История тензорного исчисления и его применение в физике (806089), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Такое понимание ее места в алгебре сложилось лишь запоследние 30 лет под влиянием бурного развития алгебраической геометрии, теорииалгебраических групп и их представлений и коммутативной алгебры. Это развитие привело к привлечению в теорию инвариантов новых мощных геометрическихметодов, позволивших не только прояснить простой геометрический смысл старыхпостроений и доказательств и решить многие старые задачи, но и обнаружить новые,неведомые классикам, интригующие направления и приложения.[4]2.2Теория группТеория групп - раздел общей алгебры, изучающий алгебраические структуры,называемые группами, и их свойства. Группа является центральным понятием в общей алгебре, так как многие важные алгебраические структуры, такие как кольца,поля, векторные пространства, являются группами с расширенным набором опера5ций и аксиом.
Группы возникают во всех областях математики, и методы теориигрупп оказывают сильное влияние на многие разделы алгебры. В процессе развитиятеории групп построен мощный инструментарий, во многом определивший специфику общей алгебры в целом, сформирован собственный глоссарий, элементы которогоактивно заимствуются смежными разделами математики и приложениями. Наиболее развитые ветви теории групп — линейные алгебраические группы и группы Ли— стали самостоятельными областями математики.Различные физические системы, такие как кристаллы или атом водорода, обладают симметриями, которые можно смоделировать группами симметрии, такимобразом находя важные применения теории групп и тесно связанной с ней теориипредставлений в физике и химии.Одним из наиболее значительных математических прорывов XX века сталаполная классификация простых конечных групп — результат совместных усилиймногих математиков, занимающий более 10 тыс.
печатных страниц, основной массив которых опубликован с 1960 по 1980 годы. стала одним из наиболее развитыхразделов современной математической физики.2.3Теория представленийТеория представлений — раздел математики, изучающий абстрактные алгеб-раические структуры с помощью представления их элементов в виде линейных преобразований векторных пространств. В сущности, представление делает абстрактные алгебраические объекты более конкретными, описывая их элементы матрицами, а операции сложения и умножения этих объектов — сложением и умножениемматриц. Среди объектов, поддающихся такому описанию, находятся группы, ассоциативные алгебры и алгебры Ли. Наиболее известной (и, исторически, возникшейпервой) является теория представлений групп.Теория представлений является мощным инструментом, потому что она сводит задачи общей алгебры к задачам линейной алгебры, предмет которой хорошопонятен.
Кроме того, векторное пространство, с помощью которого представленагруппа, может быть бесконечномерным, и если добавить к нему структуру гильбертова пространства, можно будет применить методы математического анализа.Теория представлений также имеет важное значение для физики, так как она, например, описывает, как группа симметрий физической системы влияет на решения6уравнений, описывающих эту систему.Поразительная особенность теории представлений — это её распространённость в математике. Первый аспект этого — разнообразные приложения теории представлений: в дополнение к своему влиянию на алгебру она освещает и значительнообобщает анализ Фурье с помощью гармонического анализа, она тесно связана сгеометрией через теорию инвариантов и эрлангенскую программу, оказывает большое влияние на теорию чисел через автоморфные формы и программу Ленглендса.Вторым аспектом является разнообразие подходов к теории представлений.
Одни ите же объекты могут быть изучены с помощью методов алгебраической геометрии,теории модулей, аналитической теории чисел, дифференциальной геометрии, теорииоператоров, алгебраической комбинаторики и топологии.Успех теории представлений привёл к многочисленным её обобщениям. Одно из наиболее общих использует теорию категорий.
Алгебраические объекты, ккоторым применяется теория представлений, могут быть рассмотрены как объекты определённой категории, а представления — как функторы из данной категориив категорию векторных пространств. Такое описание указывает на два очевидныхобобщения: во-первых, алгебраические объекты могут быть заменены на более общие категории; во-вторых, категория векторных пространств может быть замененадругими хорошо понятными категориями. [5]2.4Теория индифферентных тензоровТеория индифферентных тензоров (или иначе тензоров с внешней симметрией- по А.В.Шубникову, или еще иначе материальных тензоров, задающих физическиесвойства: упругость, тепловое расширение, теплопроводность, пьезоэлектрическийэффект, электропроводность и многие другие) активно начала развиваться в XXвеке вслед за основополагающими работами Фойгта.
