blum_k__teorija_matricy_plotnosti_i_ee_p rilozhenija (769478), страница 5
Текст из файла (страница 5)
р ' делена своим операто- В этом смысле смссь полностью опрс ром плотности. час . В частном случае чистого состояния )Х) оператор пл отностп дается выражением Р = ! Х) (Х !. (1.1.18 а) бычно более удобно записывать мат ичной форме. Для этого выберем набор баб ет показано пижс, о ычн '2) и ! — 1/2)) п заложим зясны х состояний (обычно ! + 1, и абору согласно соотношению состояния (Х,) и !Хь) по этому на ору (1.1.2): (1.1.19) !Хь) =а">!+ — )+ а,'» —— В представлении (1.1.1) запишем а!ь!; ! Ха) — !а! ! ХЬ) !Ь! (1,1.20а) а для сопряженных состояний— (Х 1=(а!"', а!а!*), (Хь)=(а!ьм*, а!,""). а (1.1.206) 1,1,5.!.
Основные определения На любой вопрос, касающийся поведения чистого или сменого состояния, мо н ж о ответить, указав состояния, приже их статистические веса !у'ь сутству щ ю иевсмесн,атак е! . епня часто бывают очень Однак о соответствующие вычисления шем здесь альтернативный мег омоздкпми. Поэтому мы опи ха акте истнки чистых и смешанных состояний. пз йа частиц, приготовленных в состоя- Рассмотрим пучок пз, час ного и чок из Мь пи ), и еще один независимый от первого пуч , п иготовленных в сост ато р, определяемый выражедпнснного пучка введем оператор пнем ГЛАВА ! ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ (Х! ! Х/> = бгу, (1.1.3) .
где би — символ Кронекера; при ! = / выполняется услов! е вие При выполнении условия нормировки (!.!.3) след ') мат- рицы плотности дается выражением 1г Р = йт, + )!уь = 1, (1.1.25) которое не зависит от выбора представления. В качестве примера рассмотрим случай смеси, состоящий пз У! частиц, приготовленных в состоянш ', ) = г! + 1,'2), з частиц, независимо пРиготовленных в сост ! ) = в состоянии ! Х ) = (!.1,24) ') В русской литературо дли онсрвцни взнгия следа (ши в) мат г часто ирнмевяетсв обознвчевив Зр (со ответствующее немецкому тор«!пну риг). переводе мм оставили обозначение 1г, соотвегсгвуюш скому термин 1гасе, т г гвуюшсс внглий.
!грим, ргг). .. у р. у е, в в тексте используем русский герми ! е, ' . " 3 ! «слсд».— П рименяя правила умножения матриц, получим для «внешнего произведения» / гы»~ ст и аналогичное выражение для произведения )Х )( '1. П авляя эти выражения в (1.1.18), находим лгатрицу плотно) агы')з+ )Тг ~агь1! )ч аг!магог*+ )и' агыагы )гг ага!*агы + ф' гзгь>агы )р' ')агпг )и + !Ег ) а!ы ~!' . (1.1.22) Поскольку при выводе выражения (!.1.22) были использованы базисные состоян>гя 1-~-1/2), полученное выражение называют лагрицей плотности в (( ч 1/2))-представлении Чтобы сделать дальнейшие формулы более компактными, введем определения )!/2) = )Х!) и ( — 1/2) = (Х,). В этих обозначениях общий элемент матрицы плотности, стоящий иа пересечении 1-й строки и )хго столбца, даетс ц, дается выражением <Х! ~ о ) У ) = Ю',агвгагвм + в!гьаггыа1Ы* (1.1.23) где !', ) = 1, 2.
Матрица плотности имеет, очевидно, разли чную форму в разных представлениях, тогда как оператор (1.1.18) не зависит от выбора базисных состояний. Далее всег б полагаться, что базисные состояния образуют о тоно мн ованный набор, т. е. .=-1 — 1/2). Полный пучок описынается тогда оператором плотности Р=)" г~+ 2/(+ з !+)'з — 2)( 2 ~' (1.1.28а) где %' = 7»',/1»г, а матрица плотности в ()л1/2))-представлении диагональна (х )Р)х1) =)р';йп (1.1.26б) 1,й5.2. Физггчеснггг) слыгл згатрпцы га:готноста Диагональные элементы матоицы плотности <х! (Р)х,.) ==)ч'„)аяг)з+ )Рь(а,'.ы)з (! =-1, 2) (1.1.27) имеют непосредственный физический смысл.
