История тензорного исчисления и его применение в физике (806089), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Это делает физику твердого тела важным разделом физики, пожалуй, самым близким к потребностям практической деятельности людей. Нс случайно работа большинства физикови инженеров непосредственно связана с физикой твердого тела.Большая часть твердых тел имеет кристаллическую структуру, в которой атомы и молекулы располагаются периодически, подобно строительным кирпичикам.Такое расположение атомов значительно облегчает изучение твердых тел.
Периодическое расположение распространяется на большие области, называемые кристаллическими зернами. Зерна содержат огромное число атомов и имеют размеры порядкамикрометра. В случае поликристаллического вещества, как правило, эти зерна сориентированы случайно. Иногда зерна имеют почти одинаковую ориентацию, в этомслучае говорят о монокристаллической структуре вещества, а зерна называют блоками.
Такие монокристаллы обладают разными свойствами по различным направлениям — анизотропией физических свойств. Эта особенность монокристаллов позволяетна их основе создавать уникальные преобразователи.Физика твердого тела изучает и аморфные вещества, в которых нет периодического расположения атомов, как в кристаллах. Атомы в таких веществах сохраняютнекоторые элементы периодического расположения только на малых расстояниях29Рис. 13: Монокристалл солидруг от друга. Такие вещества обладают особыми физическими свойствами, обусловленными их атомной структурой; области применения аморфных материаловпостоянно расширяются.Для решения важнейшей задачи физики твердого тела — установления связимежду структурой и свойствами твердых тел — применяются разнообразные методы структурных исследований и точные методики измерения физических свойстввеществ, использующие последние достижения науки и техники.
Современные электронные микроскопы позволяют различить детали структуры размером в несколькоатомов. С использованием дифракционных методов в ряде случаев можно определять средние расстояния между атомами с точностью до 4-5 знака. Методы микрозондного анализа позволяют определить состав, а иногда и структуру областей вещества малого размера — доли микрометра. Различные резонансные методы, напримерядерный магнитный и гамма-резонанс, применяют для выявления незначительныхизменений электромагнитных кристаллических полей, вызванных перегруппировками атомов. Создание научных приборов для определения структуры веществ превратилось в особую отрасль промышленности.Физика твердого тела эффективно использует достижения и методы всех разделов физики и в первую очередь квантовой механики, молекулярной, атомной истатистической физики.
Теория физики твердого тела базируется на современномматематическом аппарате, причем многие разделы математики быстро развивались,отчасти, благодаря необходимости решать задачи физики твердого тела.Использование методов физики твердого тела в материаловедении позволи30ло значительно облегчить трудоемкую задачу создания новых и совершенствованиясуществующих материалов.
К современному материалу предъявляются десятки различных требований, удовлетворить которые путем эмпирического перебора вариантов составов и термообработок материала в разумные сроки невозможно. Решить этузадачу можно только путем направленного улучшения свойств материала на основезнания закономерностей явлений, изучаемых физикой твердого тела, и использования моделирования этих явлений. Многие успехи современной техники и технологииРис.
14: Полупроводниковый материал - германийобязаны физике твердого тела. Так, пожалуй, главная, радикально изменившая нашужизнь техническая революция XX в.: создание полупроводниковых микроэлементовэлектроники, произошла благодаря успешному развитию физики полупроводников— одного из разделов физики твердого тела.При использовании новых материалов появляется возможность проектирования новых машин с недостижимыми ранее параметрами. Удачными примерами могут служить авиационные и ракетные двигатели, параметры которых определяютсясвойствами применяемых материалов.
Часто такие машины и материалы работают в экстремальных условиях: высокие давление и температура, повышенный фонрадиации, большие нагрузки и др. Рациональное использование их возможностейтребует от конструктора глубоких знаний в области физики твердого тела. Физика31Рис. 15: Современный электронный микроскоп для исследования структуры твердоготелатвердого тела эффективно использует достижения и методы всех разделов физикии в первую очередь квантовой механики, молекулярной, атомной и статистическойфизики. Теория физики твердого тела базируется на современном математическомаппарате, причем многие разделы математики быстро развивались, отчасти, благодаря необходимости решать задачи физики твердого тела.[22]Анизотропное расположение атомов в кристаллической решетке обусловливает и анизотропию механических свойств кристаллических твердых тел: прочности,пластичности, внутреннего трения, упругости и др. Данный параграф посвящен изучению упругих свойств кристаллов, причем в случае линейного приближения, когдадеформации малы и пропорциональны приложенным к телу силам.
