Шестаков В.С. Оптимизация параметров горных машин. Учебное пособие (811777), страница 12
Текст из файла (страница 12)
критериям. Кроме того, существенно влияет на оптимальное решение и то, по какому критериюпроводить первичную оптимизацию. Как следует из рис. 3.1, от этого многое зависит.3.4. Выводы по решению многокритериальных задачРассмотренные приемы решения многокритериальных задач инедостатки, присущие каждому подходу, позволяют сделать такоезаключение.
Применять многокритериальные задачи можно тольков исключительных случаях. Лицам, выдающим задания на оптимизацию, необходимо объяснить сложность задач многокритериальной оптимизации и постараться совместно выработать компромиссное решение: часть требований реализовать ограничениями, а некритериями.644. ПРИМЕРЫ ОПТИМИЗАЦИИ4.1. Оптимизация цилиндрической емкостиЭто наша первая задача оптимизации.
Рассмотрим ее подробнее. Вообще-то для такой задачи не требуется применения поисковых методов оптимизации, так как целевая функция будет состоятьиз одного выражения, для определения оптимального решения может быть взята производная и приравнена нулю. Но для учебныхцелей задача представляет определенный интерес, так как имееточень простую целевую функцию, позволяет легко организоватьизучение алгоритмов методов поисковой одномерной оптимизациии получить сравнение решений, полученных различными методами.Все этапы в примере выполнены в соответствии с рекомендациямип. 1.3.4.1.1. ЗаданиеСпроектировать цилиндрическую емкость для хранения жидкости объемом Vo.
Днище, крышка и боковые поверхности емкостиизготовляются из стальных листов одинаковой толщины. Ограничений на изменение линейных размеров емкости нет.4.1.2. Анализ задачиВид емкости показан на рис. 4.1, а эскизы элементов, из которых изготовляется емкость, – на рис. 4.2.DРис. 4.1. Цилиндрическая емкостьРис. 4.2. Элементы для изготовленияемкостиВ емкости можно изменять размеры диаметра и высоты, но приодновременном их изменении, согласно формуле V = ·D2/4·H, будет изменяться объем, поэтому будет нарушаться условие задачи. Из этогорассуждения делаем вывод, что менять по алгоритму метода оптимизации65можно только одну из указанных переменных, а другую необходимо вычислять через объем.
Если будем менять диаметр, то для расчета высотыполучим формулу H = 4· Vо / πD2.Изменение диаметры и высоты может повлечь изменение площадиметалла, расходуемого на ее изготовление, и, следовательно, массы и цены. Кроме того, будет меняться длина сварного шва, но стоимость шва посравнению со стоимостью металла очень мала, поэтому изменение цены,вызванное изменением длины шва, можно исключить при оптимизации.4.1.3. Выбор критерия оптимальностиДля устройств, которые не участвуют в производстве какой-либопродукции, в качестве критерия оптимальности чаще всего используетсястоимость изделия.
Для сравнительно простых изделий можно считать, чтостоимость пропорциональна массе:Ц = М · Се,где Ц - цена объекта, руб.;М - масса объекта, кг;Се - стоимость единицы массы изделия, руб./кг.Масса емкости без рабочей жидкостиМ = g S Т,где g - плотность материала, кг/м3;S - площадь поверхности, м2;Т - толщина листов, м.Подставив значение массы, получимЦ = Се g Т S.Анализ полученного выражения показывает, что переменнойдля рассматриваемой задачи будет только площадь поверхности S, aCe, g, T - величины для данной задачи постоянные. Как известно,вид графика функции не меняется, если все точки его умножить напостоянный коэффициент, т.
е. оптимальные значения переменных,обеспечивающих минимум площади поверхности, будут обеспечивать и минимум стоимости емкости. Исходя из отмеченного, можноисключить из рассмотрения постоянные коэффициенты и принять вкачестве критерия оптимальности площадь поверхности емкости.4.1.4. Переменные оптимизацииПри проведении анализа доказано, что независимой переменной, оптимальное значение которой и требуется определить, явля66ется диаметр D .4.1.5. Ограничения задачиОбычно ограничения задачи определяются из задания на проектирование объекта, а также исходя из особенностей объекта.Возможности физической реализации переменных определяютследующие ограничения:D > 0; H > 0.При выборе ограничений необходимо помнить также суть поисковых методов оптимизации: по определенному алгоритму изменяются переменные и вычисляется целевая функция.
В данном случае в условии задачи нет ограничений на изменение переменных, нонеобходимым ограничением в данной задаче будет требование изготовить емкость заданного объема Vo. Если не использовать данное ограничение и оставить при решении обе переменные проектирования D и Н, то в результате решения не будет обеспечен заданный объем.Ограничение по объему может быть использовано для понижения числа переменных:Vo = D2 H / 4,откуда может быть выражена одна из переменных, например, Н:H = 4 Vo /( D2).Таким образом, в задаче остается только одна независимая переменная D.
