Токхейм Р. - Основы цифровой электроники (1988)(ru) (775262), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Единица на выхоле означает, что замок открыт. На рис. 4.9тб показано, каким образом мы формируем для электронного замка булево выражение в дизъюнктивной нормальной форме. Затем в соответствии с полученным булевым выражением составляется логическая схема (рис. 4.9, в). Посмотрите внимательно на рис. 4.9,в, отражающий весь процесс решения логической задачи, и убедитесь в том, что вы можете повторно осуществить переход от таблицы истинности к булеву выражению и затем от него — к логической схеме. Теперь вы в состоянии решать задачи, подобные той„которая иллюстрируется на рис.
4.9. Приведенные ниже задания для самопроверки дадут вам возможность попрактиковаться в решении задач с применением таблиц истинности, булевых выражений и комбинационных логических схем. Выполняя следующие задания, проверьте, хороьио ли вы ус воили изложенный материал. 11. Используя данные из приведенной ниже таблицы истинности для электронного замка, запишите соответствующее этой таблице булево выражение в дизъюнктивной нормальной форме. Таблица истинности 12.
На основе булева выражения, полученноГо в задании 1 1, составьте принципиальную схему электронного замка, применяя известные вам обозначения логических элементов. применение двоичных логических элементов 4.5. Упрощение булевых выражений Уароенение булевых вырнкеанй Построеиие коре Карно Булева алгебра а Исхонное белено оыониенне А.В + А.В + А.В =У =. е Усооче~ нос белено оыооиение А+В=У Рис. 4.!Ю.
Упрощение булевых выражений. Рассмотрим булево выражение А.В+ А.В+А.В= У, приведенное на рис. 4.10,а. В процессе составления логической схемы для данного булева выражения выясняется, что нам необходимы три элемента И, два инвертора и один элемент ИЛИ с тремя входами. На рис. 4.10,6 изображена схема, реализующая логику булева выражения А В + А ° В + + А В= У. На рис.
4.10,а дана таблица истинности для булева выражения и логической схемы, показанных соответственно на рис. 4.10, а н 6. Вы сразу можете узнать в ней таблицу истинности для логического элемента ИЛИ с двумя входами. Как показано на рис. 4.10,г, упрощенное булево выражение для элемента ИЛИ с двумя входами есть А+ + В = У. Такая схема ИЛИ с двумя входами в простейшей ее форме представлена на рис. 4.10,д. Пример, приведенный на рис. 4.10, показывает, каким образом мы должны пытаться упростить заданное булево выражение, чтобы получить как можно более простую (а следовательно, и менее дорогую) логическую схему. В данном случае нам просто повезло, и мы догадались, что таблица истинности принадлежала элементу ИЛИ.
Однако обычно приходится использовать более общие методы упрощения булевых выражений. Эти методы основаны на приложениях булевой алгебры и построении так называемых карт Карио. Булева алгебра была развита Джорджем Булем (1815-1864 уу.). Эта алгебра в 30-х годах двадцатого столетия была применена для анализа цифровых логических схем; она является основой всех «хитростей», которые мы будем использовать для упрощения булевых выражений.
Таблице нсхинносги глана е Мы не собираемся здесь заниматься булевой алгеброй как таковой, поскольку многие из тех, кто продолжит специализацию в области конструирования цифровых электронных устройств, будут изучать булеву алгебру более детально. Карты Карно — весьма практичный метод упрощения булевых выражений — подробно рассматриваются в разделах 4.6--4.9. Известны и другие широко распросзраненные метолы упрощения булевых выражений: например, диаграммы Вейча, диаграммы Венца и табличный метод. Выполняя следующие задания, проверьте, хорошо ли вы усвоили изложенный леатериал. 13.
Логические схемы, показанные на рис. 4.10,6 и д, соответствуют !различным, одинаковым) таблицам истинности. 14. Булевы выражения можно значительно упростить в результате простого анализа либо при помощи методов, основанных на алгебре нли картах 4.6. Карты Карно Карты Карно В 1953 г. Морис Карно опубликовал с~атью о разработанной им системе графического представления и упрощения булевых выражений. Карта Карно показана на рис.
4.11. Четыре квадрата (1, 2, 3, 4) соответствуют четырем возможным комбинациям А и В в таблице истинности с двумя переменными. При таком изображении квадрат 1 на карте Карно соответствует произведению А.В, квадрат 2 — произведению А В и т.д. е а Рне. 4ЛЬ Обознаеенне каанратоа на карте Карно Предположим теперь, что нам надо составить карту Карно для логической задачи, проиллюстрированной на рис. 4.10. Исходное булево выражение А В+ А В+ А В= = У для удобства еще раз переписано на рис.
4.12, а. Разместим логические единицы во всех квадратах, которым соответствуют произведения в исходном булевом выражении на рнс. 4.12, а. Заполненная таким образом карта Карно те- нримвнвнив двоичных логических эагмгнтов А.В + А.В + А.В =У Рис. 4.12. Нанесение сивина на карту Карно. я, и эта процедура демонстри- Построежм контуров перь готова для построени руется на рис.
4.!3. В соответствии с неи соседние единицы объединяются в один контур группами по две, четыре или восемь единиц. Построение контуров продолжается до тех пор, пока все единицы не окажутся внутри контуров. 1хаждый контур представляет собой новый член упрощенного булева выражения. Заметим, что на рис. 4.13 у нас получилось только два контура. Это означает, что новое, упрощенное булево выражение будет состоять только из двух членов, связанных функцией ИЛИ.
В=У -Ргм Рис. 4.13. Объелииеиие елкина груииамн в одни контур иа карсе Карно. ~нит ы лтхелла лен~ Рис. 4.!4. Уиржненне булевых выражений на основе карты Карно. Теперь упростим булево выражение, принимая во внимание два контура на рис. 4.13, повторенные на рис. 4.14. Взяв сначала нижний контур, замечаем, что А здесь встречается в комбинации с В и В. В соответствии с правилами булевой ал1 ебры В и В дополняют дру1 друга и их можно опустить. Тогда в нижнем контуре остается один член А. Аналогично этому вертикально расположенный контур содержит А и А, которые можно также опустить, оставив только В.
Оставшиеся в результате А и В затем объединяются функцией ИЛИ, что приводит к упрощенному булеву выражению А + +В= К Процедура упрощения булева выражения сложна лишь на первый взгляд. На самом деле после некоторой тренировки ее легко освоить, выполняя последовательно шесть шагов, указанных ниже. ГЛАВА 4 1. Начните с булева выражения в дизъюнктивной нормальной форме. 2. Нанесите единицы на карту Карно. 3. Объедините соседние единицы контурами, охватывающими два или восемь квадратов, 4. Проведите упрощения, исключая члены, дополняющие друг друга внутри контура.
5. Объедините оставшиеся члены !по одному в каждом контуре) функцией ИЛИ. 6. Запишите полученное упрощенное булево выражение в дизъюнктивной нормальной форме. Выполняя гледунпаие задания, проверьте, хорошо ли вы угвоили изложенный материал. 15. Карту, показанную на рис. 4.!2, изобрел !6. Перечислите шесть шагов процедуры упрощения булевых выражений с применением карт Карно. 4.7. Карты Карно с тремя переменными Карсы Карма с тремя персмсннмма Рассмотрим исходное булево выражение А В.
С + +А В С+А В С+А В С= У„приведенное на рис. 4.!5,а. Карта Карно для случая трех переменных показана на рис. 4.15,6. Обратите внимание на то, что имеется восемь возможных комбинаций переменных А, В и С, которые представлены восемью квадратами на карте. В них занесены четыре единицы, отображающие каждый из четырех членов исходного булева выражения. Заполненная карта Карно повторена на рис. 4.! 5, в, где каждая группа из двух соседних единиц обведена контуром. Нижний контур содержит В и В, вследствие чего В н В можно опустить.
После этого в составе нижнего контура сохраняются лишь А и С, которые дают член А ° С. В верхний контур входят С и С, поэтому С и С опускаются, в результате чего остается только член А В. Булево выражение в дизъюнктивной нормальной форме получается введением символа операции ИЛИ. Упрощенное булево выражение, записанное иа рис. 4А5,г„ имеет вид А ° С+ А В = У.
Очевидно, что это упрощенное булево выражение потребует для своей реализации значительно меньше электронных компонентов, чем исходное выражение. Интересно отметить тот факт, что столь непохожее на оригинал упрощенное булево выражение описывается той же самой таблицей истинности, что и исходное булево выражение. Существенно, чтобы карта Карно была составлена имен'„: но так, как показано на рис. 4.15. Заметьте, что по мере то.:, го как вы смещаетесь вниз по левой части карты, на ка- ГГ1 ..
1 ПРИМЕНЕНИЕ ДВОИЧНЫХ ЛОГИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ о Бу,ввс висвивгив АВС+ АВС+АВС+АВСеУ б Оеьвдиив .в иою урви и и опус" к в попоив имк в в Рис. 4.15. Уиренинне булевых выраяииау иа основе карты Карно. а- исходное булево выражение; б- нанесение на карту ловнческнх единиц; а †объединен «аждой группы единиц контурами и опускание дополняющих друг друга переменных; г — построение упрощенного выражения в днтъюнктнвной нормальной форме а уооо ви, ов супов. в рвжв ив ждом шагу изменяется лишь одна переменная. Сверху слева записано произведение А В, а строкой ниже А. В (где только В заменено на В).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
