korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Преимущество распределения Стьюдента перед устойчивыми моделями заключается, например, в том, что статистический анализ стьюдентовских моделей намного проще, так как для них функция правдоподобия выписывается в явном виде в терминах элементарных функций, вто время как для устойчивых законов это невозможно (за четырьмяисключениями).
Вместе с тем, для 0 < γ ≤ 2 асимптотическое поведение хвостов распределения Стьюдента (при |x| → ∞) совпадает саналогичным поведением хвостов устойчивых законов.Легко убедиться, что, в отличие от устойчивых законов, максимумплотности распределения Стьюдента стремится к нулю при все большем и большем “утяжелении” хвостов. Поэтому распределение Стьюдента с “числом степеней свободы”, близким к нулю, может считатьсяаналогом равномерного распределения для случая бесконечного носителя.В этом разделе мы укажем довольно простую асимптотическую схему, непосредственно приводящую к распределению Стьюдента как кпредельному, и, как следствие, дадим обоснование возможности болееширокого использования распределения Стьюдента в задачах описательной статистики.
Материал данного раздела основан на работе (Бенинг и Королев, 2003).12.6.3Вспомогательные утвержденияНаши дальнейшие рассуждения будут основаны на двух следующихлеммах.Рассмотpим случайные величины N1 , N2 , . . . , X1 , X2 , . . .
, опpеделенные на одном и том же измеpимом пpостpанстве (Ω, A). Пусть на A задано семейство веpоятностных меp {Pθ , θ ∈ Θ}. Пpедположим, что пpикаждом n ≥ 1 случайная величина Nn пpинимает только натуpальныезначения и независима от последовательности X1 , X2 , . . . относительнокаждой из семейства меp {Pθ , θ ∈ Θ}. Пусть Tn = Tn (X1 , . . .
, Xn ) –55355412. Выборки случайного объеманекотоpая статистика, то есть измеримая функция от случайных величин X1 , . . . , Xn . Для каждоговеличину³ n ≥ 1 опpеделим случайную´TNn , положив TNn (ω) = TNn (ω) X1 (ω), . . . , XNn (ω) (ω) для каждого элементаpного исхода ω ∈ Ω. Будем говоpить, что статистика Tn асимптотически ноpмальна, если существуют функции δ(θ) и t(θ) такие, чтопpи каждом θ ∈ Θ³´√Pθ δ(θ) n(Tn − t(θ)) < x =⇒ Φ(x) (n → ∞).(12.5.5)Примеры асимптотически нормальных статистик хорошо известны.Свойством асимптотической нормальности обладают, например, выборочное среднее (при условии существования дисперсий), центральныепорядковые статистики или оценки максимального правдоподобия (придостаточно общих условиях регулярности) и многие другие статистики.Лемма 12.5.1.
Пусть {dn }n≥1 – некотоpая неогpаниченновозpастающая последовательность положительных чисел. Пpедположим, что Nn → ∞ по вероятности пpи n → ∞ относительно каждой вероятности из семейства {Pθ , θ ∈ Θ}. Пусть статистика Tnасимптотически ноpмальна в смысле (12.5.5). Для того чтобы пpикаждом θ ∈ Θ существовала такая функция pаспpеделения F (x, θ),чтqPθ δ(θ) dn (TNn − t(θ)) < x =⇒ F (x, θ) (n → ∞),необходимо и достаточно, чтобы существовало семейство функцийpаспpеделения H = {H(x, θ) : θ ∈ Θ}, удовлетвоpяющее условиямH(x, θ) = 0, x < 0, θ ∈ Θ;F (x, θ) =Z∞ ³√ ´Φ x y dy H(y, θ), x ∈ IR, θ ∈ Θ;0Pθ (Nn < dn x) =⇒ H(x, θ), n → ∞, θ ∈ Θ.Пpи этом, если функции pаспpеделения случайных величин Nn не зависят от θ, то не зависят от θ и функции pаспpеделения H(x, θ), тоесть семейство H состоит из единственного элемента.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Данная лемма по сути лишь пеpеобозначениями отличается от Теоpемы 3 из (Королев, 1995), доказательствокоторой, в свою очередь, основано на общих теоремах о сходимостисуперпозиций независимых случайных последовательностей (Королев,1994), (Королев, 1996). Эту лемму также легко получить из Теоремы5.2, доказанной намного позже упомянутых работ.12.6.
Вспомогательные утверждения555Пусть Np,r – случайная величина, имеющая отрицательное биномиальное распределение,k−1pr (1 − p)k−1 ,P(Np,r = k) = Cr+k−2k = 1, 2, . . .(12.5.6)k−1Здесь r > 0 и p ∈ (0, 1) – параметры, и для нецелых r величина Cr+k−2определяется какΓ(r + k − 1)k−1Cr+k−2=.(k − 1)! · Γ(r)В частности, при r = 1 соотношение (12.5.6) задает геометрическоераспределение.
Известно, чтоENp,r =r(1 − p) + p,pтак что ENp,r → ∞ при p → 0.Отрицательное биномиальное распределение с натуральным r допускает наглядную интерпретацию в терминах испытаний Бернулли.А именно, случайная величина с распределением (12.5.6) – это число испытаний Бернулли, проведенных до осуществления r-й по счетунеудачи, если вероятность успеха в одном испытании равна 1 − p.Лемма 12.5.2. Для любого фиксированного r > 0¶¯ µ N¯p,r¯¯lim sup ¯P< x − Gr,r (x)¯ = 0,p→0 x∈IRENp,rгде Gr,r (x) – функция гамма-распределения с параметром формы, совпадающим с параметром масштаба и равным r, см. (12.5.3).Доказательство.
