Диссертация (786472), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Для воздуха C  106 .667 и T0  273 . Для нахождения ламинарнойтеплопроводности используется гипотеза подобия вязкости и теплопроводностиCpPr , где C p - теплоемкости при постоянном давлении, задающаяся постояннойв силу использования модели идеального газа, Pr – число Прандтля, предполагаемоеравным 0.7.17Средний тензор вязких напряжений складывается из ламинарной итурбулентной частей ˆ  ˆlam  ˆturb . Ламинарная часть соответствует моделиньютоновской жидкости ˆlam  2 S второго ранга, 2   div u I , где I - единичный тензор3– средний тензор скоростей деформации,  - коэффициентSсдвиговой вязкости,   - коэффициент объемной вязкости, который в данной работеполагается равным нулю. Турбулентная часть (напряжения Рейнольдса) определяетсяиз гипотезы Буссинеска, в соответствии с которой напряжения Рейнольдсапропорциональны градиентам средней скорости u 2 uj2  uki ij   k ij , x j 3xi3 x kˆturbij    u iu j   t (1.4)где t - турбулентная вязкость, k  uiui / 2 - кинетическая энергия турбулентности, ij - символ Кронекера.

Использование повторных индексов предполагаетсуммирование.Коэффициенттурбулентнойтеплопроводностиполагаетсяподобнойтурбулентной вязкости и задается турбулентным числом Прандтля по формулеt tPrt, где турбулентное число Прандтля считается равным 0.9.В двумерном случае осредненные уравнения (1.1-1.3) можно записать вследующую систему    r v r  r u 0,txy r   u 2  p   r u  r  u v  11  12 ,txyxy r   v 2  r v r u v txy p   p   33  12  22 ,xy18 r e   r u  e  p   r v  e  p txyr q1  u11  v12   r q2  u12  v 22 ,xyгдескоростьQ  q1q2имееткомпонентыu  u v wT,векторпотокатеплаq3 T . В плоском случае r  1 ,   0 течение не зависит от координатыz , компоненты скорости w и теплового потока q3 в этом направлении можно считатьнулевыми.

В осесимметричном случае r  y ,   1 в цилиндрической системекоординат радиус-вектор r  x y  T , где  - угловая координата, x – продольнаякоордината, y - радиальная координата, компоненты векторов скорости и тепловогопотока не зависят от угловой координаты, u , q1 - скорость и тепловой поток вдольпродольной координаты, v , q2 - скорость и тепловой поток в направлении радиуса y ,и нулевые скорость и тепловой поток w  0 , q3  0 в направлении координаты  . Втаком случае в уравнения входит напряжения:11  2u  2v  2 u v v  u v         ,  22  2         x  3y  3 x y y  x yv 2v u v,  33  2         y 3y  x yv,y а формулы для касательных напряжений аналогичны соответствующим формулам вдекартовых координатах.1.2.