При использовании поисковых методов оптимизацииалгоритмы требуют задания интервала изменения переменной[Dmin, Dmax].Для задания нижней границы интервала может быть использовано приведенное выше неравенство (D > 0). Верхняя граница может быть определена, например, следующим образом. ПринимаетсяD = H (такое равенство можно использовать исходя из анализа используемых в промышленности емкостей, у них действительнодиаметр примерно равен высоте), тогда из выражения объема может быть определено условное базовое значение диаметра:Dб = (4 Vo / )0.333.Это вспомогательное значение может быть использовано для опре67деления границ изменения переменной (например, границы могутбыть определены, как в 2...3 раза большие и меньшие полученногобазового значения):Dmin = 0,3 Dб, Dmax = 3 Dб.4.1.6. Составление целевой функцииСогласно определению, целевая функция - это выражениекритерия оптимальности, в которое входят переменные проектирования.Для данной задачи целевая функция будет представлять выражение для расчета площади поверхности.Площадь поверхностиS = 2 ( D2/4) + D H,гдеН = 4 Vo / ( D2).Эти два выражения и представляют собой целевую функцию.Сводить их в одно, исходя из моего опыта, не следует из-за возможности появления ошибок.
Кроме того, высоту все равно придется определять, чтобы получить размеры заготовок для изготовленияемкости.4.1.7. Выбор метода оптимизацииВ данной задаче одна независимая переменная D, поэтому дляоптимизации могут быть использованы приведенные выше методыодномерной поисковой оптимизации: прямого перебора, дихотомии, золотого сечения. Задача является учебной. На ней можнопровести сравнение методов между собой по эффективности поискаоптимального решения, изучение алгоритмов методов оптимизации,поэтому можно использовать все методы.4.1.8. Проверка правильности полученного решенияПосле получения оптимального решения необходимо выполнить оценку его правильности. Такая проверка может быть организована различными способами.
Для данной задачи может быть определено оптимальное решение через производную.После подстановки Н выражение S будет иметь видS = D2 / 2 + 4 Vo / D.68Приравняем производную функции нулю: D - 4 Vo / D2 = 0,откуда оптимальное значение диаметраDо = (4Vo / )0,333.4.1.9. Разработка программного обеспеченияЭту задачу можно решить двумя способами:- непосредственно средствами Excel,- с использованием алгоритмического языка Visual Basic.Рассмотрим оба эти варианта.Решение задачи средствами ExcelВ Excel также может быть реализовано несколько вариантоврешения этой задачи. Попробуйте самостоятельно решить задачунесколькими возможными способами.1-й вариант возможного решения средствами Excel.
Наиболее простой и понятный способ оптимизации с использованием метода прямого перебора будет следующим:1. На листе Excel располагаются исходные данные: объем емкости,пределы возможного изменения диаметра (минимальное и максимальное значения).2. Процесс оптимизации реализуется в виде таблицы: в первыйстолбец заносится значение диаметра при изменении его от минимального значения до максимального с равным шагом, во второй столбец вводится формула для вычисления высоты по объему и диаметру из первого столбца, а в третий столбец заноситсяформула для расчета площади по диаметру и высоте.3.
Оптимальное значение может быть определено путем зрительного выбора минимального значения площади и соответствующегозначения диаметра. Кроме такого зрительного выбора наилучшего решения может быть реализовано и автоматическое определение с помощью специальных функций Excel.На рис. 4.3 приведен вид листа Excel, на котором выполненорешение. В ячейки D5, D6, D7 введены исходные данные. Шаг изменения диаметра подобран таким образом, чтобы все решение привыводе на принтер поместилось на один лист. Путем подбора количества строк получена формула для расчета шага ΔD=(Dmax69Dmin)/18. С этим шагом заполнен столбец «Диаметр» таблицы проведения оптимизации. Заполнение этого столбца выполнено следующим образом.
В ячейку А10 введена формула «=D6», в ячейкуА11 формула «=А10+ (D$7-D$6)/18», затем эта формула скопирована в остальные ячейки диапазона А12:А28. В ячейку В10 введенаформула «=4*D$5/(ПИ()*A13^2)», а затем эта формула скопированав остальные ячейки диапазона B11:B28. В ячейку C10 введена формула «=ПИ()*(B13^2/2+B13*C13)», затем эта формула скопированав остальные ячейки диапазона C11:C28.В формуле для ячеек D7, D6, D5 применены абсолютные ссылки на номер строки (D$7, D$6, D$5). Абсолютные ссылки не позволяют при копировании изменять адреса ячеек.Как уже отмечалось минимальную площадь можно определитьзрительно и выявить соответствующий диаметр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