Характеристическая функция случайной величины Np,r равна·itE exp{itNp,r } = e¸rp,1 − (1 − p)eitt ∈ IR.Поэтому, используя представление ez = 1 + z + o(|z|) (|z| → 0), прикаждом фиксированном t ∈ IR мы имеем½Np,rE exp itENp,r= expn¾= E exp·nitpNp,r o=r(1 − p) + popitpitpr(1 − p) + p 1 − (1 − p) exp { r(1−p)+p}¸r=55612. Выборки случайного объема= expnoitp×r(1 − p) + p· ³1¸−rno´noitpitp×1 − exp+ exppr(1 − p) + pr(1 − p) + p·=¸−ro´1³itpitp−+ o(p) + 1 + O(p)= expr(1 − p) + pp r(1 − p) + pn·−→¸it −r−→ 1 −rпри p → 0. Но правая часть этого соотношения в точности совпадаетс характеристической функцией гамма-распределения Gr,r (x). Ссылка на теорему о непрерывности соответствия между распределениямии соответствующими им характеристическими функциями устанавливает сходимость допредельных функций распределения к предельнойв каждой точке x ∈ IR, а замечание о монотонной непрерывности иограниченности предельной функции распределения завершает доказательство.12.6.4Основные результаты и выводыВ подавляющем большинстве ситуаций, связанных с анализом экспериментальных данных, можно признать, что число случайных факторов,влияющих на наблюдаемые величины, само является случайным и изменяется от наблюдения к наблюдению.
Поэтому вместо различныхверсий центральной предельной теоремы, обосновывающих нормальность распределения наблюдаемых случайных величин в классическойстатистике, в таких ситуациях следует опираться на их аналоги длявыборок случайного объема (см. раздел 12.2 и Лемму 12.5.1).Теорема 12.5.1. Пусть γ > 0 произвольно и {dn }n≥1 – некотоpаянеогpаниченно возpастающая последовательность положительныхчисел.
Пpедположим, что Nn → ∞ по вероятности пpи n → ∞ относительно каждой вероятности из семейства {Pθ , θ ∈ Θ}. Пустьстатистика Tn асимптотически ноpмальна в смысле (12.5.4). Длятого чтобы пpи каждом θ ∈ ΘµqPθ δ(θ) dn (TNn − t(θ)) < x¶=⇒ Pγ (x)(n → ∞),где Pγ (x) – функция распределения Стьюдента с параметром γ, необходимо и достаточно, чтобыPθ (Nn < dn x) =⇒ Gγ/2,γ/2 (x), n → ∞,θ ∈ Θ.12.6. Основные результаты и выводыД о к а з а т е л ь с т в о. Несложно убедиться в том, что при произвольном γ > 0 плотность pγ (x) распределения Стьюдента с параметромγ представима в видеqqpγ (x) = E Uγ/2 φ(x Uγ/2 ),где φ(x) – стандартная нормальная плотность, а Uγ/2 – случайная величина с функцией распределения Gγ/2,γ/2 (x).
Действительно,qqE Uγ/2 φ(x Uγ/2 ) =∞Zn³ x2 + γ ´oγ γ/2exp − u= (γ+1)/2 √u(γ−1)/2 du =2πΓ(γ/2)20∞³ x2 + γ ´−(γ+1)/2 Zγ γ/2√= (γ+1)/2exp{−z}z (γ+1)/2−1 dz =2πΓ(γ/2)20=³ x2 + γ ´−(γ+1)/2 ³ γ + 1 ´γ γ/2√Γ=2(γ+1)/2 πΓ(γ/2)22Γ((γ + 1)/2) ³x2 ´− γ+12= √1+= pγ (x).πγΓ(γ/2)γqqНо плотность pγ (x) = E Uγ/2 φ(x Uγ/2 ) соответствует функции расqпределения EΦ(x Uγ/2 ) (для натуральных γ этот факт был отмечен вовведении). Теперь требуемое утверждение вытекает из Леммы 12.5.1 сучетом идентифицируемости масштабных смесей нормальных законов.Теорема доказана.Следствие 12.5.1.
Пусть r > 0 произвольно. Пpедположим, чтопри каждом n ≥ 1 случайная величина Nn имеет отрицательноебиномиальное распределение с параметрами p = n1 и r. Пусть статистика Tn асимптотически ноpмальна в смысле (12.5.5). Тогда прикаждом θ ∈ Θ³´√Pθ δ(θ) rn(TNn − t(θ)) < x =⇒ P2r (x) (n → ∞)равномерно по x ∈ IR, где P2r (x) – функция распределения Стьюдентас параметром γ = 2r.Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу Леммы 12.5.2 мы имеем³ 1 ´iNnNn ENnNn r(n − 1) + 1Nn h=·=·=1+O=⇒ UrnrENn nrENnnrENnn55755812. Выборки случайного объемапри n → ∞, где Ur – случайная величина, имеющая гаммараспределение с параметром формы, совпадающим с параметром масштаба и равным r.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
