kazakovtsev_v (823111)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Московский государственный технический университетимени Н. Э. БауманаМетодические указанияВ.П. Казаковцев, В.Д. ЖилейкинOБРАБОТКА СТРЕЛЬБИздательство МГТУ им. Н. Э. БауманаМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаВ.П. Казаковцев, В.Д. ЖилейкинОБРАБОТКА СТРЕЛЬБМетодические указания к лабораторным работамМоскваИздательство МГТУ им.

Н.Э. Баумана2009УДК 311.2ББК 22.172К14Рецензент В.В. ЗеленцовК14Казаковцев В.П., Жилейкин В.Д.Обработка стрельб: Метод. указания к лабораторным работам. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. – 27 с.: ил.Рассмотрены особенности применения методов математическойстатистики для обработки результатов ограниченного числа опытныхданных, полученных в процессе проведения стрельб.Для студентов 4-го и старших курсов, обучающихся по специальности «Динамика полета и управление движением ЛА».УДК 311.2ББК 22.172c МГТУ им.

Н.Э. Баумана, 20091. ОСОБЕННОСТИ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВОГРАНИЧЕННОГО ЧИСЛА ИСПЫТАНИЙОдним из методов определения характеристик рассеиваниятраекторий летательных аппаратов (ЛА) является проведениеопытных стрельб [1]. Подготовка и организация стрельб, высокая стоимость самих ЛА существенно ограничивают возможностьполучения необходимого статистического материала достаточногообъема. В связи с этим характеристики рассеивания приходитсяопределять по ограниченному числу опытов (испытаний) и находить средние статистические значения или оценки, содержащиенекоторый элемент случайности.В дальнейшем оценки таких величин будем обозначать черточˉ x — оценка математического ожидания,кой сверху.

Например, MˉDx — оценка дисперсии случайной величины X.Получаемые оценки должны по возможности иметь минимальные относительные ошибки и удовлетворять следующим требованиям.1. Оценка должна быть состоятельной, т. е. с ростом числа испытаний приближаться (сходиться по вероятности) к своему точному значению.2. При использовании оценки вместо точного значения недолжно быть систематической ошибки в сторону завышения илизанижения.

Другими словами, необходимо, чтобы математическоеожидание оценки числовой характеристики равнялось точномузначению данной характеристики. Такая оценка называется несмещенной.3. Оценка должна обладать наименьшей дисперсией, т. е.

бытьэффективной.Получим математические выражения оценок числовых характеристик системы двух случайных величин.3Пусть в результате проведенных n испытаний системы двухслучайных величин X, Z получены следующие значения (x1 , z1 );(x2 , z2 ); . . . (xn , zn ). Требуется найти оценки математических ожиданий Mx , Mz , дисперсий Dx , Dz и корреляционного момента Kxz ,которые соответствовали бы рассмотренным выше требованиям.В качестве оценки математического ожидания может быть взята формула для среднего арифметического. Например, для случайной величины XnXxiˉ x = i=1 .(1)MnСогласно закону больших чисел с ростом числа n величинаˉ x сходится по вероятности к точному значению математическогоMˉ x является состоятельной.ожидания Mx . Следовательно, оценка Mˉ x имеетВыражение для математического ожидания оценки MвидnXMxi i=1ˉx =(2)= Mx .M MnТаким образом, оценка математического ожидания удовлетворяет второму требованию и является несмещенной.Дисперсия оценки математического ожидания случайной величины X 1ˉ x = Dx .D M(3)nДля нормального закона распределения случайной величиныX полученное значение дисперсии будет минимально возможным,ˉ x будет являться также и эффективной.следовательно, оценка MЗаметим, что для других законов распределения формула (1) невсегда справедлива.Аналогично может быть записана формула для оценки математического ожидания случайной величины Z:ˉz =M4nXi=1nzi.(4)Для оценки дисперсии случайной величины Х воспользуемсязависимостьюnXˉ x )2(xi − MDx∗ =i=1.(5)nПроверим соответствие формулы (5) требованию состоятельности оценки дисперсии.