Весомый вклад в эту областьвнесли российские ученые А.В.Шубников и его ученики, Ю.И.Сиро-тин, Н.В.Белов,И.С.Желудев, Ф.И.Федоров, П.Бехтерев, Н.Г.Ченцов, С.Г.Лехницкий, М.П.Шаскольская. Усилиями этих и многих других ученых теория описания линейных свойстванизотропных сред (кристаллов, монокристаллов, композиционных материалов, древесины и других) была в значительной степени завершена. Тем не менее многие важные вопросы остались до сих пор невыясненными, так только в 1983-1984 гг. польскому ученому Я.Рыхлевскому удалось привести тензор четвертого ранга модулей7упругости к диагональному виду и исследовать его свойства.2.5Теория упругости анизотропных материаловУпругость анизотропных материалов — раздел механики, объектом изучениякоторого является модель материала или конструкции.
Модель наделяется теми илииными свойствами, характерными для данного материала.Задачей упругости анизотропных материалов является изучение равновесиявнутреннего состояния материалов и тел.Внутреннее состояние характеризуется с помощью ряда величин: напряжения, деформации, температуры и т. д. Построение модели материала основывается на понятии материального континуума1. При изучении внутреннего состояния вупругости анизотропных материалов рассматривается макроскопическое поведениематериалов.Задачи упругости анизотропных материалов во многом близки к задачам сопротивления материалов, однако, в сопротивлении материалов напряжения и деформации, характеризующие внутреннее состояние изучаются на основе совокупностейгеометрических и физических гипотез, при этом напряжения и деформации рассчитываются с помощью простых математических формул, которые сами по себеявляются достаточно приближенными.
В упругости анизотропных материалов внутреннее состояние изучается с помощью математических моделей, соответствующихзаконам механики.[6]Рис. 1: Схема разложения векторов напряженийВ исходной системе координат матрица тензора напряжений имеет следующий8вид:⎛11 12 13⎞⎜⎟⎜⎟ = ⎜21 22 23 ⎟⎝⎠31 32 332.6Дифракционный и резонансный структурный анализВ зависимости от мест, занимаемых атомами в периодической системе эле-ментов Д. И. Менделеева, их физико-химические свойства закономерно изменяются.Наиболее интересна область температур от О К до нескольких тысяч градусов.
В этойобласти под действием сил химических связей и молекулярных сил происходит дальнейшая агрегация вещества, образуются устойчивые группы атомов — молекулы икристаллы. Совокупность атомов переходит в конденсированное состояние, возникает многообразный мир окружающих нас простых и сложных газообразных, жидких итвердых тел, включающий в себя и биологические объекты. Вблизи абсолютного нуля температуры наиболее ярко проявляются квантовые свойства конденсированныхсистем.Знание законов межатомного взаимодействия и статистических методов расчета позволяет написать уравнения для потенциальной энергии взаимодействия любойконфигурации атомов и для свободной энергии конденсированной системы.
В принципе этих уравнений достаточно для нахождения вариационными методами конфигурации и состояния системы, отвечающих наименьшим значениям энергии и, следовательно, для априорного расчета структуры в равновесном состоянии системы.Но даже и в этом случае, не говоря уже о часто встречающихся в твердых телах метастабильных состояниях, соответствующие расчеты нельзя довести до конца из-заматематических трудностей. Поэтому единственно надежным путем остается экспериментальное определение атомной структуры.Основную задачу структурного анализа можно сформулировать весьма просто. Дан вещественный объект (кристалл, аморфное тело, жидкость, газ) с неизвестной функцией микрораспределения плотности ().
Нужно определить эту функцию.Для этой цели используется рассеяние коротковолнового излучения объектом. Картина рассеяния содержит информацию, необходимую для определения атомной, а вмагнетиках — и магнитной структуры вещества. Действительно, как мы покажемнесколько ниже, явление рассеяния производит фурье-анализ и позволяет получитьспектр плотности Ф (Н) объекта. С помощью фурье-синтеза по спектру Ф (Н) можно9вычислить функцию плотности (). По этой причине теория структурного анализа явно или неявно использует математический аппарат представления функций спомощью рядов и интегралов Фурье.Рис. 2: Кривые температурных зависимостей параметров элементарной ячейки (а) иглавных КТР (б) замещенного ортоферритаТепловое расширение большинства кристаллов анизотропно и описывается спомощью тензора теплового расширения. При однородном нагревании или охлаждении кристалла тензор термических деформаций [ ] связан с тензором тепловогорасширения [ ] следующим образом:[ ] = [ ] d Число независимых компонент тензора теплового расширения [ ] определяется сингонией кристалла и равно единице для кубических кристаллов, двум —для одноосных (тетрагональных и гексагональных) и трем — для ромбических кристаллов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