Модели турбулентностиДля описания характеристик турбулентности будем использовать различныеварианты k-ε моделей и k-ω модель турбулентности. В частности в работе [20] описанодин из наиболее удачных вариантов k-ε модели для расчета расчетах отрывныхтурбулентных течений в соплах и струях, основанный на сочетании k-ε модели Chen[90] с учетом сжимаемой диссипации по [149] и пристеночных функций с учетомградиента давления.Уравненияk-εмоделитурбулентности[120],записанныедлянестационарного течения сжимаемого газа имеют вид: k   ui k     ttxixi  k k   Pk    s   d  ,x i(1.6)19  s   ui  s     ttxixi    s s2  c 1Pk k  c 2  k , xi (1.7)где k – кинетическая энергия турбулентности, σk и σε – турбулентные числа Прандтлядля k и  ,  s - соленоидальная диссипация кинетической энергии турбулентности, d – сжимаемая диссипация, Sk , S - дополнительные источниковые члены, апроизводство кинетической энергии турбулентности определяется по формуле: Pk    u u   grad u  ˆturbij uix j.(1.8)Диссипация кинетической энергии турбулентности может быть записана каксумма двух составляющих – соленоидальной и сжимаемой частей: u  u j  u i2  u  4   i    k    i i    x j xi  x j3  x k 32где i    ijku jxi u   i  xi 2 s  d ,- компоненты вектора завихренности,  ijk - символ Леви-Чивиты.Коэффициент турбулентной вязкости в k-ε модели имеет следующий видk 2t  c f s(1.9)где значения постоянной c  и функции f   0,1 задаются по-разному в различныхвариантах k-ε модели.В двумерном случае уравнения k-ε модели (1.6-1.7) принимают вид:r k r u k r v ktxy k   k   rPk  r  s   d , rDk   rDkx x  y y r  s r u  s r v  stxySS2     rDrDcrPcr, 1 k2x x  y y kkгде производство кинетической энергии турбулентности есть2022  u 2  v  2 v    v u   Pk   T 2               y  y    x y    x где r  1 и   0 для плоского случая, r  y и   1 для осесимметричного случая.Уравнения k-ω модели в тензорной форме [174,176]:   k div  u k  div    Ttk gradk   Pk    S   d  ,  div  u   div    Tt c1 f1 Pkk(1.10) grad   (1.11) c 2 f 2  2 , s  c k .В двумерном случае уравнения (1.10-1.11) становятсяr k  u rk  v rk     r    ttxyx  k rPk   r  s   d , k        r    tk x  y   k    y r   u r  v r        rD   rDtxyx x  y y  c1 rPkk c2 r  2 .Выражение для производства то же, что и в случае k-ε модели (1.8).

Коэффициенттурбулентной вязкости в терминах k-ω модели определен следующим образомt  ck.(1.12)k-ω модель содержит набор эмпирических постоянных [cμ,cε,c1ω,c2ω,σk,σω].Наборы эмпирических постоянных и функций рассматриваемых k-ε и kω моделей турбулентностиНизкорейнольдсовая k-ω модели Wilcox [176] содержит следующий наборфункций, с учетом турбулентного числа Рейнольдса Re t kдля демпфированиякинетической энергии и вязкости у стенки:21Re tR,f Re t1Rc 0 c  f  ,4 c 0   Re t  R 9   c 4100  Re t  1  R  c 2 ,c 1Re tc0 1 R15 1 Re t9 f1R1,3,  k  2 ,    2 , R  6 , R  8 , R1  2.7 .40Для «стандартной» модели k-ε [120]имеет место следующий наборэмпирических постоянныхc   0.09 , f   1 , c1ε=1.44, c2ε=1.92, σk=1.0, σε=1.3.В текущем исследовании кроме стандартной k-ε модели применяются k-εмодели турбулентности с учетом неравновесности.

Турбулентность находится в«равновесии», когда порождение приближенно равно диссипации, т.е.   Pk  s  1.Наличие узких зон с большими градиентами приводит к резкому увеличениюпроизводства кинетической энергии при относительно низком уровне диссипации,откуда возникает необходимость учета неравновесности, то есть отношенияпроизводства к диссипации. В этом случае нарушается предположение о прямойпропорциональности между порождением кинетической энергии турбулентности и«порождением» диссипации энергии турбулентности.

Для учета такой ситуацииразработан целый ряд k-ε моделей турбулентности.В работе [91] предложено добавить в уравнение для εs дополнительный член,который объединяется с членом "порождения" скорости диссипации, т.е.c 1  c 1  c 3 ,и изменить значения некоторых других констант стандартной k-ε модели наследующиеc 1  1.15, c 2  1.9, k  0.75,    1.15, c 3  0.25.(1.13)(1.14)22Для целого ряда течений эта модель позволила заметно улучшить результатырасчетов по сравнению со стандартной k-ε моделью, но в работах отмечается [105,166], что использование данной модели может приводить и к ухудшению результатовв связи с нелинейностью зависимости реального отклонения от равновесия отпараметра λ.

