kazakovtsev_v (823111), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ее можно было бы определить, используя результаты обработки опытных данных. Однако для ограниченного числа испытанийтакая оценка дает слишком большие погрешности. Воспользуемсяформулой связи четвертого центрального момента случайной величины μ4 с дисперсией Dx для нормального закона распределенияслучайной величины Х :μ4 = 3Dx2 .(36)Подставляя формулу (36) в уравнение (35) и заменяя значениедисперсии ее оценкой, получаем2 ˉ2D ,n−1 xr2 ˉσDˉ =Dx .n−1DDˉ =(37)(38)Оценка границ доверительного интервала для дисперсии случайной величины Х может быть получена с помощью следующихформул:r2 ˉε Dx = t β(39)Dx ,n−1ˉ x − εDx ; Dˉ x + εDx ).(I β )Dx = (D(40)Как известно, наиболее полную информацию о случайной величине дает закон распределения. Поэтому одной из задач припроведении испытаний является установление этого закона, для10чего строят статистический ряд.
С этой целью весь диапазон полученных значений случайной величины X делят на несколькоинтервалов (или разрядов):x1 , x2 ; x2 , x3 ; . . . xi , xi+1 ; . . . xl , xl+1 ,где x1 , x2 ; xi , xi+1 ; xl , xl+1 — границы первого, i-го и l-го интервалов.Обычно число разрядов выбирают равным шести, восьми иреже десяти.
Следует заметить, что выбор количества разрядовзависит от числа проведенных опытов. Чем больше опытов, тембольше разрядов.Подсчитывают число случайных величин X, приходящихся накаждый разряд mi , и определяют частоту p∗i , соответствующуюкаждому разряду, по формулеmi.(41)p∗i =nОтметим некоторые особенности определения числа случайных величин, приходящихся на данный разряд. Если случайнаявеличина попадает на границу разряда, считают, что она принадлежит соседним разрядам одновременно в равных долях, т. е. пополовине в каждом разряде.Статистический ряд представляют в виде таблицы, связывающей разряды и соответствующие им частоты. Графическим представлением ряда является гистограмма.
По виду гистограммы вводится гипотеза о законе распределения случайной величины.Задача выбора теоретической кривой распределения, отражающей существенные признаки полученного статистического материала, называется выравниванием (или сглаживанием) статистического ряда. Вид теоретической кривой определяется как видом гистограммы, так и сущностью исследуемого физического процесса.Теоретический закон распределения зависит от ряда параметров,поэтому при выравнивании статистического ряда необходимо, чтобы расхождение между значениями этих параметров, полученныхдля статистического и теоретического законов распределения, было наименьшим.Для выбора параметров применяется метод моментов, сущность которого заключается в том, что в качестве параметров сравнения используют важнейшие числовые характеристики (момен11ты) закона распределения, такие как математическое ожидание,дисперсия и т.
д.Очевидно, что между числовыми характеристиками, полученными в результате обработки статистического материала, и характеристиками выбранного теоретического закона распределениябудут существовать некоторые различия. Для выяснения сущности этих различий (случайны они или являются существенными всвязи с неправильно выбранным теоретическим законом распределения) вводятся «критерии согласия».
Одним из таких критериевявляется критерий χ2 Пирсона.Рассмотрим схему применения этого критерия.Допустим, получен статистический ряд, который представленв виде табл. 1.Таблица 1Iix1 , x 2x2 , x 3...xi , xi+1...xl , xl+1p∗ip∗1p∗2...p∗i...p∗lгде Ii — обозначение i-го разряда;p∗i — частота, соответствующая i-му разряду;l — количество разрядов.Выбрав теоретический закон распределения для полученного статистического материала, определяют вероятности попаданияслучайной величины в соответствие с этим законом в каждый изразрядов.Мерой расхождения U между теоретическим и статистическим законами распределения выберем сумму квадратов отклонений (p∗i −pi ), взятыми с некоторыми весовыми коэффициентами сi :U=lXi=1ci (p∗i − pi )2 .(42)Для расчета коэффициентов ci Пирсоном была предложена следующая зависимость:nci = .(43)piДействительно, для большого числа опытов закон распределения величины U практически зависит только от количества разря12дов l и не зависит от функции распределения F (x) и числа опытов n.
Другими словами, закон распределения величины U приувеличении числа опытов приближается к распределению χ2 .Распределением χ2 с r степенями свободы называется распределение суммы квадратов r независимых случайных величин, каждая из которых подчинена нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной единице.Обозначим меру расхождения U через χ2 .
Тогда выражение(42) с учетом (43) может быть приведено к видуU =χ =n2lX(p∗ − pi )2ipii=1.(44)Введем общее число опытов n в формуле (44) под знак суммы.С учетом формулы (41) окончательно получимχ2 =lX(mi − npi )2i=1npi.(45)Значение критерия согласия χ2 зависит от числа степеней свободы r. В свою очередь число степеней свободы зависит от числаразрядов l и числа наложенных связей s:r = l − s.(46)Число связей определяется требованиями, предъявляемыми ксовпадению тех или иных характеристик теоретического и статистического законов распределения.Для критерия Пирсона χ2 составлены таблицы. Пользуясь этими таблицами, можно для каждого значения χ2 и числа степенейсвободы r найти вероятность p того, что величина, распределеннаяпо закону χ2 , превзойдет это значение.На практике, задаваясь теоретическим законом распределенияи числом степеней свободы r, по формуле (45) рассчитывают величину χ2 .
