korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 92
Текст из файла (страница 92)
. . , XN (t) значений шоковых воздействий, зафиксированных на интервале времени [0, t] построим вариационный рядXN (t):1 , . . . , XN (t):N (t) . Пусть k(n) – натуральнозначная функция натурального аргумента такая, что k(n) → ∞ и k(n)/n → 0 (или n − k(n) →∞, k(n)/n → 1) при (n → ∞). Значение k(n) (или n − k(n)) имеетсмысл такого числа шоковых воздействий большой величины, которое выводит аппаратуру из строя. При этом условие k(n) → ∞ посути соответствует представлению о высоконадежной аппаратуре како такой, для выведения из стоя которой требуется очень много шоковых воздействий. Условие k(n)/n → 0 означает, что количество больших, критических шоков хоть и велико по абсолютной величине, но всеже мало́ по сравнению с общим числом шоков, зарегистрированных зарассматриваемый период времени, что опять-таки согласуется с представлением о высоконадежной аппаратуре как о такой, которая можетпротивостоять очень большому числу шоковых воздействий.
Таким образом, критическим для высоконадежной аппаратуры является значение порядковых статистик XN (t):k(N (t)) с функцией k(N (t)), обладающейуказанными выше свойствами. Такие порядковые статистики называются порядковыми статистиками с промежуточными рангами. Мы будем рассматривать асимптотическое поведение величин XN (t):k(N (t)) при12.5. Промежуточные порядковые статистики549t → ∞. Этот случай менее всего изучен теоретически.Теорема 12.4.5.
Пусть k(n) = [Cnα ], C > 0, 0 < α < 1. Предположим, что существуют неслучайные функции a(t) > 0, b(t) и d(t)такие, что d(t) – натуральнозначная, d(t) → ∞ и случайная величина (Xd(t):k(d(t)) − b(t))/a(t) при t → ∞ имеет некоторое предельное распределение, скажем, G(x).
Предположим, что существует случайнаявеличина Λ такая, что P(Λ > 0) = 1 иΛ(t)/d(t) =⇒ Λ(t → ∞).Тогда для каждого x ∈ IRP³XN (t):k(M (t))a(t)− b(t)´< x −→ H(x)(t → ∞),1/α1−1/αгде M (t) = (N (t)). Функция распределения H(x) имеет√ (d(t))вид H(x) = EΦ( Λu(x)), а функция u(x) однозначно определяетсяфункцией G(x) и с точностью до сдвига и масштаба может иметьтолько три формы:½u1 (x) =−∞,x ≤ 0,β ln x, x > 0;½u2 (x) =−β ln |x|, x < 0,+∞,x ≥ 0;u3 (x) ≡ xгде β > 0.Этот результат, полученный в работе (Королев, Здоровцов и Сурков, 2002), исправляет теорему, приведенную в работе (Шериф, 1983).При этом Теорема 12.4.5 отличается по форме от приведенной в статье(Азларов и др., 1991) и приводит не к сдвиговым (как в (Азларов и др.,1991)), а к специальным масштабным смесям нормальных законов.Последнее обстоятельство позволяет сделать вывод, основанный наследующей простой лемме, доказываемой с помощью неравенства Иенсена.Лемма 12.4.2.
Предположим,√ что случайная величина Λ удовлетворяет условию нормировки E Λ = 1 (сохраняющему масштаб). Тогда√1 − EΦ( Λu(x)) ≥ 1 − Φ(u(x)), x > 0.Из этой леммы вытекает, что 1 − G(x) ≤ 1 − H(x) при x > 0, чтоозначает, что классическая теория порядковых статистик с промежуточными рангами недооценивает риски катастрофических шоков посравнению с подходом, рассматриваемым в данном разделе.Применение приведенных выше результатов к анализу надежностиволоконно-оптических линий связи железнодорожного транспорта России описано в монографии (Здоровцов и Королев, 2004).55012. Выборки случайного объема12.6О распределении Стьюдента как альтернативе нормальному и другимустойчивым законам в статистикеВ этой главе мы, используя результаты и методы, изложенные выше,развиваем идеи раздела 12.4.12.6.1Распределение Стьюдента как масштабнаясмесь нормальных законовКак известно, распределением Стьюдента называется абсолютнонепрерывное распределение вероятностей, задаваемое плотностьюΓ((γ + 1)/2) ³x2 ´− γ+12pγ (x) = √1+,πγΓ(γ/2)γ−∞ < x < ∞.(12.5.1)Здесь γ > 0 – параметр, Γ( · ) – эйлерова гамма-функция,Z∞e−y y z−1 dy,Γ(z) =z > 0.0В частности, при γ = 1 плотность (12.5.1) имеет видp1 (x) =1,π(1 + x2 )−∞ < x < ∞,что соответствует распределению Коши.
Несложно видеть, что у распределения Стьюдента с параметром γ отсутствуют моменты порядкаδ ≥ γ.Если γ = n – натуральное число, X, X1 , . . . , Xn – независимые случайные величины, имеющие одно и то же стандартное нормальное распределение, то, как известно, случайная величина√n·X(12.5.2)Y = qX12 + . . . + Xn2имеет распределение Стьюдента с параметром n, который в таком случае называется числом степеней свободы. На представлении (12.5.2)основан критерий проверки гипотез о среднем значении нормальныхвыборок, предложенный в 1908 г. У. С. Госсеттом (W. S. Gossett), который подписал свою статью “On the probable error of the mean” псевдонимом “Student” (Student, 1908).12.6.
