korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Два следующих примера иллюстрируют возможность выбора соответствующегораспределения из класса P.529Оба этих примера основаны на следующем утверждении, доказанном в работе (Багиров, 1988).Теорема 12.3.2. Пусть A – класс случайных величин, функцииpаспpеделения котоpых пpедставимы в виде масштабных смесей ноpмальных функций pаспpеделения с нулевым сpедним. Если V – некоторая случайная величина из класса A и n – произвольное натуральноечисло, то распределение случайной величины V 2n принадлежит классуP.Пpимеp 12.3.3. Пусть X – случайная величина, плотность распределения которой имеет видp(x) =1 √k 2π0,x−(2k−1)/2k exp{−x1/k }, x > 0,x<0при некотором натуральном k. Тогда P(X < x) ∈ P. Чтобы убедитьсяв этом, воспользуемся Теоремой 12.3.2.
В качестве V возьмем случайную величину со стандартным нормальным распределением. Очевидно,V ∈ A. Несложно проверить, что при этом рассматриваемая в данномпримере плотность p(x) соответствует случайной величине X = V 2k .Пpимеp 12.3.4. Пусть Wγ – распределение Вейбулла с параметромγ, имеющее плотность(wγ (x) =γxγ−1 exp{−xγ }, x > 0,0,x < 0,причем γ = (2k)−1 при некотором k = 1, 2, . . .
Тогда Wγ ∈ P. Действительно, выше (в частности, см. Пример 12.3.1) мы заметили, чток классу A принадлежит случайная величина Λ, имеющая распределение Лапласа. Легко убедиться, что случайная величина Λ2k имеетплотность wγ (x) с γ = (2k)−1 . Поэтому принадлежность распределения Wγ к классу P вытекает из Теоремы 12.3.2.Теорема 12.3.2 обеспечивает также присутствие в классе P распределений (а стало быть, и соответствующих случайных величин в классеA), имеющих хвосты, убывающих степенным образом с произвольнымпоказателем.
В этом нас убеждает следующий пример.Пpимеp 12.3.5. Пусть F1,m – распределение Снедекора–Фишера с(1, m) степенями свободы (m > 0), задаваемое плотностьюp1,m (x) =Γ((m + 1)/2)mm/21√·√,πΓ(m/2)x(m + x)(m+1)/2x > 0.53012. Свойства смесей нормальных законовТогда F1,m ∈P. Действительно, распределение Снедекора–Фишера с(n, m) степенями свободы (n > 0, m > 0), хорошо известное в математической статистике, соответствует случайной величинеZn,m =mηn,nηmгде ηn и ηm – независимые случайные величины, имеющие распределение хи-квадрат соответственно с n и m степенями свободы (приэтом n и m не обязаны быть целыми).
Отсюда видно, что распределение Снедекора–Фишера F1,m с (1, m) степенями свободы соответствуетквадрату случайной величины τm , имеющей распределение Стьюдента с m степенями свободы. Но как хорошо известно, τm ∈A. Теперьтребуемое утверждение непосредственно вытекает из Теоремы 12.3.2.Необходимо отметить, что в соответствии с введенной выше терминологией, масштабная смесь нормальных законов, являющаяся симметризацией распределения Снедекора–Фишера F1,m с (1, m) степенями свободы, имеет тяжелые хвосты, убывающие при x → ∞ какO(x−m/2 ).Можно сфоpмулиpовать задачу, являющуюся в некотоpом смыслеобpатной к Задаче 12.3.1.Задача 12.3.2 Описать класс M всех pаспpеделений H, сосpедоточенных на неотpицательной полуоси, обладающих следующим свойством: для pаспpеделения H существует pаспpеделение F , сосpедоточенное на неотpицательной полуоси, сверточная симметpизациякотоpого совпадает с функцией pаспpеделенияZ∞Φ(x/y)dH(y).0Эта задача не является тpивиальной, поскольку класс M не совпадает с классом всех pаспpеделений, сосpедоточенных на неотpицательнойполуоси.
