1-16 (809193), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

когда центробежные силы, действующие начастицы жидкости, значительно превышаютсилы тяжести этих же частиц и ими можнопренебречь.4-Яроц ВВРассмотрим пример. Имеем цилиндрический сосуд радиусом – r = 100 мм, который вращаетсявокруг горизонтальной оси с постоянным числом оборотов - n = 500 об/мин.Следовательно, ω = 52,33 рад/с.j = ω2 r = 2738,4 · 0,1 = 273,84 м/с2 >> g = 9,81 м/с2.Для получения закона распределения давления вновь воспользуемся уравнением Эйлера:dp =  (qx.dx+qy.dy+ qz.dz).В нашем случае имеем:qx = 2x;qy = 0;qz= 2z.Подставив эти значения в уравнение Эйлера, получаем:dp =  2( x· dx + z· dz).Проинтегрировав, получим:p= ρω2 2ω2 r 2( x + z 2 ) + C или p = ρ+C22При начальных условиях: r = ro, p = po, определим значение постоянной интегрирования С, иподставив его в выражение для p, получаем выражение:ω2 2p = p0 + ρ( r - r02 ) ,2определяющеезакон распределения давления в объёме жидкости, вращающейся вокруггоризонтальной оси,гдеp0 – давление в точках цилиндрической поверхности радиуса r0 ;p – давление в точках цилиндрической поверхности произвольного радиуса r .ПУ представляют собой цилиндрическиесовпадающими с осью сосуда.поверхностисосями,прилюбомЗакон распределения давления по радиусу – параболический.Формулаопределениядавленияможетприменятьсярасположении оси вращения сосуда, если сила тяжести мала посравнению с центробежной силой.Яроц ВВ17 лекция.ГИДРОДИНАМИКА.Задачи, решаемые гидродинамикой бывают внешние и внутренние.

Эта классификация связанас характером твёрдых границ, с которыми соприкасается поток жидкости.Обтекание жидкостью или газомтвёрдых тел(внешний поток)Характер обтекания потока зависит отформы канала(внутренний поток)Предметом нашего изучения будет вторая задача (т.е. внутренний поток).Различают два вида течения жидкости - безнапорное течение (т.е. течение в открытыхруслах) и напорное течение (т.е. течение с потоками без СП и с давлением, отличным отатмосферного, а именно - течение внутри трубопроводов, насадков, элементов гидромашин и т.д.).Одним из основных методов изучения сложного движения легко деформируемых газов ижидкостей является метод физического поля, который был предложен Эйлером.В отличие от классического метода механики в методе Эйлера не рассматриваются траекториидвижения отдельных частиц, а фиксируется наблюдение на неподвижной точке.Скорости рассматриваются относительно неподвижной системы координат.Составляющие скоростиυx, υy, υz зависят от нахождения точки в пространстве, т.е.

откоординат x, y, z и времени t.Совокупность этих векторов скоростей даёт поле вектора скорости:Второй характеристикой потока является поле давления:υ = f (x, y, z, t).p = f (x, y, z, t).Задача гидродинамики – найти эти поля.Течение же жидкости м.б. установившимся (стационарным)илинеустановившимся(нестационарным).Установившимся называется течение жидкости, при котором давление и скоростьявляются функциями координат и не зависят от времени:p = f1 (x, y, z), υ = f2 (x, y, z).В частном случае установившееся течение м.

б. равномерным, когда скорость каждой частицы неизменяется при изменении её координат. Поле скоростей остаётся неизменным вдоль потока.Примеры установившегося течения:- истечение жидкости из сосуда, в котором поддерживается постоянный уровень;- движение жидкости в трубопроводе, создаваемое центробежным насосом с постоянной частотойвращения вала.Яроц ВВ2Неустановившимсяназываетсятечениежидкости,характеристикикоторогоизменяются во времени в точках рассматриваемого пространства.При неустановившемся течении давление и скорость зависят от координат и от времени:p = f1 (x, y, z, t), υ = f2 (x, y, z, t).Примеры неустановившегося течения:- быстрое истечение жидкости из сосуда через отверстие в дне;- движение во всасывающей или напорной трубе поршневого насоса, поршень которого совершаетвозвратно-поступательное движение.В дальнейшем будем рассматривать, главным образом, установившиеся течения и лишьнекоторые частные случаи неустановившегося течения.Жидкость будемрассматривать как идеальную, т.е.