Поскольку вероятность нахождения частицы смеси в состоянии )Х,) равна 1)гю а вероятность того, что состояние )Х,) входит в )Хг), равна )агяг1-', произведение )ч',)аы!«представляет собой вероятность того, что частица, первоначально приготовленная в состоянии !Х.), будет обнаружена в состоянии !Хг) после того, как произведено измерение.
Оозтолгу дггагональньг11 элемент (1 1 27) дает гголнуго вероятность того, что чагтггца, будет оонпружена в соответсгнугои(гми базпгнол гогтоянаг )Х,). Таким образом, если пучок, описываемый оператором плотности Р, пропускается через фильтр !!!терна — Герлаха, Ориентированный! параллельно (пли аитипараллельпо) осп г, /1 1Х то диагональный элемент (Х,)Р (Хд =г — „Р—,/ (пли соответствепио ( — — 1Р ~ — — а! опеРатоРа Р в () +- 112))-НРедставлеипи дает вероятность прохождения частицы через фильтр.
3)тот результат можно обобщить на случай произвольных состояний !Х). Рассмотрим матричный элемент (Х)Р)Х), который получается, если «зажать» оператор (1.1.18) между состоянием 1Х) и сопряженным ему состоянием (Х(: (Х1Р)Х) =)ч (Х17. )(Хн !Х) + й«гх ~Й(Х« !Х) =— = )чч, !ачо !з+ !Р н'«' "-' (1.
1. 28) здесь а'вг = (у, ~Х), аг"! = (уь)Х). Сравнивая выражения (1.1 27) и (1.1.28), можно видеть, что лагрп !ног!) здглгнт (Х!!117) пргдггаалягг гобои гго.гную а« роятногть обнаружить частицу о чггстолг состоянии !'Х), аходяи)ел и слгсь, оггпсьгваелуго опграторол о.
Таким образом, если пучок, описываемый оператором Р, направляется па фильтр, полностью пропускаюший только пучок в состоянии )Х), то выражение (1.1.28) дает 2т ГЛАВА ! осиовныв понятия вероятность того, что любая из частиц пучка пройдет через фильтр. Пусть, например, пучок, описываемый матрпией глотиости р (1.1.26), направляется на фильтр, ориентированный вдоль оси у, Вероятность того, что частица из пучка пройдет через фильтр, определяется матричным элементом (1/2, у!р11/2, у>. Разлагая 1 + 1/2, у> по состояниям (!-+ 1/2>) в соответствии с (1.1.12в) и используя выражение (1.1.26), получаем = —,' (Ю'!+ 62з). Существенно о~метить, что всю информапшо о с!шновом состоянии любого пучка можно получить (по крайней мере в принципе), если направлять такой пучок иа фильтры Штерна †Герла с различной ориентацией. Следовательно, если известна матрица плотности р, мы можем вычислить результат любого такого опыта с помощью соотношения (1.1.28).
В этом смысле р содержит всю существенн(ро информацию о спинозом состоянии данного пучка. 1.1.5.3. Число независимых параметров Рассмотрим далее, сколько параметров требуется для полного определения данной матрицы плотности. Кох!плексиая матрица второго порядка (например, матрица типа (1.1.22)! определяется четырьмя комплексиымн величинами (Х,1р!Х1>, что соответствует восьми действительным параметрам. Матрица плотности эрмптова, следовательно, р удовлетворяет условию (х !р!х!> =(х1 !р !х;>". (1.1.29) В этом можно убедиться, обращаясь непосредственно к выражениям (1.1.22) и (1.!.23).
Отсюда следует, что диагональные элементы действительны и, кроме того, действительные и мнимые части недиагональных элементов связаны между собой соотношениями '(+-'! !--')='(--,'! !+ ) Ш(+ 2! ! 2)= — гп( — 2!Р!+ 2)' Эти соотношения уменьшают число независимых действительных параметров до четырех.