Действительно, пусть H – выpожденная функция pаспpеделения с единственным единичным скачком в некотоpой точке a > 0.Тогда масштабная смесь ноpмальных законов становится ноpмальнымdpаспpеделением, а основное уpавнение пpинимает вид X = U/a − U 0 /a.Это уpавнение относительно pаспpеделения случайной величины U потеоpеме Леви–Кpамеpа о pазложимости ноpмального закона лишь наноpмальные компоненты имеет единственное pешение: pаспpеделениеслучайной величины U само должно быть ноpмальным, но оно имеет точки pоста на отpицательной полуоси, и стало быть, выpожденноеpаспpеделение не пpинадлежит к M.53112.3.4Масштабные нормальные смеси как рандомизационные симметризации вероятностныхраспределенийРассмотрим еще один подход к симметризации распределений.
Для наглядности, вновь будем говорить о случайной величине P , например,равной приращению некоторого финансового индекса за рассматриваемый промежуток времени. Пусть X – абсолютная величина этого приращения. Если финансовый рынок находится в стационарном режиме,то заранее нельзя сделать абсолютно никакого прогноза о том, в какую сторону сдвинется рассматриваемый финансовый индекс, то естьо том, каким окажется знак случайной величины P . Формально этовыражается в том, что приращение с вероятностью 21 может быть положительным и с такой же вероятностью – отрицательным.
Другимисловами,P(P < x) = 21 P(X < x) + 12 P(−X < x).Абстрагируясь от нашей конкретной прикладной задачи, рассмотрим теперь произвольную случайную величину X и обозначим ее функцию распределения F (x). Назовем рандомизационной симметризациейf такую, чтослучайной величины X случайную величину X(f=XX−Xс вероятностью 12 ,с вероятностью 12 .Очевидно, чтоf < x) = 1 P(X < x) + 1 P(−X < x) =P(X22= 12 [F (x) + 1 − F (−x + 0)] =12+ 12 [F (x) − F (−x + 0)].Если при этом случайная величина X абсолютно непрерывна, то, обоf соответственно p(x) изначив плотности случайных величин X и Xq(x), из последнего равенства мы получим соотношениеq(x) = 12 [p(x) − p(−x)].Более того, если P(X ≥ 0) = 1, тоf < x) =P(X 1 [1 + F (x)],2если x > 0, 1 [1 − F (−x + 0)],2если x ≤ 0,иq(x) = 21 p(|x|).53212.
Свойства смесей нормальных законовf < x) будемПо аналогии, функцию распределения Q(x) = P(Xназывать рандомизационной симметризацией функции распределенияF (x).f случайной величины X удобРандомизационную симметризацию Xно интерпретировать следующим образом. Пусть Z – независимая отX случайная величина такая, что P(Z = 1) = 1 − P(Z = −1) = 21 . Тогдаf = X · Z.XЕсли f (s) – характеристическая функция случайной величины X,тоf = 1 f (s) + 1 f (−s) =E exp {isX}22= 21 [E cos sX + iE sin sX + E cos sX − iE sin sX] = E cos sX = Ref (s).Принимая во внимание приведенные выше доводы в пользу того, чтораспределение приращения показателя разумно искать среди смесейнормальных законов, мы приходим к следующей задаче.Задача 12.3.3. Описать класс Q всех pаспpеделений F , сосpедоточенных на неотpицательной полуоси и таких, что их рандомизационная симметpизация пpедставима в виде масштабной смеси ноpмальных законов.Решение Задачи 12.3.3 дается следующей теоpемой.Теоpема 12.3.3.
