Диссертация (785868), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Рассмотрим поле электрических волн, примемH r  0 . Тогдасистема уравнений (А5) примет вид:   E 0 sin E      Er    r sin E    j r sin H  r ErE  r   j rHr   H j r sin Er  sin H       rH   j rEr   rH  j rEr   (А7)Из равенства нулю радиальной компоненты напряжённости магнитного поляследует соотношение:  E sin E     (А8)Используя приведенный в диссертационной работе алгоритм для решениясистемы уравнений (А7), удобно ввести вспомогательную функцию U. Всоотношении(А8)составляющиеEиEможновыразитьчерезвспомогательную функцию U:1 U  r sin  1 U E  r E (А9)259гдеUUrEE1  2Ur sin  r1  2Ur r(А10)Подставляя (А10) в систему уравнений (А7), можно выразить компоненты H иH :j Ur j UH  r sin  H (А11)Подставив (А10) и (А11) в третье уравнение системы (А10), получаем выражениедля радиальной составляющей вектора напряжённости электрического поля: 3U Erk 2Ur 2  2U k 2U  Err 2(А12)Вспомогательную функцию U можно получить, выразив компоненты поля черезU в четвёртом уравнении системы (А7):  2U U 1  2U r 2 sin   k 2U  sin 2   sin   2 rи придать вид: U  2U2U  k 2U  0 sin 222  r sin    2 rr sin   1(А13)260Аналогично можно рассмотреть поле магнитных волн.

ПримемЕr  0 . Тогдасистема уравнений (2.2.5) примет вид:   E   j r sin H r  sin E      r sin E   j r sin Hr rE   jrHr H  sin H   H r    r sin H   j r sin E r Hr  j rErH r  (А14)Из равенства нулю радиальной компоненты напряжённости электрического поляследует соотношение:H sinH  (А15)Используя алгоритм для решения системы уравнений (А14) удобно ввестивспомогательную функцию V.

В соотношении (А15) составляющие H и Hможно выразить через вспомогательную функцию V:1 V  r sin  1 V H  r Hгде V   Vr(А16)261HH1  2Vr sin  r1  2Vr r(А17)Подставляя (А17) в систему уравнений (А14), можно выразить компоненты E иE :j Vr j VE r sin  E (А18 )Подставив выражения (А17) и (А18) в шестое уравнение системы (А14), получаемвыражение для радиальной составляющей вектора напряжённости магнитногополя:3VH rk 2Vr 2  2V k 2V  H rr 2(А19)Вспомогательную функцию V можно получить, выразив компоненты поля черезV в первом уравнении системы (А14):  2V V 1  2V r 2 sin   k 2V  sin 2   sin   2 rи придать вид: V  2V2V  k 2V  0 sin   r sin  2  2 r 2r 2 sin   1(А20)262Функция U однозначно определяет электромагнитное поле электрического типа, афункция V-магнитного типа: 2V k 2V  H r r 2 2U k 2U  Er r 21  2UE  r r21  U E  r sin  r Hr  0j U H  r sin   j U H r   (А21а)21  V H  r sin  r Er  0j V E r sin   j VE r (А21б)1  2VH  r rПроведём интегрирование уравнения (А13) методом Фурье.

Интеграл уравненияпредставим в виде произведения трёх сомножителей:U  Rr   Подставив это выражение в уравнение (А7) и разделив на Rr    , получаемуравнение в полных производных:1 d d  11 d 2 1 d 2Rr  k 2 sin  d  r 2 sin 2    d 2Rr  dr 2r 2 sin    d (А22)1Так как в уравнении (А22) сумма трёх функций независимых переменных равнапостоянной величине, то его можно разбить на три уравнения аналогично.Умножаем уравнение (А22) на r 2 sin 2  :sin 1 d d  1 d 2  r 2 sin 2  d 2Rr  2 2 2 k r sin   0 sin    d d    d 2Rr dr 2и приравниваем полученное выражение постоянной величине m2:2631 d d   r 2 sin 2  d 2 Rr  2 2 21 d 2 sin  k r sin    m2 sin   d d Rr   d 2dr 2(2.2.23)В результате получаются два уравнения:d 2  m 2   0d 2(А24)1 d d   r 2 sin 2  d 2 Rr  2 2 2sin  k r sin   m 2  0 sin   d d Rr dr 2(А25)Интеграл уравнения (А24) имеет вид:   А sin m   А cosm 12(А26)Для определения Rr  и   разделим уравнение (А25) на sin 2  :1 1 d d   r 2 d 2 Rr  2 2m2k r 0 sin 2sin    d d  Rr  dr 2sin (А27)Приравниваем уравнение (А27) к новой постоянной a2 и разбиваем его на двауравнения аналогично (А23):1 1 d d   m 2r 2 d 2 Rr  2 2 k r  а 2 sin 22sin    d d  sin Rr  dr1 d d    2m 2    0 sin  а sin  d d  sin 2 d 2  cos d   2m 2  а    022sinddsin d 2 Rr   2 а 2  k Rr   022drr(А28)(А29)264Уравнение (А29) приводится заменой переменной Rr   kr F r  к уравнениюцилиндрических функций (Бесселя):d 2 F r  1 dF r   2 4а 2  1  k F r   0r drdr 24r 2(А30)Введём новое обозначение для преобразования уравнения (А30):а 2     1(А31)Подставляя (А29) в (А30) получаем уравнение Бесселя для F(r):21    2 d 2 F r  1 dF r   2  k F r   0r drdr 2r2 (А32)Изменение поля по радиусу определяется цилиндрической функцией Бесселя,описывающейстоячуюволнуилицилиндрическойфункциейХанкеля,определяющей волну, расходящуюся от начала координат.krRr   c kr J 112 krRr   c kr H 21  1 2(А33)(А34)Решение уравнения (А32) удобно представить в виде сферических функцийБесселя или Ханкеля с помощью формул:j x  x J2x   12265h2 x  H22x   12x При большом значении r, сферические функции могут быть замененыасимптотическими выражениями :j x  1  1 cos x  x2i  1  ix2h x  exПодставляя асимптотические выражения в выражения (А33) и (А34), получаемрешение уравнения (А32) для больших значений r:2Rr   c kr J kr  сsin  kr  11 kr 12   2Rr   c kr H 21  kr 2kr e 1kr 2  1 2При большом значении аргумента, что соответствует условию данной задачи,асимптотические выражения функций Бесселя и Ханкеля с достаточнойточностью описывают эти функции.

