Феодосьев В.И (823545), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Задача ЭйлераТеперь мы можем перейти непосредственно к некоторымзадачам об устойчивости упругих систем. Начнем с простейшей задачи о равновесии прямолинейного стержня, сжатогосилой Р, линия действия которой совпадает с осевой линиейстержня (рис. 13.9, а). Впервые эта задача была поставленаи решена великим математиком Л. Эйлером в середине XVIIIвека. Поэтому часто, когда говорят об устойчивости сжатого стержня, употребляют выражения: “задача Эйлера” или“устойчивость стержня по Эйлеру”.Рис. 13.0Положим, что по какой-то причине сжатый стержень несколько изогнулся. Рассмотрим условия, при которых возможно равновесие стержня с изогнутой осью.
На рис. 13.9, б показана часть стержня и действующие на нее силы. Отсеченнаячасть стержня находится в равновесии, поэтому сумма моментов относительно точки О равна нулю:М + Ру = 0,(13.4)Е Jy" + Ру = Ь.(13.5)илиИзгиб стержня при потери устойчивости происходит в плоскости минимальной жесткости, и поэтому под J здесь следуетпонимать минимальный момент инерции сечения.Обозначим•А = к2.(13.6)17 В. И. Феодосьев513Тогда уравнение (13.5) примет вид/+=(13.7)откудау = С\ sin kz + С2 cos kz.(13.8)Постоянные C\ и C% находим из граничных условий (z = Ои z = /). В рассматриваемом случае имеем при 2 = 0 у = 0;при z = I у = 0.В результате получаем систему однородных алгебраическихуравненийС1 • 0 + С2 • 1 = 0;Ci sin А/ + С2 cos kl.Как известно из линейной алгебры, чтобы система однородныхлинейных уравнений имела нетривиальное решение, необходимо, чтобы ее определитель был равен нулю, т.е.10sin kl cos klРаскрывая определитель, находимD = det'sin kl = 0.= 0.(13.9)В данном простом примере уравнение (13.9) можно получить и без выписывания определителя.
Из условия при z = 0у = 0 следует, что С% = 0; а из условия при z = I у = 0 получаем Ci sin kl = 0. Произвольная постоянная Ci0. ПриCi = С2 = 0 получаем тривиальное у = 0, которое нас неинтересует, так как при новой форме равновесия стержня егоосевая линия не прямолинейна. Поэтому sin kl = 0.
Но в болеесложных задачах, требующих использования вычислительнойтехники, для определения критических сил определитель необходим.Из уравнения (13.9) следует, что kl = тгп, где п - произвольное целое число. Учитывая выражение (13.6), получаемР = ir2n2EJ/l2. Это означает, что для того чтобы стерженьсохранял криволинейную форму, необходимо, чтобы сила Р514принимала определенное значение.
Наименьшая сила Р, отличная от нуля, будет при п = 1:(13.10)Эта сила носит название эйлеровой или критической силы.При п = 1 имеем kl = тг, и уравнение упругой линии (13.8)принимает виду = Cl sm —.Стержень изгибается по полуволне синусоиды с максимальным прогибом СрПри любом целочисленном значении пу = Ci sm -т—,и упругая линия стержня изображается кривой в виде п полуволн (рис.
13.10).Линеаризованное уравнение (13.5), как и уравнение (13.2),является приближенным и верно лишь при сколь угодно малыхпрогибах. С его помощью мы определили Ркр и форму изогнутой оси стержня при потере устойчивости. Но при этом константа Ci в выражении для упругой линии осталась неопределенной. Перемещения найдены, как говорят, с точностью допостоянного множителя.Для описания закритического поведения стержня прибольших прогибах следует использовать полное нелинейноеуравнение равновесия.
