blum_k__teorija_matricy_plotnosti_i_ee_p rilozhenija (769478), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Зал[втнл[, что в этол[ уГ>пвненпн не учитв[впется связь иез[гду рпзлнчнылш члена.игб оирсбеля[пипьии вре.пенну[о эволюцию Р(!) 2. В оптической области в уравнение (7.3.4) нужно добавить член (Р„, „,)мя описывающий спонтанное излучение. Поскольку споиташюс излучшше является по существу случайным процессом, вызванным флуктуацпями вакуумного поля, его можно описать членом (Ряя,я) = — Г„;,„Ря,я„ 2Р 1',. „— ~хор~~~~ спонтанного распада возоу>кдсипого 1'ровня. С учетом соотношсшш (7.2.9) уравнения для диагональных элементов можно записать в виде Р(!)и —— — (фг)(! [[Р(1), р(!)з) [1)+ 11гыР(!)м )рмр(!)!1 (7.3.5а) Р(!)22 = ([/[г) (21[ (!) Р (!)21 [2) + 11 2[Р (!)11 (1 12Р (!)22 (7 3.5б) 11ервый член этих уравнений (Р,„,„)„= ( — 1/й) (т [ [11 (!), р (1Ц [т) (7.3,6) есть скорость изменения вероятности заселенности уровня [нг) за счет Рс!-поля, а другие члены описывшот влияние пРоцессов релаксации.
203 гллвл т квлнтовля твогия 1 аллкслцпн 202 Из (7.1.33) с учетом выражения (7.3.2) и того факта, что диагональные элементы оператора У обращаются в нуль, следует уравнение для недиаговальпых членов Р (Е)»1 = Р (Е)11 = = — 1 (℠— Еу„) р (Е)»! — (Е/й) (2 ][1" (Е) р (Е)з] ! !) = = — 1' (вм — тум) Р (Е)м — (Е/2й) (2 ! Ъ' ! 1) [ехр (Евг) + + ехР( — твЕ)] (Рн — Роэ). (7.3.7) Уравнения (7.3.5) и (7.3.7) определяют скорость изменения элементов матрицы плотности за счет совместного действия внешнего поля и релаксации. Динамическое равновесие устанавливается при Р11 —— Р„= О, т.
е. когда эффекты вынужденного излучения и поглощения уравновешиваются процессами релаксации. Теперь изучим это «стационарное» реше.. нне более подробно. Сначала рассмотрим уравнение (7.3.7).Элементы р,(Е) „, в пРедставлении взапмодействпЯ свЯзаны с Р(Е),„а соотношением Р(Е)»1 = ехр( — Ев»11) Рт Я„, (7.3.8) при выводе которого использовано выражение (2.4.37). Подставляя (7.3.8) в (7.3.7) и умножая обе части уравнения на ехр (Ев»11), получаем Р, (Е)м — — — умр,(Е)„— (Е/26)(2 ! )т ]1) [ехр [1(в»1 + а) Е]+ + ехР [Е (вл — в) Е] ] [Р (Е)н — Р (Е)м]. (7.3.9а) В резонансной области в»1 ж в основной вклад дает низкочастотный член ехр [Е(<ом — в)Е], и в первом приближении быстро осцпллирующими членами ехр [1 (вм + в) Е] ж ж ехр(2йоЕ) можно пренебречь (такое приближение назы- ' вается «приближением вращающейся волны»).
Тогда уравнение (7.3.9а) упрощается: Рт (Е)»1 =- — умрт (Е)м — (Е/26) (2 ! )т ! 1) х ХехР [!(ал — а) Е] [Р (!)и — Р (!)э]. (7 3.9) Чтобы система была в стационарном состоянии, элементы матрицы плотности не должны зависеть от того, в какой момент времени они вычисляются. Поскольку «главный» член в (7.3.9) меняется как ехр [1'(отм — в)Е], будем искать решение в виде Рт (Е)м = ехр [Е (в»1 — в) Е] Р (вЕ»1, (7.3.10а) которому в представлении Шредингера соответствует решение вида Р (Е)„= ехр ( — йоЕ) р (в)м. (7.3.106) После подстановки (7.3.10а) в уравнение (7.3.9) зависящие от времени экспоненциальные множители сокращаются и мы получаем Р(в)»1 = — — (2!)т! 1) .
