Диссертация (785868), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Возможность разделения волн на два типа в изогнутом волноводебыла показана в работе [102]. В данном случае типы волн можно различать по180наличию или отсутствию компонент поля в произвольном (радиальном,азимутальном или угломестном) направлении. В уравнениях (141)всенеизвестные компоненты не разделились. Известные методы решения [100-104]системы дифференциальныхуравнений с частными производными (140)накладывают ограничения на выбор компоненты разделения.

Как известно[95,100], соотношения, связывающие компоненты поля со вспомогательнойфункцией будут легко разрешимы, если выполняются условия Бромвича, т.е.коэффициент Ламе компоненты разделения должен быть h=1. Поэтому длясферической системы координат в качестве компоненты разделения можновыбрать продольную (угломестную) компоненту, используя замену переменной[100], чтобы удовлетворить условию Бромвича, но удобнее выбрать радиальнуюкомпоненту без замены переменной.Назовем электрическими волнами волны, имеющие только электрическуюрадиальную компоненту, а магнитными – только магнитную радиальнуюкомпоненту.

Рассмотрим поле электрических волн, примемH r  0 . Тогдасистема уравнений (140) примет вид:   E 0 sin E      Er    r sin E    j r sin H  r ErE  r   j rHr   H j r sin Er  sin H     rH   j rEr   rH  j rEr  (142) Из равенства нулю радиальной компоненты напряженности магнитного поляследует соотношение:181  E sin E     (143)Используя алгоритм [94] для решения системы уравнений (142) удобно ввестивспомогательную функцию U. В соотношении (143) составляющие E и Eможно выразить через вспомогательную функцию U:E 1 U r sin  E (144)1 U r где U   Ur1  2UE  r sin  rE (145)1  2Ur rПодставляя (144) в систему уравнений (142), можно выразить компонентыH и H :j UH r H (146)j Ur sin  Подставив выражения (145) и (146) в третье уравнение системы (142), получаемвыражение для радиальной составляющей вектора напряженности электрическогополя:3U Erk 2Ur 2 (147)182 2U k 2U  Er2rВспомогательную функцию U можно получить, выразив компоненты полячерез U в четвертом уравнении системы (142):  2U U 1  2U22 r sin   k U  sin 22   sin   rи придать вид: U  2U2U  k 2U  0 sin 2222 r sin   r sin r1(148)Полученное выражение совпадает с волновым уравнением скалярнойфункции в сферической системе координат.

При решении уравнения (148)необходимо учесть граничные условия:E  0, E  0 (при r  R1; r  R2 )(149)где R1- радиус внутренней полусферы, R2- радиус внешней полусферы. Для того,чтобы выполнялось условие (149) на поверхностях r  R ; r  R независимо от12координат ,, необходимо, чтобы на этих поверхностяхU0r(150)Проведем интегрирование уравнения (135) методом Фурье. Интеграл уравненияпредставим в виде произведения трех сомножителей:U  Rr   Подставив это выражение в уравнение (135) и разделив на Rr    , получаемуравнение в полных производных:1831 d d  11 d 2 1 d 2Rr  k 2 (151) sin  d  r 2 sin 2    d 2Rr  dr 2r 2 sin    d 1Так как в уравнении (148) сумма трех функций независимых переменных равнапостоянной величине, то его можно разбить на три уравнения аналогично [103].Умножаем уравнение (151) на r 2 sin 2  :1 d d  1 d 2  r 2 sin 2  d 2Rr  2 2 2sin  k r sin   0 и sin 2  d d    d 2Rr drприравниваем полученное выражение постоянной величине 2:sin 1 d d   r 2 sin 2  d 2Rr  2 2 21 d 2  k r sin   2 sin  22  d d Rr drd(152)В результате получаются два уравнения:sin d 2  2     0d 2(153)1 d d   r 2 sin 2 d 2Rr  2 2 2 k r sin    2  0 sin  2  d d Rr dr(154)Интеграл уравнения (154) имеет вид:   А sin    А cos 12(155)Для определения Rr  и   разделим уравнение (154) на sin 2  :1 1 d d   r 2 d 2Rr  2 2  2k r  0 (156) sin sin    d d  Rr  dr 2sin 2Приравниваем уравнение (156) новой постоянной a2 и разбиваемуравнения аналогично (151):его на два1841 1 d d    2r 2 d 2Rr  2 2 k r  а 2 sin  22sin    d d  sin Rr  dr1 d d    2 2    0 sin   а sin  d d  sin 2 d 2  cos d   2 2  а    022sinddsin (157)d 2 Rr   2 а 2  k Rr   0dr 2r2(158)Уравнение (158) приводится заменой переменной Rr   kr F r  к уравнениюцилиндрических функций (Бесселя):d 2 F r  1 dF r   2 4а 2  1  k F r   0r drdr 24r 2(159)Введем новое обозначение для преобразования уравнения (159):а2  nn  1(160)Подставляя (160) в (159) получаем уравнение Бесселя для F(r):21 n   d 2 F r  1 dF r   2 2  k F r   0r drdr 2r2 (161)Изменение поля по радиусу определяется суммой цилиндрических функцийБесселя и Неймана, описывающих стоячую волну и удовлетворяющих граничнымусловиямнаповерхностяхkr  c2 kr N 1  krRr   c kr J 11n n 2 2 r  R ;r  R12.(162)185Функция Неймана в данном случае не обращается в  внутри КСВ, так как точкаr=0 не принадлежит его сечению.Уравнение (157) приводится к уравнению Лежандра заменой переменнойz  cos и заменой постоянной разделения (160):22 1  z 2  d  z   2 z d z    nn  1   z   02 dz 2dz1 z Если  – целое число, то решение этого уравнения можно записать в виде суммыдвух присоединенных функций Лежандра первого и второго рода:   c Pn cos   c Qn cos 34(163)где Pn cos  - присоединенная функция Лежандра первого рода, n- степени и порядка, Qn cos  - присоединенная функция Лежандра второго рода, n- степении - порядка, с3,с4- коэффициенты.Интеграл волнового уравнения (139а) определяется произведением решений(155), (162) и (63):kr  c2 kr N 1  kr А1sin    А2 cos  U  c kr J 1 1 n  n 22(164) c Pn cos   c Qn cos 34Определение переменных (по другой терминологии постоянных) разделениядолжно соответствовать физическому процессу.

