blum_k__teorija_matricy_plotnosti_i_ee_p rilozhenija (769478), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Следовательно, по-видимому, должна существовать взаимосвязь между поляризованной по кругу световой волной и фотонами в состояниях с определенным угловым моментом. Действительно, как показано в квантовой электродинамике, фотоны с определенной спиральностыо связаны с состояниями левой и правой круговой поляриза~!ии. К сожалению, соответствующие обозпаче~шя не являются общепринятыми, и мы примем следующее соглашение. Будем обозначать вектор поляризации и состояние фотонов со спиральностью Х = 1 соответственно еь~ и )+1) и будем говорить, что свет с положительной спиральностью имеет правую круговую поляризацию.
Аналогично прп Х. = — 1 вектор поляризации и состояние фотонов будем обозначать соответственно е 1 п ~ — 1) и говорить, что такой свет имеет левую круговую поляризацию Заметим, что в классической оптике обычно принимается противоположное соглашение.
Именно, свет с положительной (отрицательной) спиральиостью считается обладаюгцпм левой (правой) круговой поляризацией. Во избежание этой неоднозначности мы будем всегда использовать обозначение ГЛАВА ! ОсноВные понятня 4О состояний с помо(цью спиральности. Тогда векторы е, и е (, а также состояния 1-)-1) определены (с точностью до несущественного фазового множителя), так что для векторов поляризации имеем е, = Й (1/2 *) (е„~- (е„), (1.2.8) (1.2.! 1 а) !е) = а сопряженное ему состояние — вектором. строкой ( 1=(а,', а,,*). Например, состояние пучков света, полностью поляризованных соответственно вдоль осей к и у, обращая выражение (1.2.9): ! е„) = — (1/2") ( ! +1) — ! — ! )), ~ е„) = ((/2 '") ( ) +!) + ! — !)), Интерпретация этих состояний, получаемых путем суперпоз)(ции, аналогична данной в равд.
1.1.4. (!.2.11б) линейно- находим. (1.2.12а) (1.2.12б) линейной '1 Т. 11, га ХХ), й 28 — Прая( рад. а для соответствующих состояний 1 -(- 1) = )- (1/2 (') ( ! е„) ~ ( / еь)) (1.2.9) (см., например, Мессна (Мезз!а1), 1965)) '). Состояния с определенной спнральностью особенно удобно использовать в качестве базисных !Еа) и !еь) в тех задачах, где необходимо явно принимать во внимание угловой момент. Поэтому общее состояние поляризации )е) запишем в виде ! Е) = а, ! + 1) + аг ! — 1).
(1.2.10) Существует тесная формальная аналою(я между фотонами и частицами со сппном 1/2. Поскольку имеются только два возможных значения спнральности Х = -)-1 (соотвстствующях состояниям со спинам вверх и спином вниз по отношению к п как оси квантования), этн состояния можно представлять с помощью двумерных векторов-столбцов, пока п остается осью квантования (осью з). Базисные состояния можно записать тогда аналогично выражениям (1.1.1): !+1) 0 * ! 1)= 1 (1211) В этом представлении чистое состояние общего вида (1.2.9) описывается вектором-столбцом В качестве другого примера рассмотрим пучок фотонов, приготовленных в чистом состоянии !еа).
Как видно нз (1.2.12а), этн фотоны не имеют определенной спиральности. Однако во всяком произведенном над пучком эксперименте, в котором измеряется угловой момент, любой фотон пучка будет вынужден с равной вероятностшо перейтп в одно пз собственных состояний углового момента, !+1) пли ) — 1). Следовательно, в любом из таких экспериментов любой фотон пучка переносит определенную величину углового момента (соответственно Х =+1 пли — 1). Поскольку соответствующие вероятности одинаковы, полный угловой момент, переносимый всем пучком, равен нулю.
1.2 4. Матрица плотности для поляризаций 1(омпактное выраженно свойств поляризации фотонов содержится в соответствующей матрице плотности. В разд. 1.2.5 будет дано операциональное определение матрицы плотности фотонов, В этом разделе мы ограничимся повторением рассуждений равд. 1.1.5. Рассмотрим пучок фотонов, являющийся смесью двух пучков, которые приготовлены независимо в состояниях !еа) и !еь) и имеют соответственно интенсивности !, и !ь. Оператор плотности, характеризующий полный пучок, определяется выражением р' = (Р', !еа) (еа1+ Угь 1еь) (еь ~, (1.2.13) где (ь", = ! /!, (ь'ь = !ь/! и ! = ! + !ь Чтобы получить матрицу плотности, необходимо выбрать конкретное представление.