2Л 1 !а21 1»! + ут! = — (2!)т! 1) 2Л в — ам + тум (7.3.11а) Элементы р(Е) „можно определить таким же способом. Заме- тим, что в этом случае в приближении вращающейся волны основной вклад дает член, пропорциональный ехр(йоЕ). Г!о- этому Р (Е),» = ехр (йоЕ) р (в)„ (7.3.116) и применение (7.1.32) приводит к результату Р (в)1 = — (2 ! )т ! 1)* ! 2Л В вЂ” ам — ттм (7.3.11в) Из приведенного вывода следует, что приближение вращающейся волны получается, если использовать следующие выраягеипя для взаимодействия (7.3.2): (2 !)т(Е) ]1) =(1/2)(2! )т ]1)ехр( — ЕотЕ), (1 ! (l (Е) ! 2) = (1/2) (1 ! )т ! 2) ехр (ЕвЕ), (7.3.12) а также (7.3.106) и (7.3.116) для элементов матрицы плотности.
Члены более высокого порядка, пропорциональные ехр (2йо!), которыми мы пренебрегли, являются основным источником нелинейных эффектов в квантовой электронике. Рассмотрим теперь уравнения (7.3.5), описывающие диагональные элементы матрицы плотности. Выражение (7.3.6) можно переписать следующим образом; применяя снова приближение вращающейся волны, используя выражение (7.3.106), (7.3.116) и (7.3.12) и подставляя для недиагональпых элементов решения (7.3.11), получаем [Р(Е)м]„,= — (Е/й)(2!т (Е) ! 1)Р(Е)1»+(Е/й)(1 !У(Е) ]2)Р(Е)»1= = — (Е/26'И (2 ! 1' ! 1) !э (Є— Р ) Х х ( ! ! в»1 1221 от тот1 + 1221 / Р = —, ! (2 ! )т ! 1) !о, „,, „(Рн — р„), (7.3.13а) л~ [а в»1 тттт + 22! 206 квантовая тяогпя вкллкслцизз 204 гллвл т где через арье!(у"!) обозначена действительная (мнимая) часть параметра релаксации ум.
Аналогично 1 [Р(?)ь!!кы —,[(2 [У[!) [' л...(Рз — Ри). (7.3 13о) ь! кы А2 (с! юз! ум) + тз! Выражения (7.3.13) описывают изменение вероятности заселенности двух уровней, вызванное РЧ-полем Сравнивая оба выражения, мы видим, что [Р (?)!ь!„„ = — [Р (?) а[„а,! (7.3.13в) Последний результат легко понять, поскольку поле может увеличивать число атомов в состоянии [1) только за счет вынужденных переходов [2) -»[1), и наоборот, «прирост» заселенности уровня [2) обусловлен индуцированнымп переходами [1)-»[2).
Введя определение ь Ят (ю)„= 1/А' [(2 [)т [ 1) [з „... йт (в)„, (7.3. И) перепишем уравнение (7.3.5) для стационарного состояния в форме Р(?)п=[йтм+йт(~) !Р— [)Р +й'( ) ]Рп=О. Р (!)ьвь = [1)тз! + 1[т (ю)зь!1Рп [)ум + [ут (~ )!а[ Рв! = О. (73.15) Как было показано в разд. 7.2, параметры Ю'!з и Я?м представляют собой соответственно вероятности переходов [2) — » -»[1) и [1)- [2), вызванных механпзк|ом релаксации. Аналогично параметры 5«(!о)!з и й?(ьо)а! представляют собой вероятности переходов [2) -»)1) и [1) — [2), пидуцированиых переменным полем с частотой го.