Уравнение (А28) приводится к уравнениюЛежандра заменой переменной z  cos и заменой постоянной разделения (А31):22 1  z 2  d z   2 z dz      1  mz   02 dz 2dz1 z Если m – целое число, то решение этого уравнения можно записать в видеприсоединённой функции Лежандра первого рода:   c Pm cos 2(А35)266где Pm cos  - присоединённая функция Лежандра первого рода, ν- степени и mпорядка, с2 - коэффициент.Интеграл волнового уравнения (А22) определяется произведением решений(А26), (А34) и (А35):2U   c kr Hkrc Pm cos  А sin m   А cosm 1212  1 2(А36)Определение переменных (по другой терминологии постоянных) разделениядолжно соответствовать физическому процессу. При определении постояннойразделения по азимуту m поле должно изменяться с периодом 2.

Поэтому mпринимает только целочисленные значения m=0,1,2,3… Однако, индексы ν вобщем случае не будут целыми: они определяются из граничных условий:U 0иV0при Индексы для электрических волн определяются из уравнения:Pm cos   0Здесь через функцию Pm cos  обозначена присоединённая функция Лежандра,принимающая при θ=0 конечные значения. Она выражается через функциюЛежандра P cos  , удовлетворяющую условию:P 1  1267Поскольку ν не является целым числом, то функция P не будет полиномом,поэтому уравнению P m cos   0 удовлетворяет последовательность чисел m1, m2... mn , зависящих от угла γ.Первоначально определим общее решение, получающееся для волн типа Emn иHmn. Если возьмём число    mn и соответствующую функцию U, то по формуле(А36) получим электрическую волну Emn. Если возьмём число    mn исоответствующую функцию V, то получим магнитную волну Hmn.Компоненты поля типа Е определяются из уравнений (А21а).

Для записикомпонент векторов электрического и магнитного поля удобно принять обозначенияAmn  c c А12 1Bc c А :mn 1 2 2Amn mcosm  d Ekr H 2kr Pm cos   ,mnr sin dr 1 mnmn 2Bmn msin m  d kr Pm cos kr H 2r sin dr 1 mnmn 2 dА sin m  d E mn kr H 2kr ,mn1rdr  d mn 2 mcos   P mn dB cosm  d  mn kr H 2kr1rdr  d mn 2 mcos  P mn268Amn mn  mn  12Er ,mn sin m  kr Hkr Pm cos  1 mnr2 mn 2Bmn mn  mn  12mcosm  kr Hkr  Pcos 1 r2 mn  mn2jkmAmnH ,mnr sin jkmBmnr sin 2sin m  kr Hkr Pm cos 1 mn mn 2 jkAmnH ,mnr jkBmnr2cosm  kr Hkr Pm cos  1 mn mn 2d2sin m  kr Hkr1 d mn 2d2cosm  kr Hkr1 d mn 2 mcos   P mn mcos  P mnН r, mn  0Обозначим индексы для магнитных волн μ, тогда из граничных условий следует:d mP cos   0dЗдесь присоединённая функция Лежандра также выражается через функциюЛежандра P cos  , удовлетворяющую условию:P 1  1269Поскольку μ не является целым числом, то функция P не будет полиномом,поэтому уравнениюd mP cos   0 удовлетворяет последовательность чиселdm1, m2...mn , зависящих от угла γ.Следует также отметить, что индексы ν и μ могут быть и целочисленными внекоторых частных случаях.

Характеристики

Список файлов диссертации