Используем в качестве базисных состояния с определенной спяральностью н разложим два состояния !е,) и !еь) в соответствии с (1,2.10): (е ) =а(а)! +1) + а(а)! 1)' (еь) а()м ~ +1) + а(ь) ~ 1) Используя явные выражения (1.2.11) и применяя правило (1.1.21), можно показать, что матрица плотности в представлении состояний с определенной сппральиостью имеет впд /' К ) а( ) ц + 97 )а(м ц (ьг апчага)* + ()г а(ма(ь) а) г* ь (!г а(а)*а(а) + ()г а(ь)*аа) ф' '(а(а) ~г ! (1г ) а(ь)!) /' /.
(1.2.14) а ) * г ь) *г а! ь| Из явного выражения (1.2.14) следует, что о' удовлетворяет условию нормировки 1г р' = Ю, + (ьгь = 1. (1.2.15) Часто бывает более удобно нормировать матрицу р так,чтобы ее след был равен полной интенсивности соответствующего ГЛАВА ! основные поил! Пч пучка фотонов.
Этого можно достичь, выражая величины )Р'. и )Р'ь через интенсивности 1. и 1ь в (1.2.13) и (1.2.14). Оператор плотности в такой нормировке дается тогда выражением р = 1, [ е,) (е, [ + 1ь [ еь) (сь [, (1.2.16) а след матрицы плотности равен 1гр=1ь+1ь =1. (1.2.17) Матрица плотности р (и р') обладает следующими свойствами (доказательства совершенно аналогичны проведенным в равд. !.1.5): 1. Диагональные элементы (+1[р'[+1) н ( — 1[р'[ — 1) матрицы (1.2.14) определяют вероятности нахождения фотона в пучке в состоянии с соответствующей спиральиостью.
Прп выполнении условия нормировки (1.2.17) диагональные элементы (+! [р[+1) и ( — 1[р[ — 1) дают соответствующие интенсивносги. 2. Если рассматриваемый пучок направляется на фильтр, полностью пропускающий лишь фотоны в чистом состоянии [е), то элемент (е [р [е) = )ь', [апа [' + )е'ь [а'ь! [' определяет вероятность того, что фотон пучка пройдет через фильтр; здесь использованы обозначения а!" =(е [е,), а!ь' =(е [е,). Элемент (е[р[е), полученный с помощью оператора (!.2.16), определяет пропущенную интенсивность (е [ р [ е) = 1„[а'! !'+ /ь ! агм !' (1.2.!9) Поскольку любая информация о свойствах поляризации данного пучка может быть в принципе получена путем пропускания пучка через различные поляризационные фильтры, результат любого пз таких экспериментов можно вычислить, используя фомулы (1.2.18) или (1.2.19). Отсюда можно заключит!а что вся информация о состоянии поляризации данного пучка содержится в его матрице плотности.
3. Условие эрмитовости (1.1.29) уменьшает число независимых параметров до четырех. Одним из них является обычно полная интенсивность пучка 1. Если она не представляет интереса, то ее можно опустить, нормируя матрицу плотности аналогично (1.2.14) и (!.2.!5). Тогда р' определяется тремя действительными параметрами, как это имеет место для матрицы плотности частиц со спином 1/2.
Таким образом, для полного определения матрицы р любого пучка необходимо провести четыре независимых измерения (одно из которых — измереиие полной интенсивности 1). Если значение I несущественно, получается матрица (1.2.14), для нахождения которой необходимо знать три независимых параметра. Результат любого другого эксперимента можно тогда вычислить, применяя выражения (!.2,18) илп (1.2.19).
4, В , В гл. 2 будет доказано, что в общем случае необходимым и достаточным условием того, чтобы данная матрица плотности фотонов описывала чистое состояние, является условие 1г (рз) = ((г р)ь =- !ь. (1.2.20) При нормировке (1.2.15) последний результат сводится к формуле (1.1.37): (г(р') =1. Вообще говоря, матрица плотности фотонов удовлетворяет неравенству 1г (рь) <1ь. (1.2.20а) 1.2.5.
Описание посредством параметров Стокса 1,25.!. Пираиетризаь!ия р посредствоз! параиетров Стокса Здесь и далее будем использовать условие нормировки (1.2.1?). Как было показано в предыдущем разделе, для полного определения состояния поляризации произвольного пучка необходимо провести четыре независимых измерения. Наиболее удобен тот набор измерений, который дает следующую информацию: 1. Полную интенсивность пучка 1. 2. Степень линейной поляризации относительно осей х и д, опредсленну!о равенством Чз = [! (О) — 1 (90'))/1, (1.2.2!а) где !ф) обозначает интенсивность, пропущенную призмой Николя, ориентированной под углом () относительно оси х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