Далее из таблицы П2 приложения по значениям χ2 и rопределяют искомую вероятность p.Если вероятность p мала, то гипотеза о введенном законераспределения отбрасывается как неправдоподобная. Если же найденная вероятность относительно велика, гипотезу можно считатьне противоречащей опытным данным. Обычно считают, что если13p < 0,1, то необходимо искать другой закон распределения. Еслиp > 0,1, то данная гипотеза о введенном законе распределения непротиворечит опытным данным.2.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИКПО РЕЗУЛЬТАТАМ СТРЕЛЬБРассмотрим основные этапы обработки данных, полученныхпо результатам стрельб. Пусть произведено n выстрелов и зарегистрированы координаты n точек попадания. Выберем начало системы координат xoz таким образом, чтобы все точки попаданийоказались в первой четверти. Отметим каждую точку своим порядковым номером.Для проведения обработки данных составим таблицу (табл. 2).Таблица 2№xп/п iˉ x zi − Mˉ z (xi − Mˉ x )2 (zi − Mˉ z )2 (xi − Mˉ x )(zi − Mˉz)zi x i − M12...nnX00i=1В первый столбец таблицы заносят номера опытных точек.
Второй и третий столбцы предназначены для записи их координат,четвертый и пятый — для вычисления центрированных значенийкоординат случайных величин, шестой и седьмой — для вычисления дисперсий, последний — для расчета корреляционного момента. Для контроля правильности вычислений в последней строкечетвертого и пятого столбцов суммы центрированных значенийдолжны быть равны нулю.Заполнив таблицу, определяем оценки математических ожидаˉ z с помощью следующих соотношений:ˉx и Mний координат M14ˉx =Mˉz =MnXxii=1nnX,(47).(48)zii=1nˉ x,Проводим расчеты оценок дисперсий по координатам Dˉи корреляционного момента Kxz по формулам:ˉx =DnXˉ x )2(xi − Mˉz =DnXˉ z )2(zi − Mi=1ˉ xz =Ki=1n−1nXi=1n−1ˉzD,(49),(50)ˉ x )(zi − Mˉz)(xi − Mn−1.(51)В случае неравенства нулю оценки корреляционного моментаопределяем направление главных осей рассеивания, для которыхкорреляционный момент случайных значений координат будет равен нулю.Определяем угол поворота главных осей рассеивания α относительно выбранной системы координат xOz:ˉ xz2Ktg 2α = ˉˉx .Dz − D(52)Уравнение (52) дает два значения угла α: α1 и α2 , различающиеся на π/2.
Они и будут определять направление главных осейрассеивания. Через центр группирования, определяемый полученными выше оценками математического ожидания, под углом αпроводим главные оси рассеивания o1 ξ и o1 η.15Найдем оценки дисперсий по главным осям рассеивания:ˉξ = Dˉ x sin2 α + Dˉ z cos2 α + Kˉ xz sin 2α,D(53)22ˉ x cos α + Dˉ z sin α − Kˉ xz sin 2α.ˉη = D(54)DРассчитываем оценки значений средних квадратичных отклоˉ ξ, Eˉ η по главˉ η и вероятных срединных отклонений Eˉ ξ, σнений σным осям рассеивания:qˉ ξ,ˉξ = Dσ(55)qˉ η,ˉη = Dσ(56)ˉ ξ = 0, 6745 σˉ ξ,Eˉ η = 0, 6745 σˉ η.E(57)(58)Определяем надежность получения оценок числовых характеристик.
Для этого находим доверительные интервалы для дисперсий и средних квадратичных отклонений.Относительные границы доверительных интервалов для оценок дисперсий определяем по формуламr2 ˉεD ξ = t β(59)D ,n−1 ξr2 ˉD η.εD η = t β(60)n−1Величину t β выбирают с помощью табл. П1 приложения длязаданной вероятности β. При проведении лабораторной работывыбираем значение β = 0,8.Доверительные интервалы для дисперсий по главным осям рассеивания вычисляют с помощью соотношений:ˉ ξ − εD ; Dˉ ξ + εD ),(61)(I β )D ξ = (Dξξˉ η − εD ; Dˉ η + εD ).(62)(I β )D = (DηηηГраницы доверительных интервалов для средних квадратичных отклонений можно получить через оценки дисперсий и ихотносительных границ:qqˉ ξ − εD , σ2ξ = Dˉ ξ + εD ,σ1ξ = D(63)ξξqqˉ η − εD η , σ2η = Dˉ η + εD η .σ1η = D(64)16Таким образом, доверительные интервалы для средних квадратичных отклонений по главным осям рассеивания будут следующими:(I β ) σ ξ = (σ1ξ ; σ2ξ ),(65)(I β ) σ η = (σ1η ; σ2η ).(66)В качестве примера на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
