1589805298-14c1ac33af4d6144284db1d7334189c4 (804039), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Множитель появляется из-за того, что в среднем молекул движется вдоль оси и от этого количества – слева направо.

Аналогично справа налево проходит масса

.

Тогда полная масса газа, проходящая через площадку за время

. (4)

Пусть на площадке значение плотности равно . Тогда в виду малости можно записать

, , .

Подставляя последнее выражение в (4), получим

, .

Аналогичным образом можно получить

, .

В проведенном анализе мы считали молекулы твердыми шариками радиуса . В такой модели из выражения (3) следует длина свободного пробега не зависит от температуры. Тогда можно считать, что или . Средняя скорость молекул идеального газа . Отсюда при и при . Из выражений для и следует, что эти коэффициенты переноса не зависят от при и пропор-циональны при .

Лекция 6. Нестационарные процессы переноса. Перенос в разреженных газах.

Процессы переноса называются стационарными, если градиент соответствующей физичес-кой величины не зависит от времени. Такой процесс возможен только при наличии соответ-ствущих источников. Например, в процессе стационарной теплопроводности всегда при-сутствует источник тепла и некоторые тела, поглощающие тепло. При этом градиент температуры не меняется со временем в каждой точке. Удобно для описания процессов переноса использовать понятие потока соответствующей переносимой величины. Например, поток тепла равен количеству тепла, переносимому в единицу времени через единицу площади перпендикулярно к направлению градиента температуры

.

Тогда уравнение теплопроводности можно представить в виде

. (1)

Отсюда следует, что при стационарной теплопроводности поток тепла в любой плоскости, перпендикулярной к направлению градиента температуры не изменяется со временем.

В нестационарных процессах переноса градиенты физических величин изменяются со временем. При этом, если нет внешних источников, происходит выравнивание этих величин по всему объему. В этом случае важно выяснить, как зависит время установления равнове-сия от параметров физической системы.

Рассмотрим конкретный процесс нестационарной теплопроводности. Два сосуда с газом с объемами , и начальными температурами , соединены трубкой длины с площадью поперечного сечения (рис. 1). Пусть . Будем считать, что вдоль трубки температура изменяется линейно

, где .

За время из одного сосуда в другой перейдет количество тепла

.

При этом в сосуде 1 температура уменьшится на , а в сосуде 2 – увеличится на . Пусть плотность газа равна , а его удельная теплоемкость при постоянном объеме равна . Тогда изменения температуры газа в сосудах можно представить в виде

.

Тогда изменение разности температур за время

.

Таким образом, мы пришли к дифференциальному уравнению для :

, где - постоянная времени теплопроводности , -

приведенный объем. Решение этого уравнения имеет вид

, - начальная разность температур газа в сосудах.

Следовательно, постоянная времени теплопроводности равна характерному времени выравнивания температуры. В выражении для удобно выделить сомножитель, зависящий только от свойств газа

, называемый коэффициентом температуропроводности.

Аналогичным образом можно рассмотреть процесс нестационарной диффузии. В этом случае процесс выравнивания плотности определяется постоянной времени диффузии

.

Общее уравнение нестационарной теплопроводности.

Рассмотрим изменение количества тепла в малом объеме, заключенном между двумя площадками перпендикулярными оси и отстоящими слева и справа от точки на расстоянии (рис. 2). Будем также как и выше считать, что поток тепла имеет место только вдоль оси . Тогда изменение количества тепла в объеме за время равно

.

С помощью разложения в ряд Тейлора в окрестности точки , а также используя уравнение (1), получим

.

С другой стороны можно вычислить через теплоемкость и изменение температуры

Поделив два последних уравнения на и перейдя к пределу при , получим уравнение теплопроводности

.

Явления переноса в разреженных газах.

Разреженный газ (вакуум) – длина свободного пробега молекул сравнима или больше, чем характерный размер сосуда , в котором находится газ, то есть . В этом случае роль длины свободного начинает выполнять среднее расстояние между ударами о стенки и при вычислении коэффициентов переноса можно положить .

Теплопроводность в разреженном газе.

Для идеального газа в обычных условиях (лекция 7) . В разреженном газе , поэтому плотность не сокращается за счет зависимости и возникает линейная зависи-мость от давления газа

( - масса молекулы газа), то есть .

