blum_k__teorija_matricy_plotnosti_i_ee_p rilozhenija (769478), страница 11
Текст из файла (страница 11)
(2.2.6а) И спользуя те же аргументы, что и в гл. 1, можно показать, что вероятность )5'(ф) найти систему в состоянии 12р) после ОВШАЯ ТЕОРПЯ ЫАТРНИЫ ПЛОТНОСТИ измерения дается матричным элементом прп условии нормировки (2.1,4). Это становится очевидным, если подставить выражение (2.2.!) для р в (2.2.7); (5'(ф) = Х 3~.1(ф.~ф)12 л и интерпретировать коэффициенты 1(ч! 1!1!)12 согласно формуле (2.1.3). След оператора р представляет собой константу, не зависящую от представления. Из условия нормировки (2,1.4) и условия следует, что !Ла !2 = 1, (2.2.8) Среднее (плп математическое ожидание) любого оператора Я равно следу произведения операторов р н Я.
(!"!) = ~. хт %'„а!'ч)а'„',!!'(ф )(!1ф,) = (ф,„~ р1ф„,)(ф,„!Я1ф ) =(г(р®, (2.2,9) При получении (2.2.9) мы сначала подставилп (2.2.2) в формул (2.1.7) и затем использовали (2.2.4). В более общем случае, если отказаться от условия нормировки (2.2.8) (ьак м)'л у это было сделано в равд. 1.2.4), величина Я) дается выраже- нием Выражение (2.2.9) представляет собой ва2!тный результат. Напомним, что, согласно квантовой механике, всю информацию о поведении данной системы можно выразить через ожидаемые (средние) значения соответственно подобранных операторов. Таким образом, основная проблема состоит в вычислении средних значений. Поскольку среднее значение любого оператора может быть получено с помощью выражения (2.2.9), л!атри!(а плотности содержит всю физически существенную инфории!(ию о систехле.
До сих пор матрица плотности была определена соотношением (2.2,4). В обгцем случае, однако, удобнее считать, что бб ГЛАВА Т ОВЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ р определяется выражением (2.2.9) следующим образом. Следует выбрать столько операторов ф, 1,!м ..., сколько имеется независимых параметров у оператора р. Средние значения операторов (Я,), (Г,!т), ... представляют собой начальную информацию о системе.
Соответствующую матрицу плотности можно найти, решив систему уравнений !Г(ра) =(а). Если матрица плотности р определена таким образом, лю- бое другое среднее значение можно получить, применяя вы- ражение (2.2.9). Например, как было показано в равд, 1.1, матрицу плотности для частиц со сппном 1/2 можно полу- чить, если известны три средние значения (о,), т. е, средние значения компонент вектора поляризации, Указанный метод имеет несколько преимуществ. Прежде всего определение смеси (2.2.1) не является единственным (по причинам, изложенным в равд.
!.!.5). Кроме того, на- чальная информация о системе часто выражается через сред- ние значения набора операторов, а не с помошью указания чистых состояний, участвующих в смеси. Такой подход, в ча- стности, предлагал Фано (Рапо, 1957); мы вернемся к нему в гл. 4. Рассмотрим теперь число независимых параметров, необ- ходимое для определения данной матрицы плотности Оно зависит от числа ортогональных состояний, по которым п о- изводится суммирование в выражениях (2.2.2).
Вообще го- Р вора, это число бесконечно, однако часто оно становится ко- нечным, когда интерес представляет какое-либо одно частное свойство системы (например, спин), а зависимость от всех остальных переменных может быть опущена. В последующем обсуждении мы рассмотрим случай, прн котором число базис- ных состояний в разложении (2.2.2) равно М. Тогда мат- рица р представляет собой М-мерную квадратную матрицу, содержащую й' комплексных элементов (что соответств ет 2 Ага у 2Л' действительным параметрам). Условие эрмитовости (2.2.5) ограничивает число независимых действительных па- раметров до й!'; кроме того, след р фиксирован условием нор- мировки. Отсюда вытекает, что л7-Атерная матрица плотности полностью определяется с полюи!ью л!' — ! действительных параметров (или й!Я параметров, если отказаться от условия Э нормировки (2.2.8), как, например, это сделано в (1,2.!7)), то число можно уменьшить с помощью соображений сим- метрии; его можно и далее уменьшить, если известно, что рассматриваемая система находится в чистом состоянии.
(т(ы дадим соответствующий явный пример в равд. 3.5. Если данная система находится в чистом состоянки, представляемом вектором состояния !ф), то соответствующий оператор плотности имеет впд р=!ф)(ф! (2.2.10) (2.2.1 !) Рассмотрим теперь обратную задачу, состоящую в определении того, описывает ли данная матрица плотности чистое состояние или нет. В принципе эту задачу всегда можно ре. шить, преобразовав матрицу плотности к диагональному виду. Если такое преобразование сделано и при этом обнаружено, что все элементы матрицы р обращаются в нуль, кроме одного (например, Его диагонального элемента), то система находится в чистом состоянии, представляемом сьм базисным вектором. Однако диагонализация часто утомительна, поэтому полезно вывестп условие, которое проше применять.