такую воображаемую жидкость,которая лишена вязкости.Основные понятия и определения.1) Линия тока.Линией тока называется кривая, в каждой точке которой вектор скорости в данныймомент времени направлен по касательной к этой кривой.Линия тока не является в общем случае траекториейдвижения элементарной частицы, но при установившемсятечении линия тока совпадает с траекторией частицы ине изменяет своей формы с течением времени.2) Трубка тока.Возьмём в движущейся жидкости бесконечно малый замкнутый контур. Через все его точкипроведём линии тока. Получим трубчатую поверхность.Трубкой тока называется бесконечно малый замкнутый контур, выделенный в данный моментвремени в движущейся жидкости, через все точки которого проведены линии тока.3) Элементарная струйка.Элементарной струйкой называется часть потока, заключенная внутри трубки тока.При стремлении поперёчных размеров струйки к нулю она в пределе стягивается в линию тока.Для установившихся потоков, когда картина трубок с течением времени не изменяется – трубкитока не обмениваются жидкостью (Трубка тока, т.о., является как бы непроницаемой стенкой, аэлементарная струйка представляет собой самостоятельный элементарный поток).В модели идеальной жидкости потоки конечных размеров рассматривают, как совокупностьэлементарных струек.

Соседние струйки из-за различия скоростей скользят одна по другой, но неперемешиваются.Т.е. весь поток можно представить, как совокупность бесконечного множества трубок.Яроц ВВ34) Силы и напряжения в потоке жидкости.При движении реальной (вязкой) жидкости вдоль твёрдой стенки, имеют место как нормальныенапряжения сжатия, так и касательные напряжения.Касательные напряжения обусловлены трением слоёв жидкости и трением о стенки канала.Поэтому, наибольшее значение скорость жидкости достигает в центральной части потока, а помере приближения к стенке она уменьшается практически до нуля.При y = 0,=> υ = 0.Уравнения гидродинамики для элементарной струйки идеальной жидкости.а) Уравнение расхода.Возьмём одну из элементарных струек, составляющих поток и выделим сечениями 1 и 2 участокпроизвольной длины.Пусть площадь 1-го сечения dF1, скоростьυ1, давление p1, а 2-го сечения соответственно –dF2, υ2, p2 .За бесконечно малый отрезок времени dtвыделенный участок струйки переместиться вположение 1’ – 2’.Расстояния соответственно будут равны –dS1 и dS2.Тогда получим:dS1 = υ1 dt; dS2 = υ2 dt.В этом случае должен выполняться закон сохранения энергии, т.е.

за время dt масса жидкости,находящаяся между сечениями 1 и 2, переместится в положение 1’ и 2’, т.е.m = const.Если считать, что жидкость несжимаема, тоV1-2 = V1’-2’ , т.е.гдеV1-1’ = V2-2’ = dV,dV – объём частиц жидкости, прошедший через сечение за время dt.Тогда получаем:dV = dF ·dS = dFυdt = const .Отсюда получаем:dVм3υdF == dQ = const , []dtс- уравнение расхода.Расход – это объём жидкости, проходящий через каждое сечение трубки тока в единицувремени.Яроц ВВ4б) Уравнение балансов энергии (напоров).Выделим в потоке при установившемся движении идеальной жидкости, находящейся в поле силтяжести, элементарную струйку.Рассмотрим часть струйки, находящейся между сечениями 1 и 2.Пусть площадь 1-го сечения dF1, скорость υ1,давлениеp1, а высота расположения ц.т. сечения,отсчитанная от произвольной горизонтальной плоскостисравнения, равна z1.Во 2-м сечении соответственно имеем - dF2, υ2, p2, z2.Воспользуемся теоремой кинетической энергии(т.е.