Поэтому мы можем рассматривать величины Р(1) 22[1«!2+ )? (о!) !2[ и Р(ь) ь! [% 2! + 1! (го)з![ в (7.3.15) как скорости увеличения и уменьшения вероятности заселенности уровня [1) при одновременном ?!ействии внешнего поля и процессов релаксации. Если интенсивность РЧ-поля достаточно велика, то веРоЯтности заселениостей о(1) ц и Р(1)а, могУт значительно отличаться от своих равновесных значений Р[о!ь и р.",.',!. В этом слу'!ае говорят о накачке, обусловленной полем. Если интенсивность поля мала, то диагональные элементы остаются близкими к своим равновесным значениям и в правых частях выражений (7.3.11а) н [7.3.11в) можно положить 1 ьььььь мю Энергия, поглощенная атомами и отданная полем в единиц! времени, с учетом соотношения (7.3.13) определяется выраькеиием дЕ/а =Е, [Р(?),[„„+ Еа[р(?)м[„„=(Е, — Еа) [1! (?)и[„,. (7.3.17) Если [[ь(?) !![ем ~ О, то число вынужденных переходов [!) -к-~2) превышает число переходов сверху вниз [2) †» [1) и система поглощает энерппо РЧ-поля.
Так как Е, ) Е!, в этом случае дЕ/сИ О. Наоборот, прп [р(?) ь![ом ) 0 в процессе вынужденного излучения энергии выделяется больше, чем поглощается, и с1Е/сЫ «О. Подстановка (7.3.13а) в выражение (7.3.17) дает ь — = — з (Еа Е!)!(2 ~ 1 [1) [ . ььь„ьз (Ри — Рьз), ь?! з (7.3.18а) л для слабого поля ь — = —.,(Е,— Е,)[(2[Г[1)[з (р<с! р„!) ь?! Аа (са юм тм/ + тз! (7.3.
186) Так как в тепловом равновесии Р[ь» > р!с!, из (7.3.186) следует, !зо ИЕ/И ) О, и энергия из поля поглощается. В этом случае выражение (7.3.186) показывает, что наличие релаксации приводит к двум эффектам: 1) к сдвигу линии за счет мнимой ььасти у,",, и 2) !?им!рени!о линии за счет действительной части у,'„парак!етра зьз!. Если в силу каких-либо обстоятельств возникает ситуация, когда Р(?) ь! ( Р(?)зм что в случае лазеров и мазеров называется инверсией заселенностьл то с1Е/!(? «,. О.
Это означает, что при прохождении через такую среду излучение ие ослабляется за счет поглощения, а усиливается ипдуциропаииым излучением. На указанном эффекте основано действие лазеров и кзазеров. 7.4. Уравнения Блоха 7.4.1. Магнитный резонанс') В этом разделе мы применим уравнение (7.3.4) к задаче о магнитном резонансе. Простейшей системой, в которой '1 Подробнее теорикь магквткого резонанса и магниткой рслаксацил см.
в ккигак! АбРагам (АЬгаиальь !961); СликгеР, 196?; АлександРов, з9?6. — ?)Рлм. рад, 2от ГЛАВА Т КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ можно наблюдать магнитный резонанс, является двухуровневая система, например атомы или молекулы с нулевым орбитальным угловым моментом и спином 1/2 или атомы с нулевым угловым моментом электронов и свином ядра 1/2. Если статическое магнитное поле Но приложено в направлении г, то энергии двух спиновых состояний [1) и ]2), соответствую»цих ориентации «спин вверх» и «спин вниз», определяются выражением Е,= — Р]Но]* Е,=Р[Но[ (7.4.1) (см. Рис. 7.2, где предполагается, что магнитный момент положителен). Энергетическое расщепление равно пЕ = Ео — Е~ = 21» [ Но [. (7.4.2) Пусть к системе приап>кено поперечное электромагнитное поле с напряженностью магнитного поля Н,()), которое ос- па =)»]Но] ( спин плие') е» = )»[На] (спин апарт) Рпс.
7.2. Расщепление энергетического уров- ни и статическом магнитном поле. циллирует с угловой часто~ой о»ы удовлетворяющей условию резонанса: йпт» — — »»Е (7.4.3) (ларморовской частотой). Тогда энергия поля будет поглощаться за счет перехода электронов (плн ядер) с нижнего уровня на верхний (возбуждение). В случае парамагнитного, или электронного спинового резонанса требуемые частоты лежат в микроволновой области.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