Выразим величину Dx∗ через второй начальный момент. Для этого представим формулу (5) в видеnXx2ii=1ˉ 2.(6)−MxnПервое слагаемое уравнения (6) является средним арифметическим случайной величины X 2 , и при n опытах оно сходится повероятности ко второму начальному моменту случайной величиныα2 [x]. Второе слагаемое сходится по вероятности к Mx2 . Такимобразом, окончательно имеемDx∗ =Dx∗ = α2 [x] − Mx2 = Dx .(7)Следовательно, оценка дисперсии случайной величины X поформуле (5) является состоятельной. Проверим формулу (5) натребование по несмещенности оценки дисперсии. Преобразуемуравнение (6), подставив в него выражение (1):2 nnnnXXXXX22xi xjxixi xix2ii<ji=1i=1i=1=−Dx∗ = i=1 n  = n − n2 − 2 n2nXxi xjnn−1X 2i<j=xi − 2.n2n2(8)i=1Найдем математическое ожидание оценки дисперсии случайной величины X:nn − 1 X 22 XM xi − 2M [xi xj ].(9)M [Dx∗ ] =2nni=1i<j5Выберем начало координат в точке точного значения математического ожидания случайной величины.

В этом случае: nX 2o2M x2i = nDx ;M xi = M xi = Dx ,(10)i=1ho o iM [xi xj ] = M xi xj = Kxi xj = 0,ooгде xi = xi − Mx , xj = xj − Mx — центрированные значенияслучайной величины X.С учетом полученных соотношений имеемn−1Dx .(11)nИз формулы (11) следует, что оценка дисперсии случайной величины, рассчитываемая по уравнению (5), не будет несмещенной.Чтобы ликвидировать получаемое смещение, достаточно умноnжить величину Dx∗ в формуле (5) на множитель.

Такимn−1образом, окончательный вариант формулы для расчета оценки дисперсии случайной величины X, отвечающей требованию состоятельности и несмещенности, имеет видM [Dx∗ ] =ˉx =DnXˉ x )2(xi − Mˉz =DnXˉ z )2(zi − Mi=1.(12)n−1Полученное выражение (12) для нормального закона распределения будет асимптотически эффективным. При увеличении числаопытов n отношение дисперсии оценки к минимально возможнойнеограниченно приближается к единице.Аналогично может быть записана формула для оценки дисперсии случайной величины Z:i=1n−1.(13)ˉ xz системыФормула для оценки корреляционного момента Kдвух случайных величин X и Z имеет вид6ˉ xz =KnXi=1ˉ x )(zi − Mˉz)(xi − M.(14)n−1При обработке результатов стрельбы определяют положениеглавных осей рассеивания, для которых корреляционный моментˉ z и корˉ x, Dравен нулю. В этом случае по оценкам дисперсий Dˉ xz находят угол поворота главных осейреляционного момента Kрассеивания α.

Получим формулу для угла α.Введем новую систему координат 0ξη. В этой системе случайo oная точка с координатами x, z будет иметь координатыooξ = x sin α + z cos α,(15)ooη = x cos α − z sin α.(16)Получим формулу для корреляционного момента случайныхвеличин ξ и η, принимая M ξ = M η = 0:o2K ξη = M [(ξ − M ξ )(η − M η )] = M [x ] sin α cos α+ooo2+ M [xz](cos2 α − sin2 α) − M [z ] sin α cos α =1= − sin 2α(Dz − Dx ) + Kxz cos 2α.