Математическоеописание упругих свойств твердых тел даже в линейном приближении весьма громоздкое, поскольку как деформации, так и напряжения твердого тела описываютсятензорами 2-го ранга, а связь между ними — еще более сложными тензорами 4-горанга.Тензор напряжений. Для описания жидкостей и газов используют скалярную величину — давление р, позволяющую вычислять силу F, которая действуетна малый элемент поверхности S произвольной ориентации, с помощью следующегосоотношения:⃗⃗ = Зависимость между силой F, сжимающей (или растягивающей) изотропный32цилиндрический образец вещества вдоль его оси, и площадью его сечения S описывается соотношением = Такая деформация, называемая деформацией одноосного сжатия, встречается при изучении механических свойств образцов, а также во многих инженерныхконструкциях.
Величину называют механическим напряжением.Рис. 16: К вычислению силы, действующей на элемент площади в твердом телеВ общем случае деформации твердых тел существуют тангенциальные компоненты сил и аналогом давления является тензор напряжений, определяемый следующим образом:⎧⎪⎪−1 = 11 1 + 12 2 + 13 3⎪⎨−2 = 21 1 + 22 2 + 23 3⎪⎪⎪⎩ − = + + 331 132 233 3Чтобы изучить свойства тензора механических напряжений и физическийсмысл его компонент, рассматривают однородное напряжение, при котором все компоненты тензора не зависят от выбора точки в пространстве. Вырежем куб с ребрамиединичной длины, параллельными осям декартовой системы координат, и центром вначале системы координат.Пусть на этот куб действуют только силы, приложенные к поверхностям его33Рис.
17: Компоненты тензора напряжений (а) и их проекции на плоскость О1 х2 (б)граней, а объемные силы, например силы тяжести, не действуют. К противоположным граням куба будут приложены силы, одинаковые по величине и противоположные по направлению; скрытые гранями куба силы на рисунке не показаны. Проекциясилы на ось приложенной к грани с индексом у, численно равна компоненте тензора поскольку площади поверхностей всех граней равны единице. Ясно, что компонента соответствует напряжению растяжения куба по оси , a 12 — действиюсилы, параллельной оси Ох, приложенной к грани 2Тензор деформаций. Деформацию твердого тела задают с помощью векторной функции⃗(⃗) = [1 (1 , 2 , 3 ); 1 (2 , 2 , 3 ); 3 (1 , 2 , 3 )],описывающей вектор смещения любой точки с радиус-вектором = (1 , 2 , 3 )при деформации среды. Новое положение этой точки будет задаваться вектором⃗′ = ⃗ + ⃗. Ясно, что деформации твердого тела могут появиться, если смещения еготочек разные:⎧1⎪⎪d 1 =d 1 +⎪⎪1⎪⎨2d 2 =d 1 +⎪1⎪⎪3⎪⎪⎩ d 3 =d 1 +111d 2 +d 32322d 2 +d 32333d 2 +d 32334Рис.
18: Смещение концов вектора 0 в плоскости 1 2 при деформацииВ матричной форме имеемd ⃗ = ( ) d ⃗Диагональная компонента имеет смысл относительного удлинения отрезкаd , параллельного оси , а не диагональная компонента — смещения конца отрезка (относительно его начала), параллельного оси , вдоль оси поделенногона длину этого отрезка.Рис. 19: Смещение квадрата в плоскости 1 2 при деформации (а) и при вращении(б)Тензор е принято раскладывать на сумму двух тензоров: симметричного иантисимметричного , компоненты которых можно вычислить следующим образом: = + − ; =2235Симметричный тензор, называемый тензором деформации, характеризует деформацию среды, а антисимметричный описывает вращение среды как целого объекта.
Вматричном виде:⎛⎞⎛⎞0 00 − 0⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟ = ⎜ 0 0⎟ ; = ⎜ 0 0⎟⎝⎠⎝⎠0 0 00 0 0Тензор модулей упругости. При малых деформациях, как показывают экспериментальные исследования, выполняется обобщенный закон Гука, согласно которому компоненты тензоров напряжений и деформаций связаны меду собойсоотношением: =3 ∑︁3∑︁ , , = 1, 2, 3=1 =1Тензор s 4-го ранга называют тензором постоянных упругой податливости.Можно вычислить и обратный ему тензор модулей упругости с.
Он связывает величины и , и более удобен для анализа упругих свойств твердого тела: =33 ∑︁∑︁ , , = 1, 2, 3=1 =1Тензор с содержит 34 = 81 компоненту. Можно доказать, что в силу требования симметрии тензоров , и c остается 36 независимых компонент:⎛⎞00⎜ 11 12 12⎟⎜⎟⎜12 11 12 000⎟⎜⎟⎜⎟⎜12 12 11 000⎟⎟=⎜⎜⎟⎜000 44 00⎟⎜⎟⎜⎟⎜0000 44 0 ⎟⎝⎠00000 44Рис. 20: Деформация сдвига36Список используемой литературы[1] Димитриенко Ю.И. Тензорный анализ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
