blum_k__teorija_matricy_plotnosti_i_ee_p rilozhenija (769478), страница 14
Текст из файла (страница 14)
(2.4 31) Оператор и(/)л определяет временную эволюцшо состояний в представлении взаимодействия. Чтооы найти и(/) ь следует подставить (2.4.3!) в (2.4.10); тогда члены, содержащие Н,, сокрашаются и мы получаем /й, ' =)/(/),и(/)„ д1/1/) (2.4.32) где и(/), — решение уравнения (2.4.32), удовлетворяющее начальному условшо и(0),= !. (2.4.33) Уравнение (2.4.32) показывает, что зависимость и(/)л от времени полностью обусловлена членом 1/(1).
Поэтом; нестапио. нариую теорллло возмушснии удобнее применять к уравнения» (2.4.32), чем к его аналогу (2.4.10) в представлении Шредин гера. Для решения уравнения (2.4.32) прежде всего формально проинтсгрпруем его и получим и (/)/ = 1 — — „~ )/ (т), и (т), л(т, о где использовано начальное условие (2.4.31). Соотношение (2,4.34) еще не является решением уравнения (2.4.32) Оио представляет собой лишь преобразование уравнения (2.4.32) к форме интегрального уравнения (в котором неизвестная величина и(т)л находится под знаком интеграла).
Уравнение (2.4.34) может быть решено методом итераций. Если 1/(/> =О, то и(/)л = 1, и если член )/(1) достаточно мал, и(!>л будет лишь немного отличаться от 1. Тогда оператор и(т)л под знаком интеграла в (2.4.34) может быть заменен сдяннчныч оператором; таким способом мы получаем оператор времсннбй эволюции в первом порядке теории возмулцений ь и(/),=! — — „' ~ 1/(т),ь. (2.4.35) о Подставляя затем (2.4.35) в (2.4.34), находим оператор эволюции во втором порядке теории возмущений; с помощью дальнейпшх итераций можно найти члены Яысшллх порядков в операторе эволюции.
глава з 73 овщля твом!я млтщшы плотности На основе выражений (2.4.34) и (2.4.35) можно, используя (2.4.30), получить соответствующие выражения для оператора ЕЕ(Е) в представлении Шредингера. Перейдем теперь к уравнению движения для оператора плотности. Применяя к оператору плотности (2.4.!5) в представлении Шредингера унитарное преобразование (2.4.26), находим ~ ли'л ['('( )л, !) (ф (Е)и. ! [, (2.4 36) взаимодействия где оператор плотности в представлении определяется следующим образом: р (Е) (сии! и !) р (Е) (е-! и! и !) Подставляя (2.4.15) в (2.4.37), приходим к женин р(Е), = и (Е)! р (О), и (Е)], где р (0) р (0)! Аналогично, подставляя (2.4.37) уравнению дви- (2.4.38) (2.4.39) р (Е) = е — пЕх! пир (Е) ещн! и,! (2.4.40) в уравнение (2.4.16), получаем уравнение Лиувилля в представлении езаил!одеиствия: др(0 д! п еоб Для получения приближенного решения этого уран г уравнения р разуем его сначала к виду интегрального уравнения.
Формальное интегрирование (2.4.41) дает р(Е),=р(0)! — л ~ [)!(т)г, р(т),]дт. (2.4.42) о (2.4,41) Это интегральное уравнение можно решать с помощью итсрацпй аналогично уравнению (2.4.34). Положим, например, что 1!(Е) = 0 для всех значений Е ( О. Тогда при Е ( 0 данная смесь описывается в представлении взаимодействия не зависящим от времени операторол! плотности р(Е) ! = р(0)!. Предположим, что при всех значениях Е ) О п и присутствует у ие ( ); тогда, если это возмущение невелико при Е )О, оператор р(Е)! будет мало отличаться от своего начального значения р(0)!. Поэтому в интеграл (2.4.42) вместо р(т)! можно подставить его начальное значение р(0)!. Тогда решение уравне- ния (2.4.42) в первом приближении теории возмущений имеет вид с р(Е), =р(0), — — „~ [Ъ'(т)п р(0),]!Ет.
(24АЗ) а Продолжая процесс итераций р(т)!, можно получить члены высших порядков. Соотношения, выведенные в этом разделе, будут проиллюстрированы на примерах в последу!ошнх главах. Более детальное обсуждение различных представлений, используемых для описания врсменнбй эволюции, можно найти в любом гчебнике по квантовой механике. 2.5. Спиновая прецессия в магнитном поле В качестве примера использования формализма, развитого в предыдуших разделах, рассмотрим теперь прецессшо частиц со спинам 1/2 в статическом магнитном поле.
