korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Теперь требуемое утверждение непосредственно вытекает из Теоремы 12.5.1.Замечание 12.5.1. Распределение Коши (γ = 1) возникает в ситуации, описанной в следствии 12.5.1, когда объем выборки Nn имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами p = n1 , r = 12и n велико.Замечание 12.5.2. В ситуации, когда объем выборки Nn имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами p = n1 , r = 1(то есть геометрическое распределение с параметром p = n1 ), то в пределе при n → ∞ мы получаем распределение Стьюдента с параметромγ = 2, которому соответствует функция распределения¶µ1x,P2 (x) =1+ √22 + x2x ∈ IR.(12.5.6)Это распределение уже неоднократно упоминалось нами в разделах11.3, 12.1 и 12.4. Оно впервые описано как предельное для выборочноймедианы, построенной по выборке случайного объема, в которой объемвыборки является случайной величиной с геометрическим распределением, по-видимому, в работе (Гнеденко, 1989). Следует отметить, чтов упомянутой работе распределение (12.5.6) получено как масштабнаясмесь нормальных законов при показательном смешивающем распределении, но при этом не указано, что функция распределения, стоящая вправой части (12.5.6), соответствует именно распределению Стьюдентас “числом степеней свободы”, равным 2.Замечание 12.5.3.
Скорость сходимости распределений регулярных статистик к распределению Стьюдента исследовалась в работах(Бенинг, Королев и У Да, 2004), (Беврани, Бенинг и Королев, 2005)и (Гавриленко, Зубов и Королев, 2006). В частности, в последней изупомянутых работ показано, что, если в условиях Следствия 12.5.1¯ ³¯´√¯¯sup ¯Pθ δ(θ) n(Tn − t(θ)) < x − Φ(x)¯ = O(n−1/2 )xпри n → ∞ и фиксированном θ, то¯¯ ³´√sup ¯¯Pθ δ(θ) nr(TNn − t(θ)) < x − P2r (x)¯¯ =x=O(n−1/2 ),если12≤ r < ∞,O(n−1/2 log n), если r = 21 ,O(n−r ),если 0 < r < 12 .12.6. Основные результаты и выводы559Таким образом, основной вывод из приведенных выше результатов можно сформулировать следующим образом.
Если число случайных факторов, определяющих наблюдаемое значение случайной величины, само является случайной величиной, распределение которойможет быть приближено гамма-распределением с одинаковыми параметрами (например, является отрицательным биномиальным с вероятностью успеха, близкой к единице, см. Лемму 12.5.2), то те функцииот значений случайных факторов, которые в классической ситуациисчитаются асимптотически нормальными, в действительности являются асимптотически стьюдентовскими.
Следовательно, в силу довольноширокой применимости гамма-моделей с одинаковыми параметрами иотрицательных биномиальных моделей распределение Стьюдента может рассматриваться в задачах прикладной (описательной) статистикикак вполне разумная модель.Необходимо отметить, что в пользу большего внимания прикладных статистиков к распределению Стьюдента также свидетельствуети так называемый энтропийный подход, согласно которому в условиях неопределенности математическую модель стохастической ситуации следует выбирать так, чтобы выбранная модель соответствоваламаксимально возможной (при некоторых разумных условиях) неопределенности. При этом в качестве меры неопределенности выбирается(дифференциальная) энтропия абсолютно непрерывного вероятностного распределения.
Хорошо известно, что при соответствующих ограничениях на носитель и моменты плотности p(x) “наиболее неопределенными” в смысле классической дифференциальной энтропииZ∞H[p] = −p(x) log p(x)dx(12.5.7)−∞являются, например, равномерное распределение (среди всех распределений с ограниченным носителем), показательное распределение (среди всех распределений, сосредоточенных на неотрицательной оси иимеющих конечное математическое ожидание) и нормальное распределение (среди всех распределений, сосредоточенных на всей числовой оси и имеющих конечный второй момент).
Как показано в книге(Kapur, 1989), в классе плотностей p(x), положительных на всей числовой оси и удовлетворяющих условиюZ∞ln(1 + x2 )p(x)dx = c,0 < c < ∞,−∞максимум функционала H[p] достигается на плотности распределения56012. Выборки случайного объемаСтьюдента pγ (x), параметр γ которой зависит от числа c и удовлетворяет уравнению³γ + 1´³γ ´ψ−ψ= c,22где ψ(z) – дигамма-функция, ψ(z) = Γ0 (z)/Γ(z). (Интересно отметить,что и в цитируемой книге (Kapur, 1989) данное распределение не распознано как распределение Стьюдента, а названо “обобщенным распределением Коши”.)Более того, в работе (Tsallis, de Souza and Maynard, 1995) показано,что если вместо (12.5.7) в качестве меры неопределенности рассмотретьобобщенную q-энтропию (non-extensive entropy)·¸Z∞1qHq [p] =1−p (x)dx ,q−1q ∈ IR−∞(для которой функционал (12.5.7) является предельным случаем приq → 1), то для 1 < q < 3 максимум функционала Hq [p] при условияхZ∞Z∞x2 pq (x)dx = 1xp(x)dx = 0 и−∞−∞доставляет распределение Стьюдента с параметром γ = (3 − q)/(q − 1).12.6.5Случай малого “числа степеней свободы”Выше мы уже упоминали, что отрицательное биномиальное распределение (как мы убедились, тесно связанное с распределением СтьюдентаСледствием 12.5.1), при натуральном r может быть интерпретированов терминах испытаний Бернулли, проведенных до r-й неудачи.