Поскольку при больших прогибах М =— EJ/р, где р - радиус кривизны изогнутой оси стержня, тоиз уравнения (13.4) находимEJy"(1+’ ■ °'17*516При силе Р, большей критической, перемещения столь велики, что пренебрегать величиной у в знаменателе нельзя.Наконец, из рассмотренного примера видно, что у сжатогостержня существуют высшие формы равновесия (п = 2, 3,...),которым соответствуют и большие значения сил. Эти формыв чистом виде не реализуются. Они неустойчивы. Но еслистержень снабдить промежуточными равноотстоящими однаот другой опорами, то соответственно числу пролетов п можноопределить и критическую силу.13.4.
Зависимость критической силыот условий закрепления стержняВ пределах малых перемещений для стержня, шарнирнозакрепленного по концам, изгиб при потере устойчивости происходит по полуволне синусоиды, и критическая сила_n2EJ- р ■Используя особенности упругой линии, мы можем довольно просто распространить полученное решение и на другиеслучаи закрепления стержня. Так, если стержень на одномконце жестко защемлен, а на другом - свободен (рис.
13.11),то упругую линию стержня путем зеркального отображенияотносительно заделки легко привести к упругой линии шарнирно закрепленного стержня. Очевидно, критическая силадля защемленного одним концом стержня длиной I будет равнакритической силе шарнирно закрепленного стержня, имеющего длину 2/. Таким образом, в рассматриваемом случаеРис.
13.11516Рис. 13.12Шарнирно закрепленный стержень, имеющий посредине опору (рис. 13.12), при потере устойчивости изогнется подвум полуволнам. Следовательно, каждая его половина теряет устойчивость как шарнирно опертый стержень, имеющийдлину //2. Поэтому^Е1119(1/2? ‘Обобщая полученные формулы, можно написать общеевыражение критической силы для сжатого стержня в видеЛр =(13.11)где д - так называемый коэффициент приведения длины,д = 1/п; п - число полуволн.Коэффициент р - это число, показывающее, во сколько разследует увеличить длину шарнирно опертого стержня, чтобыкритическая сила для него равнялась критической силе стержня длиной I в рассматриваемых условиях закрепления. Длястержня, защемленного на одном конце и свободного на другом, д = 2; для стержня, приведенного на рис. 13.12, р = 1/2.На рис.
13.13 показано несколько видов закреплениястержня и указаны соответствующие значения коэффициентаприведения длины /х. Во всех случаях значение д определяют путем простого сопоставления упругой линии изогнутогостержня с длиной полуволны синусоиды при шарнирном закреплении.517Рис. 13.13Рассмотрим несколько примеров на определение критической силы.Пример 13.1. Определить критическую силу для стержня сдвумя участками (рис. 13.14), если жесткость одного участка в четырераза больше жесткости другого.Соответственно для первого и второго участков получаем уравненияEJy” 4- Pyi = 0;ОбозначаемР4EJy% 4- Руч = 0.2„ _ = к .
Тогда4Л Jу" + 4fc2yi = 0;У2 + к2 уч = 0,откудаyi = Ci sin 2kz + Сч cos 2kz;уч = Сз sin kz 4- С4 cos kz.Из условия, что при 2 = 0 прогиб yi = 0, получаем Сч = 0.518Далее, имеем еще три условия: при 2 = 1/2 перемещения j/i = у?и у{ = у?, при 2 = 1 прогиб уз - 0. Соответственно записываем триуравнения:Л11•Cisin kl= /-IСз sin— + С< cos —;zzkl. kl2Ci cos kl = C3 cos —— C4 sin —;zzC3 sin kl + C4 cos kl = 0.Приравниваем нулю определитель этой системыkl. kl— sin — -coe Tsin kl2kl.
kl11D ==0sin 22 cos kl -cosy0sin klcos kl• —kl = п0 и tg Э — = п2. тти получаем два уравнения: sinНаименьший« отличв 2Ле/4л л„ _ныи от нуля корень находим из условия tg — = v2, kl/2 = 0,955. 1огдар _ 14.6EJ^кр —РПример 13.2.Определить критическую силу для шарнирно закрепленного стержня, нагруженного продольной силой посередине(рис. 13.15).Рис. 13.15Здесь для первого и второго участков имеемЕ Jy" = -р£ z-,EJy'^-ptz + Ptf-yi),519илиоткудаk2f z3 + Cl2 + Ca;= -V-^/ оУ1у2 = Сз sin kz 4- С4 cos kz + fПри z = 0 прогиб yi = 0. Следовательно, Сз = 0.