Такая зависимость реализуется в сосудах с двойными стенками, между которыми находится разреженный газ (сосуд Дьюара, термос). Чем меньше давление разреженного газа тем меньше теплопроводность стенок такого сосуда.

Вытекание разреженного газа через малое отверстие (эффузия).

Отверстие считаем малым, если его диаметр . Тогда скорость вытекания молекул газа

. (2)

Если при этом в сосуде находится смесь газов, то быстрее вытекает более легкая компо-нента. Это явление используется для разделения изотопов.

Эффект Кнудсена.

Если два сосуда с газом соединены тонкой трубкой с диаметром , то при равновесии

. Тогда из (2) следует связь между давлениями и температурами .

Лекция 7. Тепловые машины. Второе начало термодинамики. Энтропия.

Из опыта известно, что работу можно произвести только с помощью тел, не находящихся в тепловом равновесии. Но если просто соединить два тела с разными температурами, то система через некоторое время придет к состоянию равновесия и мы в дальнейшем не получим никакой работы. Чтобы вернуть систему в первоначальное состояние, мы должны произвести некоторые изменения в данной системе и в окружающих телах. В связи с этим возникает важное понятие обратимости и необратимости тепловых процессов.

Обратимые процессы.

Процесс в термодинамической системе называется обратимым, если возможно осуществить его в обратном порядке, проходя через все его промежуточные состояния без изменения состояния внешних тел.

Так как каждое состояние в квазистатическом процессе является равновесным, то такой процесс можно считать обратимым.

Необратимые процессы.

Если для данного процесса невозможен обратный процесс без изменения во внешних телах, то он называется необратимым.

Все процессы, сопровождающиеся теплопередачей от нагретого тела к менее нагретому являются необратимыми. Существует много других необратимых процессов, которые мы рассмотрим в дальнейшем.

Тепловая машина.

Л

юбая тепловая машина состоит из трех основных элементов (рис. 1): нагревателя, рабочего тела и охладителя. Ее работа имеет циклический характер. В каждом цикле рабочее тело получает от нагревателя количество тепла и отдает охладителю теплоту . За каждый цикл совершается работа . Здесь , . Эффективность работы тепловой машины характеризуется коэффициентом полезного действия (к.п.д.)

Из сказанного выше можно заключить, что с помощью тепловой машины можно получить максимально возможную работу, если тепловые процессы в ней происходят обратимым образом. На практике это невозможно, так как всегда имеет место контакт тел с разными температурами. Для вычисления максимально возможной работы следует рассмотреть идеальную тепловую машину, в которой все процессы обратимы.

Идеальная тепловая машина. Цикл Карно.

В идеальной тепловой машине рабочим телом являет-ся идеальный газ. С рабочим телом в каждом цикле про-изводится обратимый круговой процесс, назы-ваемый циклом Карно (рис. 2). Он состоит из двух изотерм ( и ) и двух адиабат ( и ). На участке рабочее тело получает тепло от нагрева-теля, а на участке – отдает тепло охладителю.

Для вычисления к.п.д. достаточно вычислить работы и на изотермах. Работа газа на изотерме

.

Из уравнения Пуассона для адиабаты следует, что . Аналогично для получим

, где .

Учитывая, что на изотермах и отсюда можно получить формулу Карно для к.п.д. идеальной тепловой машины

.

Имеют место две фундаментальные теоремы Карно. Приведем их без доказательства.

Теорема 1.

К.п.д. тепловой машины, работающей при данных значениях температур нагревателя и охладителя, не может быть больше, чем к.п.д. машины, работающей по обратимому циклу Карно при тех же температурах нагревателя и охладителя.

Теорема 2.

К.п.д. идеальной тепловой машины не зависит от рабочего тела, а определяется лишь температурами нагревателя и охладителя.

Теоремы Карно явились основой для формулировки второго начала термодинамики (или второго закона термодинамики). Этот фундаментальный закон природы позволяет количест-венно описать направленность процессов в термодинамических системах. Из него также следует ряд общих термодинамических соотношений, справедливых для любого состояния вещества. Существует несколько различных формулировок этого закона.

Характеристики

Список файлов книги