS (£.Легко установить, что на участке от -тг до +тг это условиевыполняется. Следовательно, ветвь кривой ВАС, расположенная внутри этого интервала, отражает устойчивые положенияравновесия, и по достижении силой критического значения происходит переход из неустойчивого вертикального положения кновому, устойчивому положению с отклоненной от вертикалиосью. Другие ветви, показанные на рис. 13.6, в свою очередьтакже имеют участки как устойчивого, так и неустойчивогоположения равновесия.Вернемся к уравнению (13.1). Если угол <£ считать малым, то sin<£ » <£, и тогда мы приходим к линеаризованномууравнению(PZ —с)<£ = 0.(13.3)Очевидно, это уравнение всегда имеет тривиальное решение<£ — 0, означающее, что при вертикальном положении маятника условие равновесия выполняется при любом значении Р.Имеется и второе решение: если <£ 0 0, то Р = с/1.
Следовательно, линеаризованное уравнение (13.3) дает ту же самую точку бифуркации А, которую мы нашли из нелинейногоуравнения (13.1). Но важно подчеркнуть, что линеаризованное уравнение не содержит никакой информации о конечныхперемещениях системы при Р > Ркр.Если задачу решать в малых перемещениях, а это, какмы увидим в дальнейшем, существенно упрощает дело, то мыможем определить критическую силу, но не сами величиныперемещения.Для исследования закритического поведения системы необходимо применять нелинейные соотношения.51213.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