В тоже время, особенно в задачах, связанных с анализом больших рисков,большой интерес представляет изучение распределения Стьюдента смалым параметром r, то есть с очень тяжелыми хвостами. Более того, можно показать, что при γ = 2r → 0 максимум плотности pγ (x)√распределения Стьюдента (см. (12.5.1)) стремится к нулю как O( γ).Одновременно хвосты распределения Стьюдента становятся все болееи более тяжелыми. Поэтому распределение Стьюдента с малым параметром может рассматриваться как некий аналог равномерного распределения на бесконечном интервале.Чтобы Следствие 12.5.1 можно было использовать и в такой ситуации, следует разобраться, что из себя представляет отрицательное12.6.
Основные результаты и выводы561биномиальное распределение, то есть как оно может быть проинтерпретировано, при 0 < r < 1. Мы приведем два примера такой интерпретации.Пример 12.5.1. Этот пример хорошо знаком. Скажем, в книге (Кендалл и Стьюарт, 1966) он приведен со ссылкой на работу(Greenwood and Yule, 1920). Также см. Пример 7.6.1.
Рассмотрим случайную величину Mp,r , имеющую смешанное пуассоновское распределениеP(Mp,r = k) = E exp{−Ur,p/(1−p) }kUr,p/(1−p),k!k = 0, 1, 2, . . . ,где Ur,p/(1−p) – случайная величина, имеющая гамма-распределение спараметром формы r и параметром масштаба p/(1 − p). Легко убедиться, что безусловное распределение случайной величины Mp,r имеет видkP(Mp,r = k) = Cr+k−1pr (1 − p)k ,k = 0, 1, 2, . . .
,(12.5.8)Несложно убедиться, что при этом Mp,r = Np,r −1, где, как и ранее, Np,r– случайная величина, имеющая отрицательное биномиальное распределение с параметрами r и p (см. (12.5.5)).Таким образом, если сначала реализуется значение u случайной величины Ur,p/(1−p) с гамма-распределением Gr,p/(1−p) , а затем реализуетсязначение случайной величины Mp,r , имеющей пуассоновское распределение, параметр которого равен полученному значению u, то, прибавивединицу к итоговой реализации случайной величины Mp,r , мы получаем реализацию отрицательной биномиальной случайной величины Np,rс параметрами r и p.
При этом требуемая асимптотика p → 0 (гарантирующая применимость Следствия 12.5.1) и r → 0 для Np,r и P2r (x)естественно возникает как аналогичная асимптотика для Ur,p/(1−p) .Пример 12.5.2. Вновь наряду со случайной величиной Np,r , введенной выше, рассмотрим случайную величину Mp,r = Np,r − 1, имеющую распределение (12.5.8). Рассмотрим независимые одинаково распределенные неотрицательные целочисленные случайные величиныZ1 , Z2 , . . ., каждая из которых имеет производящую функциюp(z) =log[1 − (1 − p)z],log p|z| ≤ 1,где p ∈ (0, 1). Эта производящая функция задает так называемое логарифмическое распределение ФишераP(Z1 = k) =(1 − p)k,k log pk = 1, 2, .
. .56212. Выборки случайного объема(Кендалл и Стьюарт, 1966). Пусть N – случайная величина, имеющаяраспределение Пуассона с параметром µ > 0, независимая от случайных величин Z1 , Z2 , . . . ПоложимS = Z1 + . . . + ZN .Если N = 0, то полагаем S = 0.Можно показать (Quenouille, 1949), (Gurland, 1957), что в таком случае числа qn в представлении обобщенной пуассоновской производящейфункции случайной величины SEz S =∞Xqn z n = exp {µ(p(z) − 1)},|z| ≤ 1,n=0равныnqn = Cn+r−1pr (1 − p)n ,гдеr = −µ.log pn = 0, 1, 2, . .
. ,(12.5.9)Другими словами, в рассматриваемом случае распределение пуассоновской случайной суммы S совпадает с распределением (12.5.8) случайной величины Mp,r при r, удовлетворяющем соотношению (12.5.9).Таким образом, отрицательное биномиальное распределение с параметрами r и p можно интерпретировать как сдвинутое на единицураспределение суммы случайного числа независимых одинаково распределенных случайных величин, в которой слагаемые имеют логарифмическое распределение с параметром p, а число слагаемых имеетпуассоновское распределение с параметром µ = r log p1 .
При этом требуемое соотношение r < 1 выполняется, если µ < log p1 , а распределениеСтьюдента с r → 0 может выступать в качестве асимптотической аппроксимации, основанной на Следствии 12.5.1, если µ = µ(p) = o( log p1 )при p → 0.Список литературы1. М. Абрамовиц и И. М. Стиган (ред.) Справочник по специальнымфункциям с формулами, графиками и таблицами. “Наука”, Москва,1979.2. Т. А. Азларов, А.
А. Джамирзаев и И. Н. Мамуров. Предельные теоремы для распределений порядковых статистик при случайном объемевыборки. – Узбекский матем. журнал, 1991, №1, с. 3-13.3. С. А. Айвазян, И. С. Енюков и Л. Д. Мешалкин. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. “Финансы и статистика”, Москва, 1983.4. С. А. Айвазян, В. М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