При z — 1/2 перемещенияyi ~ ft У? = f и У1 = Уз» а ПРИ * = f прогиб уз = 0. Таким образом,получаем следующие четыре уравнения:/2 ~kl“ 248klпу-Iк3 fl,kl „kl----- F Ci = Сзк cos —— C^k sin-----8-------------------- 22C3 sin kl 4cos kl = 0.Сз,Приравниваем нулю определитель этой системы, рассматривая Ci,и f как неизвестные:D=£2000. klsm 2klcos 210—к CQS2sin kl, . klк sin —cos klк2Р48_121 _ Р/I80Тогдаtg 23AZ/2__________(kl/2)2 -9'Наименьший корень этого уравнения kl/2 = 2,16. Тогда-Ржр18,7 EJI2Пример 13.3.
Определить критическую силу для защемленногострежня, к свободному концу которого передается через жесткий шатундлиной а сила Р (рис. 13.16).520Рис. 13.16Отбрасываем жесткий шатун и прикладываем к упругому стержнюпродольную силу Р* ~ Р и поперечную силу Pf /а. ТогдаEJy" = P(f — y) + P — (l — z),аили//<12у +y*г2 / [ 1 । I2 \= fc/ l +-------- ,\аJаоткуда1a(\у = Ci sin kz + С2 cos kz + fДалее, имеем граничные условия: при z = О*=I У =fТаким образом, получаем три уравнения:+ / ( 1 + - ) = 0;\ajCi к — f 1 = 0;aгАaJ1 +--------.у — 0 и у* = 0, а приCi sin kl + C? cos kl = 0.Приравнивая нулю определитель этой системы, приходим к следующему трансцендентному уравнению:tgkl = kl (1 + 7).из которого находим критическую силу в зависимости от отношения а/1.Последний пример заслуживает дополнительного обсуждения.Упругий стержень нагружен сжимающей силой, но она передается через жесткий шатун и при отклонении стержня меняет направление линии своего действия.
Поэтому критическая сила зависит от длины шатуна. Выясняется, что устойчивость определяется не только условиями закрепления стержня,и самой силой, но и ее поведением при малых возмущениях.521Если никаких оговорок о поведении силы не делают, тосчитают, что при отклонении стержня сила Р (рис.
13.17, а) сохраняет направление вертикали. Но, вообще говоря, об устойчивости стержня, показанного на рис. 13.17, а, ничего сказатьнельзя, пока не задан характер поведения приложенных сил. Авозможностей здесь много. В частности, на рис. 13.17, б - г показаны примеры одинаково, казалось бы, нагруженных стержней, имеющих, однако, различные значения критических сил.Рис. 13.17При решении примеров 13.1-13.3 использовали уравнениявторого порядка. Это традиционный алгоритм решения задач устойчивости прямолинейных стержней. Однако этот алгоритм не всегда эффективен при решении задач с более сложными граничными условиями, чем шарнирное закрепление(см. например, последний случай, показанный на рис.
13.13).Для этого случая из рассмотрения формы осевой линии стержня после потери устойчивости был определен коэффициентприведения длины д = —— = 0,666 ...» 0,7. Значение д а; 0,71j 5получено не из решения уравнении равновесия стержня, а изгеометрических особенностей предполагаемой формы осевойлинии после потери устойчивости, поэтому его следует рассматривать как приближенное.Рассмотрим общий метод определения критических нагрузок для прямолинейного стержня. В § ВЗ были полученывекторные уравнения равновесия стержня (В5) и (В6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