Условие нормировки (1.1.25) фиксирует еще одни параметр, так что в итоге матрица пло!- ности полностью характеризуется всего тремя действительными параметрами, Следовательно, для полного определения матрицы плотности, опись!вающеи произвольный пучок частиц со спинам 1/2, необходимо произвести трп незавпсилпях измерения. Полезно рассмотреть этот результат с другой точки зрения. Определяя оператор плотности равенством (1.1.18), мы основывались на том, что нам был известен способ приготовления данного пучка. Такое определение можно обобщить на случай любого числа составляющих пучков. Чтобы записать оператор плотности пли соответствующую ему матрицу плот!и!сти !выражения (1.1.18) и (1.1,22)1, необходимо, очевидно, указать все присутству!ощие в смеси чистые состояния 1х,>, , 'Хь>, ...
вместе с их статистическими весами 112., )Рь, .... Однако, как было показано выше, для полного определения матрицы плотности для пучка любой сложности достаточно всего трех параметров. Это ие столь удивительно, как может показаться на первый взгляд, поскольку одна и та же матрица плотности может описывать различные смеси, приготовленные совершенно различными способами.
Рассмотрпь|, например, смесь, описываемую оператором плотности 1 ! 1! 1)( 1 и с!!ее!и описываемую оператором р= —,' !+ —,')(+ ф!+-,' ! — —,,')( — !+ + — !+ —, А)(+ —,, л !+ — ! — —, х)( — —, х!. 1', Построив соответствующие матрицы плотности в ( ! -Š—,/ ~- представлении и применив выражения (1.1.12а) п (1.1,!2б), можно показать, что оба пучка щшсываются одной и той же матрицей плотности Из соотношения (1.1.28) следует, что оба пучка во всех опытах будут вести себя тождественно с точки зрения свойств поляризации. Наоборот, для определения способа, каким при! товлен пучок, недостаточно знать только элементы мат(щцы я.!отности.
В действительности эта информация несущественна, Существенная информация содержится только в трех основиыв понятия 29 ГЛАВА 1 независимых параметрах, определяющих матрицу плотности, так как, зная эти параметры, мы можем предсказать поведение соответствующего пучка в любом эксперименте по измерению поляризации. По указанной причине мы буде,и считать два пучка тождественнылги, если они описываются одной и той же матрицей плотности Выражение (1.1.18) обычно не применяется. Поэтому вместо того, чтобы определять оператор плотности, указывая характеристики составляющих пучков и их статистические веса, мы используем операциональный подход и выразим матрицу плотности через результаты трех независимых измерений.
В следующем разделе мы опишем простой способ построения матрицы плотности, исходя из вектора поляризации, !.1.б.4. Параметризация матрицы плотности Умножим выражение (1.1.18) справа на матрицу Паули ог и вычислим след полученного оператора: 1г оог —— Ю', 1г (1у,) (у, ! о,) + !Рь 1г ( ! Хь) (уь 1 о,) = ~'. (х. ~ ог !у.) + !Рь (хь ! ог ! хь). (1.1.30) К атому результату можно прийти, используя явное матричное представление (1.1.6) и (1.1.21) или более непосредственно, применяя соотношение 1г ()у) (21ог) (у!о, ! у). (1,1.3 1) Подставляя (1.1.14а) в (1.1.30), находим важный результат 1гро;=Рь (1.1.32) где Рг есть 1-я компонента вектора поляризации полного пучка.
С помощью этого результата можно выразить элементы матрицы р через компоненты Рь Применяя правила действий 11 с матрицами, можно показать, что в (~~ — )) -представле. нии р дается выражением 1 Г 1+Рь Р.— 1'РЬ'1 2 1,Р + 1Р 1 — )' (1.1.33) Более изящный метод получения последнего результата приведен в равд. !.1.6. Три компоненты Р„Р,, Р, представляют собой тот минимальный набор данных, который необходим для определе. (+ —,' ~р~+-,')= —,'(1+Р,) Аналогично, применяя выражения (1,1.12а), (1.1.12в) и (1.!.ЗЗ), можно показать, что вероятностн прохождения частицы через фильтр, ориентированный в направлениях х и у, равны соответственно (+ —, х~р/+ —, х) — (1+ Р„), (+ —,'. у/р!+ф, у)=-,'(1+Р„). Дадим, наконец, еще одно полезное представление для р, получаемое путем перехода к системе координат х', у', г', где ось а' параллельна вектору Р, а оси х' и у' выбираются произвольно, но ортогональны друг другу и оси г'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