При определении постояннойразделения по азимуту  поле должно изменяться с периодом 2. Поэтому принимает только целочисленные значения =0,1,2,3… Переменная разделения порадиусу определяется из граничного условия (138). Первоначально определимобщее решение, получающееся в КСВ для волн типа Emn и Hmn.Компоненты поля типа Е определяются из уравнений (145), (146) и (147):186 А1 cos   А2 sin   d kr  c2 kr N 1 kr E c kr J11r sin drnn22  c Pn cos   c Qn cos 34А sin    А cos  d 2E  1c kr Jkr  c kr Nkr 2rdr 1n 1n 1 22 dc Pn cos   c Qn cos 4d 3nn  1Er А sin    А cos   c kr Jkr  c kr Nkr 122n 1n 1 1r222 c Pn cos   c Qn cos 34jkH  r sin 2А cos   А sin    c kr Jkr  c kr Nkr 22 1n 1n 1 1 c Pn cos   c Qn cos 342 jk H А sin    А cos   c kr Jkr  c kr Nkr 22r 1n 1n 1  122 dc Pn cos   c Qn cos 4d 3Нr  0(165)Применив граничные условия (138) к выражению (164) получаемуравнение:d ckrJkrckrNkr02 dr  1n 1n 122   r  R1rR2(166)187Применяя к (166) формулы дифференцирования цилиндрических функций,получаем систему уравнений:      nсnc1JkR  с JkR  2 NkR  c NkR  0 kR n 1 1 1 n 1 1 kR n 1 1 2 n 1 1112222 (167)nсnc 1JkR  с JkR  2 NkR  c NkR  02 n 1 2kR n 1 2 1 n 1 2 kR n 1 2222222  Из уравнения (167) можно выразить отношение констант c1 и c2: cP 1c2   nnNkR  NkRNkR  NkR1 11212kR n  1 1kRnn12 n2222nnJkR JkRJkR JkR1 1 kR1 112 kR12nn1 n2 n2222    (168)и порядок цилиндрических функций:n n N JkRNkRkRJkR kR1 11 1 12 kR12n 1 n n 2 n2222  n NkR  NkR1212kRn 2 n22   n JkR JkR   01 1 kR1 1 n 1 n22  (169) Решение уравнения (169) удобно представить в виде суммы сферических функцийБесселя и Неймана с помощью формул:jn x  nn x  22xJnxNn12x 12x 1882c j kr  c n kr2 n 1 nRr  Тогда граничные условия (138) примут вид:2 dc jn kr  c nn kr  r  R  02  dr 11r R2Учитывая соотношения:dkjn kr j krdr ndknn kr  nn krdrгде j  kr, n  kr - производные сферических функций Бесселя и Неймана по kr.nnПолучаем из граничных условий систему уравнений:  с jn kR  c nn kR   01222с jn kR  c nn kR  01211(170)Из уравнений (170) можно выразить отношение констант P:    cn  kRn  kRn11P n 2cj  kRj  kRn 1n 22(171)и порядок сферических функций Бесселя и Неймана:      nn kR jn kR  jn kR nn kR  01212   (172)   Если разделить (172) на nn kR jn kR  jn kR nn kR  0 , то (172) можно2121записать в виде:Tn kR , kR  0s 1 2(173)189где T kR , kR - большой сферический тангенс (обозначен в соответствии сns 1 2литературой [82]).

Характеристики

Список файлов диссертации