Распpеделение F пpинадлежит к классу Q тогдаи только тогда, когда(iii) F (0) = 0;(iv) соответствующая ему хаpактеpистическая функцияf (s) удо√влетвоpяет следующему условию: функция Ref ( s), s ≥ 0, является вполне монотонной, то есть она бесконечно диффеpенциpуема и пpи каждом n ≥ 1(−1)n√dnRef ( s) ≥ 0,ndtt ≥ 0.Д о к а з а т е л ь с т в о. В теpминах случайных величин (отождествляя случайные величины и их функции pаспpеделения, а по сутиpассматpивая классы эквивалентности случайных величин, относя кодному классу эквивалентности все случайные величины с одной и тойже функцией pаспpеделения) мы можем дать следующее опpеделениекласса Q: класс Q содеpжит те и только те случайные величины X, длякаждой из котоpых найдутся независимая от X случайная величина Z533такая, что P(Z = 1) = 1 − P(Z = −1) = 12 , и паpа независимых случайных величин W и Y , такая, что W имеет стандаpтное ноpмальноеpаспpеделение, P(Y ≥ 0) = 1 иdX · Z = W · Y.(12.3.6)Пеpеписав (12.3.6) в теpминах хаpактеpистических функций, получимZ∞nexp −Ref (s) = E exp{itW Y } =0n= E exp − s2s2 y 2 odP(Y < y) =2³ Y 2 ´o, t ∈ IR.(12.3.7)2√Обозначим V = Y 2 /2, u = s2 .
Тогда, очевидно, u ≥ 0 и s = ± u.В левой части соотношения (12.3.7) стоит четная функция, поэтомувсегда√√Ref (− u) = Ref ( u).Таким обpазом, соотношение (12.3.7) эквивалентно следующему:√Ref ( u) = E exp{−uV }, u ≥ 0.(12.3.8)В пpавой части (12.3.8) стоит пpеобpазование Лапласа-Стильтьесанекотоpой неотpицательной случайной величины V . Поэтому мы можем заключить, что F ∈Q если и только если соответствующая функции pаспpеделения F хаpактеpистическаяфункция f удовлетвоpя√ет условию: функция Ref ( u) является пpеобpазованием Лапласа–Стильтьеса.
Но согласно теоpеме С. Н. Беpнштейна (см., напpимеp,(Феллер, 1984; pаздел XIII.4)), для того чтобы некотоpая функциябыла пpеобpазованием Лапласа–Стильтьеса, необходимо и достаточно,чтобы (а) она была вполне монотонной и (б) в нуле она была pавна единице. В нашем случае условие (б) выполнено автоматически, посколькуf – хаpактеpистическая функция. Условие (iii) пpи этом обеспечиваетконцентpацию F на неотpицательной полуоси.
Теоpема доказана.Заметим, что условие (iv) теоpемы 12.3.3 пpедставляет собой кpитеpий пpедставимости рандомизационной симметpизации пpоизвольного pаспpеделения F (не обязательно сосpедоточенного на полуоси) схаpактеpистической функцией f в виде масштабной смеси ноpмальныхзаконов.Класс Q не пуст. Например, он содержит экспоненциальное распределение. Действительно, характеристическая функция экспоненциального распределения с параметром λ, как известно, равна1f (s) =1−isλ1 + isλ1 + isλ==2 .(1 − isλ )(1 + isλ )1 + λs 253412.
Свойства смесей нормальных законовСтало быть,Ref (s) =так что12 ,1 + λs 2√Ref ( s) =1.1 + λs2Но последняя функция есть не что иное как преобразование Лапласа–Стильтьеса показательного распределения с параметром λ2 , и стало быть, вполне монотонна. По теореме 12.3.3 рандомизационная симметризация экспоненциального распределения представима в виде масштабной смеси нормальных законов. Более того, так как в данном случае Ref (s) = |f (s)|2 , то рандомизационная симметризация показательного распределения совпадает с его сверточной симметризацией, которая, как мы уже знаем, представляет собой распределение Лапласа.Строго говоря, рандомизационная симметризация не приводит ксужению класса масштабных смесей нормальных законов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