Компоненты магнитного момента частиц со свином 1/2 даются вы- ражениями ! р = з уйо (2.5.1) (Е = х, у, з), где т — гиромапштное отношение, а о, обозна- чают матрицы Паули. Взаимодействие между частицами, об- ладающими магнитным моментом Иь н внешним магнитным полем й описывается гамнльтонианом Н = — И Н = — — уй ~ аЕН! (!=х, у, г). (2.5.2) ! ! где использовано свойство независимости следа пропзведс. ння от циклических перестановок операторов-сомножителей. Вектор поляризации изменяется во времени, и матрица плотности р частиц зависит от времени.
Скорость изменения вектора поляризации Р определяется уравнениями (2.2.9), (2.4.16) и (2.5.2): !й — ' = Ей — ((г р. а ) = Ей (г [ — о!) = д (о,.) д д! д! ! [, д! = 1г ([Н, р (Е)] а !] = 1г ( [а!, Н ] р (Е)) = = — — уй ~~ Еl;1г([а!, о;]р(Е)), (2.5.3а) ! ГЛАВА 3 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦЫ ПЛОтНОСтн Пйдетавляя выражение (1.1.45) для р в уравнение (2.5.3а), Получаеи д(а) 1 4 ул ~~~ Н) (!г [сгг сгт] + ~~' Ра !г ( [Ог, ит]ОА) ). ! А (2.5.3) Применяя соотношение (1.1.42а), имеем !г [а„п)] = О, а соотношение (!.1.42б) дает (г([пг, и;]сга) =41епз в силу антнсимметрии тензора вгы [см. (1.1.39)]. Подставляя ати результаты в уравнение (2.5.3), находим д(и) та (2.5.4) Например, для компоненты Р, имеем пз (1.1.39) н (2.5.4) дРх —,' = — у(Н„Р,— Н,Р„)=+ у[РН]„; (2.54а) здесь индекс х обозначает компоненту вдоль осп х векторного произведения Р и поля Н.
В векторных обозначениях уравнение (2.5.4а) можно записать так; — „= у [РН]. г!Р (2.5.5) 2.6. Системы в тепловом равновесии Очень большое значение имеет применение матрицы плотности к динамической системе, находящейся в тепловом рав]говесии с окружающей средой. В квантовой статистическои Заметим, что уравнение (2.5.5) совпадает с классическим уравнением движения для прецессии вектора Р относительно направления поля. Вывод уравнения (2.5.5) служит хорошим прнмером использования уравнений (2.2.9) и (2.4.16) при выводе уравнений движения. Он также иллюстрирует значительное упрощение, которое достигается при использовании в процессе вычисления компактного выражения (1.1,45) для матрицы плотности и свойств матриц Паули (1.1.38).
Уравнение (2.5.5) можно вывести и не применяя метод матрицы плотности, но вычисления становятся прп этом гораздо более громоздкими. механике показано, что состояние системы при температуре Т можно представить оператором плотности р = ехр ( — р) Н)/л, (2.6.1) где [] = 1/йТ и гз — постоянная Больцмана. Наличие в (2.6.!) статистической суммы л = !гехр( — [)Н) (2.6.2) обеспечивает выполнение условия нормировки !г 9 =1. (2.6.3) Выражение вида (2.6.1) нмеет место для канонического ансамбля, т. е. для системы с постоянным объемом, постоянным числом частиц и данным средним значением (Н~ гамильтопиана (средней энергией)').
') Статистический оператор (2 б 1] соответствует максимуму нпфор. мационной энтропии 5, = — 1г(р ]п р] прп заданной средней энергии ()т) и сохранени11 нормировки. Статистический оператор большого канонического ансамбля Гиббса р = 2 'ехр[ — Р(о — р]У)1 соответствует максимуму инфорт1аипонной энтропии пря заданной средней энергии н среднем 'шоле частик Эв ропкю статистически равновесного состояния определяют как средней логарийж1 статистического оператора с обратным знаком Нзпритгер, для ьаноип1еского распределешш энтропия равна 5 = — ()п р)о = = ]их+ Р (О) з, ()!) л = 1г (02-'ехр ( — РН)! Такое определение соответствует равновесной термодинамике. Понятие энтропии неравновесного состояния в статистической механике требует спеипзльного определения, чтобы оно соответствовало неравновесной тсрмодпиаыпке Пусть игравновесное состояние определяется набором сре,лиях значений операторов гг, Например, для описания неравновесного состояния простой жидкости достаточно задать средние плотности энергии )т'(х), импульса р(х) и числа частим п(х).
Максимуму информационной энтропии прн заданных (О,) и сохранении нормировка соответствует квази. ранновесный статистический оперзтор рч = 2 (1) ехр ( — х' Рт(1)!)~ ~. где параметры Р~(1] определяются из условия совпадения средних, вы 1пс. ленных с помощью р„со средшщи, найденными с помощью неравновесного статистического оператора, удовлетворяющего уравнению Ли) вилла 1г(О,р,) = 1г(о,р) Энтропию неравновесного состояния можно определить как энтропию такого квазпрзвловесчого состояния, соответствующего набору операторов Оь в котором средние квазиравповесные значения О~ ргвиы их иеравноаесныч значенпяем, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