Прежде всего докажем, что соотношение 1г (р-') ~ (1 г р)з (2.2. 12) справедливо в общем случае. Рассмотрим произвольную мат- рицу плотности, которая преобразована к диагональной фор- ме, с диагональными элементами (У„. Тогда (г(р')= Х )У'-. (!Гр)'=(Х (Р ) .
(2.2.13а, б) Ввиду того что вероятности В', — положительные числа, отсюда непосредственно следует справедливость неравенства (2.2.12) для диагонального представления. Поскольку численное значение следа остается неизменным прп преобразовании базисных состояний, неравенство (2.2.12) справедливо в любом представлении, а не только в диагональном. Положим теперь, что в (2,2.12) имеет место знак равенства.
В диагональном представлении отсюда в соответствии с (2.2.!3) следует условие Е (Р-„' = (Х (У„)' Последнее условие может удовлетворяться, только если все вероятности Ж'„, кроме одной (например, (У~), обратятся Ататрнцу плотности можно построить в представлении, в котором (ф) является одним из базисных состояний. Например, можно выбрать набор ортонормированных состояний ~ ф) = = ~ 4~1), ~ ~!.,), .... В этом представлении все элементы матрицы р будут, очевидно, равны нулю, кроме элемента на пересечении первой строки и первого столбца. Тогда, как нетрудно видеть, 1г (р') = (1г р)'. 59 глдвд е овшля теория мдтппцы плотности в нуль.
Следовательно, р содержит только один отличнын от нуля диагональный элемент в диагональном представлении, и система находится в чистом состоянии, представленном рм базисным вектором. Итак, соотношение (2.2.11), как мы доказали, является не- обходил!ыж и достаточнытн условиели того, что данная матр!ща плотности описывает чистое состояние. Некоторые следствия из этого результата обсуждались в гл. 1; дальнейшие примеры будут приведены в гл, 3. Рассмотрим в закл!оченис случай хаотического распредегения полного набора состояний [ф,).
В качестве примера можно взять ансамбль атомов со спинам 5 и третьей компонентой М. Этот ансамбль характеризуется векторами состояний [и, 5, М), где п обозначает совокупность всех остальных переменных, необходимых для полного определения состояний. Пусть, далее, все атомы имеют одинаковые значения и и 5, однако ансамбль представляет собой смесь по отношению к М, причем все различные спиновые состояния могут быть найдены с одной и той же вероятностью Юн=!/(25+!). Такой смеси соответствует оператор плотности р= [1/(25+ 1)! 2, !п5М)(п5М 1 = [1/(25+ 1)[1, (2 2.14) где 1 — единичная матрица размерности (25 + 1) в сппновом пространстве. Мы применили здесь соотношение полноты (2.1.2б) к спиновым состояниям.
Очевидно, соответствующая матрица плотности диагональна с равными элементами 1/(25+!) в люботи представлении. Обобщая определение, данное в равд. 1.2.5 [см. (1.2.33) [, будем называть атомную систему неполяриэованной, если она может быть представлена оператором вида (2.2.14). 2.3. Когерентность и некогерентность 2.3.1.
Элементарная теория квантовых биений Начнем данный раздел с обсуждения квантовых биений. Наше рассмотрение будет чрезмерно упрощенным в ряде аспектов. В частности, мы полностью пренебрежем поляризацией падающих фотонов, Общая теория будет изложена в гл, 5, а данный раздел следует рассматривать частично как введение к определению важного понятия когерентной супер- позиции, а частично как введение к темам, обсуждаемым в гл.
3 и 5. Рассмотрим ансамбль атомов, находящихся в своем основном состоянии [О) с хорошо определенной энергией Ео (кото- рую м ю мы положим равной нучю). Атомы могут быть возбуждены на вышележащие состояния за счет поглощения фотонов. Если возбуждение вызвано очень короткими импульсами .вета, т. е. длительность импульса А! значительно меньше света, т. среднего времени жизни возбужденных атомов, то можн о считать, что возбуждение происходит «мгновенно» (например, в момент !=О). Импульс света длительностью А! имеет ширину полосы Ао! 1/А1, так что энергия фотонов не является Ео= 0 Рпс 21 Система, н которой пропсхаднт переходы с днух возбу'пленных уровней в адно н то ххе основное состоннне.
хорошо определенной. Примем, что разброс энергий фотонов ВАео превышает разность энергий Е! — Ев двух атомных уровней [ф!) и !фв) (рис. 2.1). Тогда энергия возбужденных фотонов не будет строга определенной и соответствующее состояние непосредственно после поглощения можно представить в виде линейной комбинации обоих состояний: ! ф (О)) = а, ! ф (О) !) + а, ! ф (0)в) (2.3.1) (более детальное обсуждение принципа супсрпозиции см, в гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