Закон Стьюдента как асимптотическая аппроксимацияКак известно, случайная величина X12 + . . . + Xn2 , фигурирующая в(12.5.2), имеет распределение хи-квадрат с n степенями свободы, задаваемое плотностьюhn (x) =xn/2 e−x/2,2n/2 Γ(n/2)x > 0.Пусть Gα,λ (x) – функция гамма-распределения с параметром формы αи параметром масштаба λ,Gα,λ (x) =0при x ≤ 0,xλα Z Γ(α)e−λy y α−1 dy(12.5.3)при x > 0.0Несложно видеть, что распределение хи-квадрат с n степенями свободы является гамма-распределением с параметром формы α = n2 ипараметром масштаба λ = 21 . Следовательно, в представлении (12.5.2)случайная величина n1 (X12 + .
. . + Xn2 ) имеет гамма-распределением спараметром формы α = n2 и параметром масштаба λ = n2 . При этом потеореме Фубини из представления (12.5.2) вытекает возможность записать функциюраспределения Стьюдента Pn (x) с n степенями свободы,RxPn (x) = −∞ pn (y)dy, в виде³Pn (x) = P(Y < x) = P X < xZ∞=q1(X12nq√Φ(x y)dGn/2,n/2 (u) = EΦ(x Un/2 ),´+ . . . + Xn2 )−∞ < x < ∞,=(12.5.4)0где Φ(x) – стандартная нормальная функция распределения, а случайная величина Un/2 имеет гамма-распределением с параметром формыα = n2 и параметром масштаба λ = n2 .
Таким образом, распределениеСтьюдента с целочисленным параметром γ = n принадлежит к семейству масштабных смесей нормальных законов.12.6.2Распределение Стьюдента какасимптотическая аппроксимацияОбщеизвестна важная роль, которую распределение Стьюдента играетв математической статистике при анализе нормальных выборок. Здесьпараметр γ тесно связан с объемом выборки и принимает натуральныезначения.
Однако можно сказать, что в таких задачах роль распределения Стьюдента в значительной мере вспомогательна, оно является вопределенном смысле абстрактной, идеальной теоретической моделью.55155212. Выборки случайного объемаВместе с тем, в описательной статистике распределение Стьюдентапрактически не используется в качестве аналитической модели, “подгоняемой” к экспериментальным данным1 . Лишним подтверждениемэтого служит то обстоятельство, что ни в одном руководстве по теории(или практике) статистического оценивания не рассматривается задачаоценивания параметра распределения Стьюдента.По-видимому, недостаточное доверие прикладных статистиков краспределению Стьюдента как к модели, описывающей статистическоеповедение реальных данных, связано с тем, что, в отличие от, скажем,нормального или пуассоновского распределений, фигурирующих в качестве предельных соответственно в центральной предельной теореме и теореме Пуассона о редких событиях, распределение Стьюдентане считается асимптотической аппроксимацией.
В прикладной математике вообще и в статистике в частности, принято считать, что адекватной может быть лишь та аналитическая модель, в основе которойлежит какая-либо предельная теорема с довольно простыми и общими условиями, в то время как та асимптотическая схема, которая используется для обоснования возможности применения распределенияСтьюдента в качестве предельной аппроксимации (в тех редких случаях, когда распределение Стьюдента используется в таком качестве) исвязана с его безграничной делимостью (кстати, установленной сравнительно недавно), довольно сложна.
А именно, известно, что любоебезгранично делимое распределение может быть слабым пределом дляраспределений сумм независимых равномерно предельно малых случайных величин. Поэтому в принципе, если при статистическом анализе реальных данных можно предположить, что каждое наблюдениеявляется результатом суммарного воздействия большого числа случайных факторов, которые вносят примерно одинаковый (в определенномсмысле) вклад в наблюдаемое значение, то при выполнении условий, гарантирующих сходимость распределений сумм независимых равномерно предельно малых случайных величин к распределению Стьюдента,последнее вполне может быть использовано в качестве модели, описывающей статистическое поведение экспериментальных данных.
Однакоупомянутые условия формулируются в терминах элементов так называемого канонического представления безгранично делимой характеристической функции и имеют сложный вид, что серьезно затрудняетих практическую проверку. В результате в рамках такого подхода до1Лишь относительно недавно появились работы, в которых распределение Стьюдента применяется (впрочем, без надлежащего теоретического обоснования) дляописания динамики некоторых финансовых индексов, в частности, приращений логарифмов биржевых цен.
В первую очередь здесь следует упомянуть работы П.Прэтца (Praetz, 1972) и Р. Блаттберга и Н. Гоундса (Blattberg and Gonedes, 1974).12.6. Вспомогательные утверждениясих пор не удалось найти достаточного обоснования возможности болееили менее широкого применения распределения Стьюдента в задачахописательной статистики.Следует особо подчеркнуть, что распределение Стьюдента в силуотносительной простоты представления (12.5.1) могло бы быть удобнойаналитической моделью, описывающей вероятностно-статистическиесвойства больших рисков, так как оно имеет более тяжелые хвосты,нежели нормальный закон. Например, оно могло бы стать удобной альтернативой устойчивым законам, часто применяемым в таком качестве(см., например, (Золотарев, 1983), (Uchaikin and Zolotarev, 1999)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