когда приращение кинетической энергии равносумме работ сил, действующих на сечение):dT = dA1 + dA2,гдеdT – приращение кинетической энергии, на каком-то малом промежутке времени dt.В свою очередьdT = T1’-2’ - T1-2 .Но так как движение жидкости установившееся, то запас энергии постоянен, т.е.:Отсюда получаем:υ22υ12dT = T2 - 2' - T1- 1' = ρdV- ρdV.22υ22 - υ12dT = ρdV.2(1)Но так как, жидкость несжимаема, то работа внутренних сил равна нулю, т.е.:dA2 = 0.Тогда, имеем:гдеdT = dA1. Однако, dA1 = dAn + dAm ,dAn - работа поверхностных сил (или работа сил давления);dAm - работа массовых сил (или работа сил тяжести).В свою очередь, работа поверхностных сил равна:dAn = p1dF1dS1 – p2dF2dS2 ,гдеp1 , p2 - давления в сечениях 1 и 2 соответственно.Но так как, dF1dS1 = dF2dS2 = dV , тогда получаем:dAn = (p1 – p2)·dV .(2)Работа массовых сил равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположнымзнаком:dAm = -(П1’-2’ – П1-2) = -(П2-2’ – П1-1’) = -(ρgdV·z2 - ρgdV·z1) = ρgdV(z1 – z2)Подставляя в уравнение (1) уравнения (2) и (3), получаем:(3)Яроц ВВ5υ22 - υ12ρdV= ( p1 - p2 )dV + ρgdV ( z1 - z2 ).2Но, так как ρdV = dm , то тогда получим:p1 υ12p2 υ22(gz1 ++ )dm = ( gz2 ++ )dm .ρ2ρ2Сумма 3-х слагаемых слева и справа имеет энергетический смысл, т.е.:E1 = E2 , илиp υ 2 ДжE = gz + + , [] - удельная механическая энергия движущейся жидкости (энергияρ 2кгжидкости, отнесённая к единице массы жидкости) ,,гдеgz - удельная потенциальная энергия положения;p- удельная потенциальная энергия давления;ρυ2- удельная кинетическая энергия.2Введём понятие элементарного веса, т.е.dG = g·dm .Тогда получим:pυ2H =z++, [ м ] - полная удельная механическая энергия жидкости в сеченииρg 2 g(или полный напор),гдеz - геометрический напор;p- пьезометрический напор;ρgυ2- динамический (скоростной) напор.2gВ итоге приходим к выводу, что:H1 = H2 = Hi = const- Уравнение Бернулли.Итак, для идеальной движущейся жидкости сумма трёх напоров (высот) – геометрического,пьезометрического и скоростного есть величина постоянная вдоль струйки.На рисунке показано изменение всех напоров вдоль струйки.6Яроц ВВЛиния изменения уровней жидкости впьезометрахназываетсяпьезометрической линией.Поскольку в уравнении Бернуллисуммарный напор постоянен, из уравнениярасхода следует:1) При уменьшении площади поперечногосечения струйки, скорость течения жидкостиувеличивается и увеличивается скоростнойнапор,апьезометрическийнапоруменьшается;2) При увеличении площади поперёчногосечения струйки, скорость уменьшается, апьезомет-рический напор возрастает.На рисунке в сечении 3 - 3 та жеплощадь, что и сечение 1-1, и поэтомускоростные напоры одинаковы.1-Яроц ВВЛекция № 8.Дифференциальные уравнения движенияидеальной жидкости (уравнения Эйлера).В пространстве, заполненном движущейся идеальной жидкостью плотностьюρ, выделимэлементарный параллелепипед, рёбра которого со сторонами dx, dy, dz параллельны осям координат.На этот элементарный объём действуют:а) поверхностные силы (силы давления от нормальных и касательных напряжений).Но т.к., жидкость идеальная, то при её движении отсутствуют силы внутреннего трения, т.е.касательные напряжения τ = 0.б) массовые силы.Пусть в центре тяжести параллелепипеда в точке О гидростатическое давление равно p,координаты этой точки – x, y, z.

Характеристики

Список файлов лекций