(17)2Согласно свойству главных осей рассеиванияK ξη = 0.(18)Из выражений (17) и (18) получим2Kxztg 2α =.(19)Dz − DxС помощью теоремы о дисперсии линейных функций найдемоценки дисперсий для координат ξ и η. Из формул (15) и (16)находим(20)D ξ = Dx sin2 α + Dz cos2 α + 2Kxz sin α cos α,D η = Dx cos2 α + Dz sin2 α − 2Kxz sin α cos α.Переходя к оценкам величин, можем записать:ˉ x sin2 α + Dˉ z cos2 α + Kˉ xz sin 2α,ˉξ = DDˉη = Dˉ x cos2 α + Dˉ z sin2 α − Kˉ xz sin 2α.D(21)(22)(23)7Значения оценок получены для ограниченного числа опытов.Для определения точности и надежности результатов рассчитывают доверительные интервалы и доверительные вероятности.В качестве примера рассмотрим понятие доверительного интервала для некоторой величины a, несмещенная оценка которойравна aˉ. Выберем достаточно большую вероятность β (0,8 или0,95).

Будем считать, что событие с вероятностью β является практически достоверным.Найдем величину ε, для которой вероятность расхождениямежду точным значением a и ее оценкой aˉ, меньшей выбраннойвеличины ε, будет равна β:p(|ˉa − a| < ε) = β.(24)ˉ + ε) = β.p(ˉa− ε<a<a(25)I β = (ˉa − ε; aˉ + ε).(26)В этом случае ошибки в определении a, которые по абсолютнойвеличине больше ε, будут появляться с очень малой вероятностью(1 − β).Представим выражение (24) в ином виде:Как следует из уравнения (25), неизвестное значение величиныa с вероятностью β попадает в интервалДругими словами, интервал I β с вероятностью β накрывает истинное значение величины a. В этом случае вероятность β называется доверительной вероятностью, а интервал I β — доверительныминтервалом.Как правило, нахождение границ доверительного интервалабывает затруднено из-за незнания закона распределения случайнойвеличины, числовую характеристику a которой мы определяем.Рассмотрим способ определения доверительного интервала дляматематического ожидания случайной величины Х .Как следует из центральной предельной теоремы [2], закон распределения оценки математического ожидания независимой слуˉ x при достаточно большом числе опытов nчайной величины Mблизок к нормальному.Найдем величину εМ , для которой справедливо выражениеˉ x − M < εM ) = β.p(M(27)8Выразим вероятность β через функцию Лапласа Φ(x):εM√ ,(28)β= ΦσM 2rDxˉ x.— среднее квадратичное отклонение оценки Mгде σM =nТеоретическое значение дисперсии Dx неизвестно, поэтомупри оценке границ доверительного интервала можно воспользоˉ x , тогдаваться ее оценкой DrˉxDσM =.(29)nИспользуя уравнение (28), находим√εM = σM 2Φ−1 (β).(30)Введем обозначениеtβ =√2Φ−1 (β).(31)В приложении приведена табл.

П1 зависимости параметра t βот доверительной вероятности β.Таким образом, окончательно формула оценки границ доверительного интервала для математического ожидания случайнойвеличины Х имеет видrˉxDεMx = t β,(32)nˉ x − εMx ; Mˉ x + εMx ).(I β )Mx = (M(33)Рассмотрим схему определения доверительного интервала длядисперсии случайной величины Х с известными оценками матеˉ x.ˉ x и дисперсии Dматического ожидания MКак ясно из формулы (12), оценка дисперсии представляет соˉ x )2(xi − Mбой сумму n случайных величин типа, которые неn−1являются независимыми вследствие того, что в каждую из нихвходит оценка математического ожидания.

В соответствии с центральной предельной теоремой с увеличением n закон распределения их суммы приближается к нормальному.9Характеристики этого закона будут определяться следующимˉ x:образом. Математическое ожидание дисперсии DMDˉ = Dx .(34)ˉ ˉ:Дисперсия DDDDˉ =n−31μ −D2 ,n 4 n(n − 1) x(35)где μ4 — четвертый центральный момент случайной величины Х .Вместо теоретического значения дисперсии Dx в уравненииˉ x.(35) можно пользоваться ее оценкой DСерьезные трудности возникают при определении величиныμ4 .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги