blum_k__teorija_matricy_plotnosti_i_ee_p rilozhenija (769479), страница 27
Текст из файла (страница 27)
!)к! — ~~ 1г(УУ(!)(т(е>коХ1](У(!) (т(е>гчХ11). (4.7.13) Выведем теперь явное выражение для величин (4.7.13). Так как элементы оператора 6(У) диагональны в представлении собственных состояний ~ (Е31)УМ> полного гампльтониана Н, в матричном представлении элементы УУ(1) имеют внд ((Е51)У'М' ! (У (У) ! (Е51) УМ) = ехр ( — УЕА!Я б1ыбм~м, (4 7 14) где Е1 — энергия уровня Е51У. Используя (4.7.!4), можно вы* числить след в (4.7.13) в этом представлении: 6(Е; !)КА = + ~Х~ ехр(1(Е1 — Ем) !/3) Х 1+ жмем Х((ЕЗ,)У'М'3Т(цка Х1!(ЕЗ1)УМ>((ЕЗдУМ'1Т(Е>А,Х Х 1 !(ЕЯ1) У'М'). (4.7.15а) Оставшиеся матричные элементы можно вычислить, если учесть, что Т(Е>ко Х 1 представляет собой 6-компоненту тензорного оператора ранга К. Применяя теорему Впгнера — Эккарта ((Е31>Ум'! Т(У)к, Х11 (Е31) УМ> = УР ~ — М' ЯМ/ = ( — 1) г ((Ео1) У'!1 Тк Х 1 !|(Е51) У> (4.7.156) и стандартную формулу теории углового момента [см.
(В.20) 1, находим ((ЕЗ,> У'1! Т, Х 1!! (ЕЗ,) У> = (Е У' 31> =(- !)""'"'((2У'+ '>(27+ ')('"+ !>)" 1 К ) (4,7.15в) Здесь использовано явное выражение (4.2.28) для приведенного матричного элемента (Е1Т(Е)к~!У >. Подобная формула справедлива для матричного элемента оператора Т(Е>А Х1. Подставляя полученные выражения в (4.7.15а) н выполняя суммирование по М' н М с помощью соотношений ортогональностн для Зухсимволов, получаем 6(е; !>3=, '+, ~х'(2У'+ !>(2У+ ЦХ 1ы (Е У'Я ) ехр! 1(ЕЛ ~А)А) бкгбоч (4 7.15> ЬЕ К3 Символы Кронекера указывают, что мультиполц различных рангов и различные компоненты не перемешиваются за счет взаимодействия.
Более того, коэффициенты (4.7.15) не зависят от 1 и потому могут быть записаны в форме 6 (Е; !)й) = 6 (Е; !)к бкхбоч. (4.7.16) Коэффициенты (4.7.15) действительны, Это легко увидеть, если взять выражение, комплексно-сопряженное выражению 140 ГЛАВА 4 непРнВОдпмые кОмпОненты мхтРнцы плОтнОсти 14! и квадратных скобках в (4.7.!5), поменять местамп У и У1 и использовать свойство симметрии (В.8) 61-символа. Следовательно, мнимая часть комплексной экспоненциальной функции в (4.7.15) обращается в нуль в результате суммирования по всем значениям Х' и У, п остается только действительная часть: Ь 6(Е 1)к= — +2 ~(2У + ц(2Х+ ц ~ ~ Х 1 ( Е У' 3212 1М Х соз ~ а ~. (4.7.17) Из (4.7.12) и (4.7.16) получаем окончательное выражение (Т (Е; 1)ко)У= 6 (Е; У)к (Т (Е)ко), (4.7.18) которое описывает временную эволюцию мультиполей состояния за счет взаимодействия, вызывающего тонкую структуру.
Иногда оказывается удобным представить коэффициенты 6(У;1)к в форме 6(Е' У)к=6(Цк+ з~ + 2 ~~' (2У'+ Ц(2У+ ЦХ 1~Ф1 д( ~ УГ соз ~ „ ~, (4.7.19) где выделены члены с У = У' и с У чь У' и часть, не зависящая от времени, определяется выражением Взаимодействие, приводящее к сверхтонкой структуре, можно рассмотреть тем же методом, который был использован для описания тонкого взаимодействия. Пусть при У =- О возбуждены атомные состояния с электронным моментом У, причем ядерный спин У не затронут. Построив мультпполн состояния (Т(Х)к,) и (Т(У, У)~ ) из состояний 1ХМ) в момент времени 1 = О и 1 соответственно, можно показать, что эти тензоры связаны соотношением, подобным (4.6.18): (Т (У' 1)ке) = 6 (Х; т) к (Т (У)ка) где коэффициенты возмущения 6(У;1)к определяются выра- кением (4.7.17) с заменой У. на У, 5, на Х, У(Х') на У1(У1'), а г означает полный угловой момент: 6( 1 )к = 21+1 .Е Х(„, 2) -'[ ) (4722 Наконец, рассмотрим случай, когда должны быть учтены как тонкие, так п сверхтопкпе взаимодействия.
Поскольку сверхтопкое взаимодействие намного слабее топкого взаимодействия, угловой момент электронов Х остается хорошим квантовым числом п соответствующие коэффициенты можно вычислить аналопшным образом. В результате получаем .(,)и ~; (2У+Ц(2У +Ц(2Г+Ц(2У'+ЦХ 1~1жг Х2 Рр У)21Е Х2 е '(2 р ° (Р Р,)» (Т +у )2~ х (4.7.22) Прп выводе выражения (4.7.22) снова предполагалось, что 82 и 1 не меняются в процессе возбуждения н распада. Энергии Е2 и постоянные распада 72 относятся к состояниям с угловымн моментами У и г, Если тонкое и сверхтонкое расщепление сравнимы, требуются более сложные вычисления, так как У в этом случае ее является подходящим квантовым числом.
Более подробно такой случай рассмотрен„например, в работе Фано и Масека (рано„Масе19 1973) . 4.7.3. Явный пример Поясним теперь на конкретном примере физический смысл коэффициентов возмущения (4.7.17), следуя Фэно и Масеку (Еапо, Масси, 1973). Рассмотрим случай, когда Е = 1, 82 —— ==1/2 и У = 1/2, 3/2, и обсудим временную эволюцию вектора ориентации: 2~) 6(Е.
) (Т(Е)т ') (4.7 23) 142 НВПРПВОДПМЫВ КОМПОНС1ПЫ Л1ЛТРНЦ!~! ПЛОТНОСТИ !43 ГЛЛВЛ Необходимые 51-снл!волы имеют следующие чпсленные значе- ния: Подстановка пх в (4.7.17) дает 6 (Хд !)! = 7/9+ (2/9) соз ((Ес, — Е;,) !/й). (4,7.24) Выражение (4.7.24) показывает, что в рассматриваемом случае 6(Х; !)! осциллнрует относителыю среднего значения 6(Х.)1= 7/9 с частотой «> = (Есм — Елс,)/!1, которая в полу- классической модели равна просто частоте прецессии векторов $! и 1.
вокруг Х. Из (4.7.23) и (4.7.24) видно, что вектор ориентации (Т(Х,)„о) периодически меняется во времени. Такое поведение обусловлено связью между угловыхп! моментами. В процессе возбу>кденпя орбитальные моменты приобретают определенную орпентацп!о, а спины остаются неполяризованнымн. Из-за спин-орбитальной связи, которая, как мы предполагаем, мгновенно включается сразу после возбуждения, существует передача ориентации между спстемамп орбитальных моментов и сппнов.
Спины становятся орнснтированнымн, и происходит потеря ориентации орбитальных состояний. В течение каждого периода величина (Т(Х.);,) уменьщаетсч, достигает минимума (прп максимально возмо>кной ориентации спиноз), а затем возрастает опять до своего исходного значения, когда спины оказываются снова неориентированными. Такой облсен ориентацией является периодически>п и обратилылп это отражает тот факт, что ссшн-Орбитальная связь Н' Х5 си>ил!етрична по Х, и О'.
Полученные результаты можно обобщить для любой мультппольной компоненты. Итак, мультиполн состояния (Т(йн !)„о) осциллпруют вокруг среднего значения 6(Х.), (Т Я» ) Такое поведение обусловлено тонким спин-орбитальным взаимодействием, ко~орое приводит к периодическому и обрагилсо>пу обмену поляризацией между двумя системами. Наблюдаемые следствия таких изменений во времени подробно рассмотрены в гл.
5 и 6. (4.7.25) Соответствующие коэфф!щпенты возмущения определяются выражением 6(Х; !К=(г~и(!) т(Х)КОХХ(!)'Т(Х)',1. (4.7.25) Исходные мультиполп определены относительно координатной системы ХУЕ, а поле В параллельно направлению г. Выбрав ось г в качестве оси квантования, получаем у>свХФ' (4.7.27) гамильтониана Н соответствующие матричные элементы имеют вид (4.7.28) (Хт ~ Н ~Хп!) =(Е! — урвВпс) б,:., Преобразуем тензорные операторы в систему хуг с помощью (4.2.13) и вычислим след в (4.7.25), используя состояния 1Хт) и учитывая (4.7.25) и (4.7.28).
После некоторых манипуляций получим 6(Х; !)Я = ~ ( — 1)ч 11Х>(О(1а)УО1 [Х>(Ойа)ц~ > ч1Х о'ч' Х 1г ~ХХ (!) Т (Х)К,.ХХ (!)' Т (Х) . 1 = = Е(- 1) 1О(Ой.) о>аИН(Ой.)ч,"',1 Х о'»' р', Е (Хп!'! Т (Х)ка.! Хт) (Х>п ! 7' (Х)ь!' ! Хп!') ехр ( — Хл>с!>'!), РНЛС ( ) 4.7.4. Влияние внешнего магнитного поля Рассмотрим теперь с,пучай, когда ансамбль атомов (пли ядер) возбужден прп ! = О в присутствии магнитного поля В. Полный гамнльтоннан равен Н = НР+ Н', где Н' = — д1>ЛХВ описывает взаимодействие с полем, Собственные состояния гампльтониана ХХл выбраны в виде 1ХМЛ. Магнитное поле вызывает расщепление уровней с одним и тем же значением Х, но с разными М.
Переходы между расщепленными уровнями характеризуются временем перехода Т вЂ” 1/ЛЕ, где ЛŠ— максимальное расщепление уровня с угловым моментом Х. Будем считать, что время Т велико по сравнению с временем возбуждения. В этом случае влиянием магнитного поля в процессе возбуждения можно пренебречь и считать, что возбужденные атомы находятся в состояниях ~ХМ). Поле возмущает этн состояния сразу после возбуждения; мы рассмотрим изменение во времени исходных мульж!Полей (Т(Х)к,) под дей» ствпем оператора временнбй эволюции Х! (!) = ехр ( — сН!)/й. 144 главк 4 где (! — угол между осями Х и х, а — азимутальный в системе ХУХ, угол оси я , а ых означает ларморовскую частоту. Теперь подставим выражение (4.2.9) для матричн мента неп иво р димого тензора в системе хух и выполним ля матричного эленим сум( ..
) по и и гп, используя соотношение ортогоналыюсти для Зу-символов. Окончательно получим 0 У 1~~=5 0(У; 1)кч=бк» ~~' ехр( — УаЯ'1)0(ОфиУА0(О!!а)к „. (4.7.30) Согласно (В.!2), множитель ехр( — 1мЯ'1) ти овать р — кос ) можно пнтерпрер ь как поворот па угол — со~1 вокруг осп Х. В простейшем случае, когда направление воля г с осью 2, имеем Я=а=О, ~ ~е воля г совпадает и = а =, и (4.7.30) сводится к выражению У 1Яч 0(У 1)к» = бк»бо„ехр( — 1вЯ!). (4.7.31) В этом сл чае у поле не может изменить мультпполи, а вызывает просто изменение их фазы во времени: Выражения (4.7.30) и (4.7.31) используются в равд.
6.3. 4.8. Обозн ачения, используемые другими авторами К сожалению, ля , д тензорных операторов н мультиполей состояния применяются различные обоз е о означения. ы приведем . М здесь несколько обозначений, пспользуеь Для тензорного оператора Т(У'У) п и 1ых в лите ат е. щие обозначения: кч примеяя|отся следуюТф(иУ', !У) — Ошоп1, 1977; То~~(У', У) — Наррег, 1972; Ткц — Вг!пк, За!ей)ег, 1962; 1.агпЬ, Тег Нааг, 197!. Дьяконов н Перель (1965) использую ~к~ ют такую нормировку, что их оператор Тц' в наших обозначениях равен ((2К + 1)/(2У + 1))и ( — 1) Т(У)ко. Для нашего мультиполя состояни УТ (У'У)~, ) я ( ( )к у используются следующие обозначения: Рф'(аУ', рУ) — Ошоп1, !977; рк,(У'У) — Наррег, 1972; р(УУ')ко — Вг)пй,За!ей)ег, 1962; 1.атЬ, Тег Нааг, 1971; ( — 1)м+т+ц р'к'(У'У) — 51е11еп, А!бег, 1975.
Излучение поляризованных атомов. Квантовые биения 5.1. Общая теория 1. Описание процессов радиационного распада с помощью матрицы плотности В настоящей главе мы рассмотрим распад ансамбля возбужденных атомов за счет испускания фотонов, Будем обсуждать следующий случай. Предположим, что ансамбль атомов кмгновспно» возбужден в момент времени! = О. Как обычно, «мгновенно» означает, что время возбуждения меньше среднего времени жизни возбужденных состояний и любого характерного периода прецессии (см. равд. 3.5 и 4.7.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