Поэтому в [105] предложены другие постоянные в уравнении для ε:cε1=1.35, cε3=0.05,что приводит к существенно более слабой зависимости от λ, а в работе [166]недостаток модели (1.13-1.14) компенсируется с помощью аналогичной зависимостиот λ члена, описывающего "диссипацию" скорости диссипации, т.е.c 2  c 2  c 4  ,(1.15)где cε2=1.45, cε4=0.45. Использование соотношения (1.15) напрямую привело бы кнеправильному поведению диссипации при затухании турбулентности, поэтомунеобходимо ограничить это соотношение снизуc 2  max 0, c 2  c 4  Другая модель со слабой линейной зависимостью от λ дана в работе [112] и содержитследующий набор констант:c 1  1.43, c 2  1.92,  k  1.0,    1.3, c 3  0.05.Вмодели[90],вводитсядробнорациональнаязависимостьотсоответствующего параметра c  1 .c 1  c 11   3c11В этой модели используются коэффициенты стандартной k-ε модели. Значениеcε3=0.3.В работе [178] получен вариант k-ε модели турбулентности, позволяющийзаметно лучше учесть неравновесные эффекты и называющийся RNG модель.

Вуравнениедляскоростидиссипациидобавляетсядополнительныйчлен,объединяющийся с членом "порождения" скорости диссипации1   / 0 ,c 1  c 11  3 123где   Pk / c   s , η0=4.38, β=0.012. Коэффициенты модели, полученные на основеренормгрупповой теории турбулентности, имеют видc 1  1.42, c 2  1.68,  k     0.7179 , c  0.084 .Вариант RNG модели, предложенный в документации к пакету FIDAP,содержит следующий набор коэффициентов, полученных путем численнойоптимизации:c 1  1.45, c 2  1.83,  k  0.8,    1.15, c   0.0865 .Значения величин η0 и β могут быть получены для данной модели черезостальные коэффициенты в предположении κ=0.41 (как указано в документации).Тогда η0=4.62, β=0.169, что и используется в текущем исследовании.Вариант учета неравновесности, модифицирующий турбулентную вязкость,был предложен в работе [134] и представляется формулой:f   min 1,    ,c   0.09 f  ,где  S ij S ij ,   Wij Wij uj1   uiS ij  2  x jx i- инварианты тензора скоростей деформации uj1   uiитензоразавихренностиWij2  x jx i.Модификация k-ε модели [104], предназначенная для описания свободныхсдвиговых течений при малых турбулентных числах Рейнольдса Re t  k 2увеличиваетдиссипациюпрималыхзначенияхRe tзасчет  ,изменениякоэффициентов c  1 и c  2 по формуле:c  1  1.5 ,2c  2  1.9  1  exp  Re t 36   . 9Различные варианты низкорейнольдсовых моделей используют различныенелинейные зависимости от чисел Рейнольдса для демпфирования турбулентностивблизи стенки.

Одна из моделей, использованных в текущем исследовании относитсяк низкорейнольдсовому варианту k-ε модели и предложена в [108]. Значенияпостоянных и функций в этой модели следующее:24c   0.09 f  ,1  exp  0.0066 R y 2,f 5001exp  0.0055 R y Retc 1  1.44 f1 ,f1  1  0.05 / f  2 ,c 2  1.92 f 2 ,f 2  1  0.03 k  1,   1.3 ,exp  Rt21  0.7 exp  R yгде число Рейнольдса R y   k y  .Еще один вариант низкорейнольдсовой k-ε модели был предложен в [116] исодержит следующий набор функций:c   0.09 f  ,20.5 f   1  exp  0.0165 R y 2  1 ,Retc 1  1.44 f1 ,f 1  1  0.05 / f  3 ,c 2  1.92 f 2 ,f 2  1  exp  R t2 k  1,   1.3 .Учет сжимаемостиСверхзвуковые течения характеризуются сжимаемостью и наличием узкихзон больших градиентов параметров.

Характеристики

Список файлов диссертации